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Um conjunto A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} \;} é aberto se, e só se, A ∩ X ¯ ⊂ A ∩ X ¯ , ∀ X ⊂ R {\displaystyle A\cap {\overline {X}}\subset {\overline {A\cap X}},\forall X\subset \mathbb {R} }
Tome a ∈ A ∩ X ¯ ⇒ a ∈ A e ( a ∈ X ou a ∈ X ′ ) ⇒ ( a ∈ A e a ∈ X ) ou ( a ∈ A e a ∈ X ′ ) ⇒ ( a ∈ A ∩ X ) ou ( a ∈ A ∩ X ′ ) {\displaystyle a\in A\cap {\overline {X}}\Rightarrow a\in A{\mbox{ e }}(a\in X{\mbox{ ou }}a\in X')\Rightarrow (a\in A{\mbox{ e }}a\in X){\mbox{ ou }}(a\in A{\mbox{ e }}a\in X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')}
Como A é aberto, se a ∈ A ⇒ ∃ ϵ 1 > 0 ; a ∈ ( a − ϵ 1 , a + ϵ 1 ) ⊂ A ⇒ ∀ ϵ > 0 ; ( a − ϵ , a + ϵ ) − { a } ∩ A ≠ ∅ ⇒ a ∈ A ′ ⇒ A ⊂ A ′ ⇒ {\displaystyle a\in A\Rightarrow \exists \;\epsilon _{1}>0;a\in (a-\epsilon _{1},a+\epsilon _{1})\subset A\Rightarrow \forall \;\epsilon >0;(a-\epsilon ,a+\epsilon )-\{a\}\cap A\neq \varnothing \Rightarrow a\in A'\Rightarrow A\subset A'\Rightarrow }
⇒ A ∩ X ′ ⊂ A ′ ∩ X ′ ⊂ ( A ∩ X ) ′ {\displaystyle \Rightarrow A\cap X'\subset A'\cap X'\subset (A\cap X)'} , logo ( a ∈ A ∩ X ) ou ( a ∈ A ∩ X ′ ) ⇒ ( a ∈ A ∩ X ) ou ( a ∈ ( A ∩ X ) ′ ) ⇒ a ∈ A ∩ X ¯ {\displaystyle (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in (A\cap X)')\Rightarrow a\in {\overline {A\cap X}}}
Sejam F 1 ⊃ F 2 ⊃ . . . ⊃ F n ⊃ . . . {\displaystyle F_{1}\supset F_{2}\supset ...\supset F_{n}\supset ...\;} não-vazios. Dê exemplos mostrando que ⋂ n ∈ N F n = ∅ , {\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}=\varnothing ,} se F n {\displaystyle F_{n}} são apenas fechados ou limitados.
Vamos tomar F n = ( 0 , 1 n ) ⇒ ⋂ n ∈ N ( 0 , 1 n ) = ∅ , {\displaystyle F_{n}=(0,{1 \over n})\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(0,{1 \over n})=\varnothing ,} pois lim 1 n = 0 {\displaystyle \lim {1 \over n}=0} e 0 , 1 n ∉ ( 0 , 1 n ) , ∀ n ∈ N {\displaystyle 0,{1 \over n}\not \in (0,{1 \over n}),\forall \;n\in \mathbb {N} } . Logo 0 ∉ ∩ ( 0 , 1 n ) . {\displaystyle 0\not \in \cap (0,{1 \over n}).}
Vamos tomar F n = [ n , ∞ ) ⇒ ⋂ n ∈ N [ n , ∞ ) = ∅ , {\displaystyle F_{n}=[n,\infty )\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[n,\infty )=\varnothing ,} pois suponha t ∈ ∩ [ n , ∞ ) {\displaystyle t\in \cap [n,\infty )} , mas t ∉ [ t + 1 , ∞ ) . {\displaystyle t\not \in [t+1,\infty ).}
Um conjunto não vazio X ⊂ R {\displaystyle X\subset \mathbb {R} } é um intervalo, se e só se, satisfaz a condição seguinte "a , b ∈ X , a < x < b ⇒ x ∈ X . {\displaystyle a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.}
⇒ {\displaystyle \Rightarrow \;}
Um conjunto não vazio X ⊂ R {\displaystyle X\subset \mathbb {R} } é um intervalo, isto é, X = [ a , b ] ou [ a , b [ ou ] a , b ] ou ] a , b [ ou [ a , ∞ [ ou ] a , ∞ [ ou ] − ∞ , b [ ou ] − ∞ , b ] ou ] − ∞ , ∞ [ {\displaystyle X=[a,b]{\mbox{ ou }}[a,b[{\mbox{ ou }}]a,b]{\mbox{ ou }}]a,b[{\mbox{ ou }}[a,\infty [{\mbox{ ou }}]a,\infty [{\mbox{ ou }}]-\infty ,b[{\mbox{ ou }}]-\infty ,b]{\mbox{ ou }}]-\infty ,\infty [}
Em todos esses casos, dados y , z ∈ X , y < z , temos que ( y , z ) ⊂ X , {\displaystyle y,z\in X,y<z,{\mbox{ temos que }}(y,z)\subset X,} isto é, { x ∈ R ; y < x < z } ⊂ { x ∈ X } ⇒ ∀ x ∈ R ; y < x < z ⇒ x ∈ X . {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ;y<x<z\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow \forall \;x\in \mathbb {R} ;y<x<z\Rightarrow x\in X.} ⇐ {\displaystyle \Leftarrow \;}
Por hipótese a condição é satisfeita, dados "a , b ∈ X , a < x < b ⇒ x ∈ X . {\displaystyle a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.} Mostrar que X é um intervalo.
Tome { x ∈ R ; a < x < b } ⊂ { x ∈ X } ⇒ ( a , b ) ⊂ X {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ;a<x<b\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow (a,b)\subset X} . Como a , b ∈ X , a < b {\displaystyle a,b\in X,a<b} , logo podemos dizer que X é um intervalo.
Mostre que a intersecção de uma sequência descendentes I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . . ⊃ I n ⊃ . . . {\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset ...\supset I_{n}\supset ...\;} de intervalos é um intervalo ou um conjunto vazio.
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Como I n {\displaystyle I_{n}\;} é um intervalo para cada n natural, logo ∀ x n , y n ∈ I n , x n < t n < y n ⇒ t n ∈ I n . {\displaystyle \forall \;x_{n},y_{n}\in I_{n},x_{n}<t_{n}<y_{n}\Rightarrow t_{n}\in I_{n}.}
Tome lim x n ≠ lim y n ∈ ∩ I n {\displaystyle \lim x_{n}\neq \lim y_{n}\in \cap I_{n}} . Devemos mostrar que lim x n < t < lim y n ⇒ t ∈ ∩ I n . {\displaystyle \lim x_{n}<t<\lim y_{n}\Rightarrow t\in \cap I_{n}.} . ∩ I n {\displaystyle \cap I_{n}\;} é um intervalo.
Tome lim x n = lim y n ∈ ∩ I n , ∀ ( x n ) , ( y n ) ∈ F n {\displaystyle \lim x_{n}=\lim y_{n}\in \cap I_{n},\forall (x_{n}),(y_{n})\in F_{n}} . Devemos mostrar que \cap I_n = \varnothing</math>, isto é, é um conjunto vazio.
Tome a_n = inf I_n e b_n = sup I_n, I_n \supset (a_n,b_n) \Rightarrow \lim a_n=a, \lim b_n = b \in \cap I_n. se a=b então \cap I_n = \varnothing, se a \ne b, então I é um intervalo.