Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Topologia da reta/1-10

1Editar

Um conjunto   é aberto   cumpre a seguinte condição: "se uma sequência   converge para um ponto   então   para todo n suficientemente grande".

Resolução:Editar

 :

Como   aberto, logo  .
Tomemos uma sequência  .
Para  .

 :

Suponha que a condição   para todo n suficientemente grande" já está satisfeita. Devemos mostrar que A é aberto.
Temos que  . Devemos então mostrar que existe um  .
Suponhamos então que  , isto é,  . Tome  .
Vamos tomar uma sequência no conjunto   de tal forma que  . Mas  .
Logo foi errado termos suposto que   , pois resultou num fato contraditório.
Portanto A é aberto.

2Editar

Tem-se   para todo aberto A contendo o ponto a,   tal que  .

Resolução:Editar

 

Nossa hipótese é que   aberto, com  . Devemos mostrar que   tal que  .
Como A é aberto e  .
Como  . Temos que   tal que  .
Basta tomar  .

 

Supomos agora que   tal que  . Queremos mostrar que  , isto é,   tal que  .
Como   é aberto e  .
Vamos tomar os abertos   tal que  .
Ao tomar abertos A contendo a, temos que  .
Portanto  .

3Editar

3aEditar

Seja   aberto. Então,   , o conjunto   é aberto.

Resolução:Editar

Suponha que para algum   não seja aberto, logo  .
Mas B é aberto e  .
Tome esse   e o fato que   e tomemos delta por epsilon.
Assim  .
Logo  .
Então   que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que para algum   não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto para todo   é aberto.

Resolução 2:Editar

Dado   para algum   aberto, segue que  . Tome    
 .

3bEditar

Seja   aberto. Então,  , o conjunto   é aberto.

Resolução:Editar

Suponha que para algum   não seja aberto, logo  .
Mas B é aberto e   .
tome esse   e o fato que     e tomemos delta por epsilon.
Assim    .
Logo  .
Portanto     é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que para algum   não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto     é aberto.

Resolução 2:Editar

Dado   para algum   aberto, segue que  . Tome  .
Assim    . Tome    
  para algum  .

4Editar

4aEditar

Sejam A, B abertos. Então o conjunto   é aberto.

Resolução:Editar

Suponha que   não seja aberto  
Seja  , com  . Assim  
  Como   que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que A+B não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto A+B só pode ser aberto.

Resolução 2:Editar

A aberto implica que    
B aberto implica que  
Seja  , então temos:     isso porque  .

Mas essa última linha é fraca, pensar depois numa linha mais forte!!

4bEditar

Sejam A, B abertos. Então o conjuntos   é aberto.

Resolução:Editar

Suponha que   não seja aberto  
Seja  , com  . Assim  
  Como   que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que A+B não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto AB só pode ser aberto.

5Editar

5aEditar

Para quaisquer  , tem-se  

ResoluçãoEditar

Tome  

 .

5bEditar

Para quaisquer  , tem-se  

ResoluçãoEditar

Tome  

 .

5cEditar

Para quaisquer  , tem-se  . Dê um exemplo em que a inclusão não se reduza a uma igualdade.

ResoluçãoEditar

6Editar

Se   é aberto e  , então   é aberto.

ResoluçãoEditar

Tome   aberto  .

  • Se  
  • Se  . Mas  . Logo, se  . Assim podemos tomar  
Portanto  .
Logo   é aberto.

7Editar

7aEditar

Considere a função   dadas por  . Mostre que, para cada   aberto,   é aberto.

ResoluçãoEditar

  •   é aberto
Vamos determinar  .
Queremos mostrar que   é aberto, quando A é aberto. Mas  .
Suponha que   não é aberto. Então  .
Como  . Tome  
 .
 
  que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que   não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto   é aberto.

7bEditar

Considere a função   dadas por  . Mostre que, para cada   aberto,   é aberto.

ResoluçãoEditar

Vamos determinar  .
Queremos mostrar que   é aberto, quando A é aberto. Mas  .
Suponha que   não é aberto. Então  .
Como  . Tome  
 .
 
  que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que   não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto   é aberto.

7cEditar

Considere a função   dadas por  . Mostre que, para cada   aberto,   é aberto

ResoluçãoEditar

Vamos determinar  .
Queremos mostrar que   é aberto, quando A é aberto. Mas  .
Suponha que   não é aberto. Então  .
Como  . Tome  
 .
 
  que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que   não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto   é aberto.

8Editar

8aEditar

Sendo   aberto e  , mostre que   é aberto.

ResoluçãoEditar

Queremos mostrar que   é aberto, quando A é aberto. Mas  .
Suponha que   não é aberto. Então  .
Como  . Tome  
 .
 
  que é uma contradição.
Logo foi errado termos suposto que   não fosse aberto, pois resultou num fato contraditório.
Portanto   é aberto.

8bEditar

Sendo   aberto e  , mostre que h(A) é aberto.

ResoluçãoEditar


8cEditar

Sendo   aberto e  , mostre que g(A) não é aberto.

ResoluçãoEditar

9Editar

Toda coleção de abertos não-vazios, dois a dois disjuntos é enumerável.

ResoluçãoEditar

Seja a coleção de abertos disjuntos  , logo, tomando   aberto e   existe um intervalo  . Mas, como   é denso em  , temos que  . Como os abertos   são disjuntos, temos que  , para todo  . Logo temos a função  , onde associa a cada   um número racional  . Como f é injetiva e   é enumerável, então X é enumerável, o que mostra q X é enumerável.

10Editar

O conjunto dos valores de aderência de uma sequência é um conjunto fechado.

ResoluçãoEditar

Seja   e seja  . Logo  .