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Um conjunto
A
⊂
R
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} \;}
A
∩
X
¯
⊂
A
∩
X
¯
,
∀
X
⊂
R
{\displaystyle A\cap {\overline {X}}\subset {\overline {A\cap X}},\forall X\subset \mathbb {R} }
Tome
a
∈
A
∩
X
¯
⇒
a
∈
A
e
(
a
∈
X
ou
a
∈
X
′
)
⇒
(
a
∈
A
e
a
∈
X
)
ou
(
a
∈
A
e
a
∈
X
′
)
⇒
(
a
∈
A
∩
X
)
ou
(
a
∈
A
∩
X
′
)
{\displaystyle a\in A\cap {\overline {X}}\Rightarrow a\in A{\mbox{ e }}(a\in X{\mbox{ ou }}a\in X')\Rightarrow (a\in A{\mbox{ e }}a\in X){\mbox{ ou }}(a\in A{\mbox{ e }}a\in X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')}
Como A é aberto, se
a
∈
A
⇒
∃
ϵ
1
>
0
;
a
∈
(
a
−
ϵ
1
,
a
+
ϵ
1
)
⊂
A
⇒
∀
ϵ
>
0
;
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
−
{
a
}
∩
A
≠
∅
⇒
a
∈
A
′
⇒
A
⊂
A
′
⇒
{\displaystyle a\in A\Rightarrow \exists \;\epsilon _{1}>0;a\in (a-\epsilon _{1},a+\epsilon _{1})\subset A\Rightarrow \forall \;\epsilon >0;(a-\epsilon ,a+\epsilon )-\{a\}\cap A\neq \varnothing \Rightarrow a\in A'\Rightarrow A\subset A'\Rightarrow }
⇒
A
∩
X
′
⊂
A
′
∩
X
′
⊂
(
A
∩
X
)
′
{\displaystyle \Rightarrow A\cap X'\subset A'\cap X'\subset (A\cap X)'}
(
a
∈
A
∩
X
)
ou
(
a
∈
A
∩
X
′
)
⇒
(
a
∈
A
∩
X
)
ou
(
a
∈
(
A
∩
X
)
′
)
⇒
a
∈
A
∩
X
¯
{\displaystyle (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in (A\cap X)')\Rightarrow a\in {\overline {A\cap X}}}
Sejam
F
1
⊃
F
2
⊃
.
.
.
⊃
F
n
⊃
.
.
.
{\displaystyle F_{1}\supset F_{2}\supset ...\supset F_{n}\supset ...\;}
⋂
n
∈
N
F
n
=
∅
,
{\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}=\varnothing ,}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
Vamos tomar
F
n
=
(
0
,
1
n
)
⇒
⋂
n
∈
N
(
0
,
1
n
)
=
∅
,
{\displaystyle F_{n}=(0,{1 \over n})\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(0,{1 \over n})=\varnothing ,}
lim
1
n
=
0
{\displaystyle \lim {1 \over n}=0}
0
,
1
n
∉
(
0
,
1
n
)
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle 0,{1 \over n}\not \in (0,{1 \over n}),\forall \;n\in \mathbb {N} }
0
∉
∩
(
0
,
1
n
)
.
{\displaystyle 0\not \in \cap (0,{1 \over n}).}
Vamos tomar
F
n
=
[
n
,
∞
)
⇒
⋂
n
∈
N
[
n
,
∞
)
=
∅
,
{\displaystyle F_{n}=[n,\infty )\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[n,\infty )=\varnothing ,}
t
∈
∩
[
n
,
∞
)
{\displaystyle t\in \cap [n,\infty )}
t
∉
[
t
+
1
,
∞
)
.
{\displaystyle t\not \in [t+1,\infty ).}
Um conjunto não vazio
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
a
,
b
∈
X
,
a
<
x
<
b
⇒
x
∈
X
.
