Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Números Reais/9-16

9Editar

Explique porque as operações usuais não tornam corpos o conjunto   dos inteiros nem o conjunto   dos polinômios de coeficientes racionais.

não está prontoEditar

10Editar

Num corpo ordenado K, prove que  

Resolução não está prontaEditar

11Editar

Seja P o conjunto dos elementos positivos de um corpo ordenado K.

  • Dado um número natural n, prove que a função   definida por   é monótona crescente (isto é,  
  • Dê um exemplo em que f não é sobrejetiva.
  • Prove que   não é um subconjunto limitado superiormente de K.

Resolução não está prontaEditar

12Editar

Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo. Indiquemos com   o conjunto de todas as funções   Definamos em   as operações de adição e multiplicação de modo natural: dadas   as funções   são dadas por   Verifique quais dos axiomas de corpo são válidos e quais não são válidos no conjunto   relativamente a estas operações.

Resolução não está prontaEditar

13Editar

Sejam x,y elementos positivos de um corpo ordenado K. Tem-se   Prove também que  

ResoluçãoEditar

  • Seja   como num corpo K,   logo  

14Editar

Seja a um elemento positivo de um corpo ordenado K. Definamos   Prove que f é crescente se a > 1, decrescente se 0< a < 1 e constante se a = 1.

ResoluçãoEditar

  • Tome   Portanto a função é crescente.
    • Vamos mostrar por indução que   Para   Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para n = t + 1:  
  • Tome   Portanto a função é decrescente.
    • Vamos mostrar por indução que   Para   Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para  :  
  • Tome   Portanto a função é constante.
    • Vamos mostrar por indução que   Para   Vamos supor válido para n = t e vamos provar que é válido para  :  

15Editar

Dados   num corpo ordenado K e   qualquer, prove que  

Resolução não está prontaEditar

16Editar

Se   num corpo ordenado K, prove que  

Resolução não está prontaEditar