Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/9-16
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Explique porque as operações usuais não tornam corpos o conjunto dos inteiros nem o conjunto dos polinômios de coeficientes racionais.
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Num corpo ordenado K, prove que
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Seja P o conjunto dos elementos positivos de um corpo ordenado K.
- Dado um número natural n, prove que a função definida por é monótona crescente (isto é,
- Dê um exemplo em que f não é sobrejetiva.
- Prove que não é um subconjunto limitado superiormente de K.
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Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo. Indiquemos com o conjunto de todas as funções Definamos em as operações de adição e multiplicação de modo natural: dadas as funções são dadas por Verifique quais dos axiomas de corpo são válidos e quais não são válidos no conjunto relativamente a estas operações.
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Sejam x,y elementos positivos de um corpo ordenado K. Tem-se Prove também que
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- Seja como num corpo K, logo
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Seja a um elemento positivo de um corpo ordenado K. Definamos Prove que f é crescente se a > 1, decrescente se 0< a < 1 e constante se a = 1.
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- Tome Portanto a função é crescente.
- Vamos mostrar por indução que Para Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para n = t + 1:
- Tome Portanto a função é decrescente.
- Vamos mostrar por indução que Para Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para :
- Tome Portanto a função é constante.
- Vamos mostrar por indução que Para Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para :
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Dados num corpo ordenado K e qualquer, prove que
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Se num corpo ordenado K, prove que