{\displaystyle a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow \;}
Um conjunto não vazio
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
X
=
[
a
,
b
]
ou
[
a
,
b
[
ou
]
a
,
b
]
ou
]
a
,
b
[
ou
[
a
,
∞
[
ou
]
a
,
∞
[
ou
]
−
∞
,
b
[
ou
]
−
∞
,
b
]
ou
]
−
∞
,
∞
[
{\displaystyle X=[a,b]{\mbox{ ou }}[a,b[{\mbox{ ou }}]a,b]{\mbox{ ou }}]a,b[{\mbox{ ou }}[a,\infty [{\mbox{ ou }}]a,\infty [{\mbox{ ou }}]-\infty ,b[{\mbox{ ou }}]-\infty ,b]{\mbox{ ou }}]-\infty ,\infty [}
Em todos esses casos, dados
y
,
z
∈
X
,
y
<
z
,
temos que
(
y
,
z
)
⊂
X
,
{\displaystyle y,z\in X,y<z,{\mbox{ temos que }}(y,z)\subset X,}
{
x
∈
R
;
y
<
x
<
z
}
⊂
{
x
∈
X
}
⇒
∀
x
∈
R
;
y
<
x
<
z
⇒
x
∈
X
.
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ;y<x<z\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow \forall \;x\in \mathbb {R} ;y<x<z\Rightarrow x\in X.}
⇐
{\displaystyle \Leftarrow \;}
Por hipótese a condição é satisfeita, dados "
a
,
b
∈
X
,
a
<
x
<
b
⇒
x
∈
X
.
{\displaystyle a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.}
Tome
{
x
∈
R
;
a
<
x
<
b
}
⊂
{
x
∈
X
}
⇒
(
a
,
b
)
⊂
X
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ;a<x<b\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow (a,b)\subset X}
a
,
b
∈
X
,
a
<
b
{\displaystyle a,b\in X,a<b}
Mostre que a intersecção de uma sequência descendentes
I
1
⊃
I
2
⊃
.
.
.
⊃
I
n
⊃
.
.
.
{\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset ...\supset I_{n}\supset ...\;}
editar
Como
I
n
{\displaystyle I_{n}\;}
∀
x
n
,
y
n
∈
I
n
,
x
n
<
t
n
<
y
n
⇒
t
n
∈
I
n
.
{\displaystyle \forall \;x_{n},y_{n}\in I_{n},x_{n}<t_{n}<y_{n}\Rightarrow t_{n}\in I_{n}.}
Tome
lim
x
n
≠
lim
y
n
∈
∩
I
n
{\displaystyle \lim x_{n}\neq \lim y_{n}\in \cap I_{n}}
lim
x
n
<
t
<
lim
y
n
⇒
t
∈
∩
I
n
.
{\displaystyle \lim x_{n}<t<\lim y_{n}\Rightarrow t\in \cap I_{n}.}
∩
I
n
{\displaystyle \cap I_{n}\;}
Tome
lim
x
n
=
lim
y
n
∈
∩
I
n
,
∀
(
x
n
)
,
(
y
n
)
∈
F
n
{\displaystyle \lim x_{n}=\lim y_{n}\in \cap I_{n},\forall (x_{n}),(y_{n})\in F_{n}}
Tome a_n = inf I_n e b_n = sup I_n, I_n \supset (a_n,b_n) \Rightarrow \lim a_n=a, \lim b_n = b \in \cap I_n. se a=b então \cap I_n = \varnothing, se a \ne b, então I é um intervalo.
![{\displaystyle X=[a,b]{\mbox{ ou }}[a,b[{\mbox{ ou }}]a,b]{\mbox{ ou }}]a,b[{\mbox{ ou }}[a,\infty [{\mbox{ ou }}]a,\infty [{\mbox{ ou }}]-\infty ,b[{\mbox{ ou }}]-\infty ,b]{\mbox{ ou }}]-\infty ,\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bd9c9e325820b1f8df7c3bd4ad2e7516546691)
