Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Topologia da reta/17-24

17 editar

Resolução não está pronta editar

18 editar

Resolução não está pronta editar

19 editar

Resolução não está pronta editar

20 editar

20a editar

Para   quaisquer, tem-se  

Resolução editar

Tome      .

20b editar

Para   quaisquer, tem-se  .

Resolução editar

Tome    .

20c editar

Dê um exemplo no qual a inclusão não se reduz a uma igualdade.

Resolução não está pronta editar

21 editar

Um conjunto   é aberto se, e só se,  

Resolução editar

Tome  

  • Como A é aberto, se  
  •  , logo  

22 editar

Sejam   não-vazios. Dê exemplos mostrando que   se   são apenas fechados ou limitados.

Resolução editar

  • Vamos tomar   pois   e  . Logo  
  • Vamos tomar   pois suponha  , mas  

23 editar

Um conjunto não vazio   é um intervalo, se e só se, satisfaz a condição seguinte " 

Resolução editar

 

  • Um conjunto não vazio   é um intervalo, isto é,  
    • Em todos esses casos, dados   isto é,  

 

  • Por hipótese a condição é satisfeita, dados "  Mostrar que X é um intervalo.
    • Tome  . Como  , logo podemos dizer que X é um intervalo.

24 editar

Mostre que a intersecção de uma sequência descendentes   de intervalos é um intervalo ou um conjunto vazio.

Resolução não está pronta editar

Como   é um intervalo para cada n natural, logo  

  • Tome  . Devemos mostrar que  .   é um intervalo.
  • Tome  . Devemos mostrar que \cap I_n = \varnothing</math>, isto é, é um conjunto vazio.
  • Tome a_n = inf I_n e b_n = sup I_n, I_n \supset (a_n,b_n) \Rightarrow \lim a_n=a, \lim b_n = b \in \cap I_n. se a=b então \cap I_n = \varnothing, se a \ne b, então I é um intervalo.