Um conjunto
A
⊂
R
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} \;}
A
∩
X
¯
⊂
A
∩
X
¯
,
∀
X
⊂
R
{\displaystyle A\cap {\overline {X}}\subset {\overline {A\cap X}},\forall X\subset \mathbb {R} }
Tome
a
∈
A
∩
X
¯
⇒
a
∈
A
e
(
a
∈
X
ou
a
∈
X
′
)
⇒
(
a
∈
A
e
a
∈
X
)
ou
(
a
∈
A
e
a
∈
X
′
)
⇒
(
a
∈
A
∩
X
)
ou
(
a
∈
A
∩
X
′
)
{\displaystyle a\in A\cap {\overline {X}}\Rightarrow a\in A{\mbox{ e }}(a\in X{\mbox{ ou }}a\in X')\Rightarrow (a\in A{\mbox{ e }}a\in X){\mbox{ ou }}(a\in A{\mbox{ e }}a\in X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')}
Como A é aberto, se
a
∈
A
⇒
∃
ϵ
1
>
0
;
a
∈
(
a
−
ϵ
1
,
a
+
ϵ
1
)
⊂
A
⇒
∀
ϵ
>
0
;
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
−
{
a
}
∩
A
≠
∅
⇒
a
∈
A
′
⇒
A
⊂
A
′
⇒
{\displaystyle a\in A\Rightarrow \exists \;\epsilon _{1}>0;a\in (a-\epsilon _{1},a+\epsilon _{1})\subset A\Rightarrow \forall \;\epsilon >0;(a-\epsilon ,a+\epsilon )-\{a\}\cap A\neq \varnothing \Rightarrow a\in A'\Rightarrow A\subset A'\Rightarrow }
⇒
A
∩
X
′
⊂
A
′
∩
X
′
⊂
(
A
∩
X
)
′
{\displaystyle \Rightarrow A\cap X'\subset A'\cap X'\subset (A\cap X)'}
(
a
∈
A
∩
X
)
ou
(
a
∈
A
∩
X
′
)
⇒
(
a
∈
A
∩
X
)
ou
(
a
∈
(
A
∩
X
)
′
)
⇒
a
∈
A
∩
X
¯
{\displaystyle (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in A\cap X')\Rightarrow (a\in A\cap X){\mbox{ ou }}(a\in (A\cap X)')\Rightarrow a\in {\overline {A\cap X}}}
Sejam
F
1
⊃
F
2
⊃
.
.
.
⊃
F
n
⊃
.
.
.
{\displaystyle F_{1}\supset F_{2}\supset ...\supset F_{n}\supset ...\;}
⋂
n
∈
N
F
n
=
∅
,
{\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}=\varnothing ,}
F
n
{\displaystyle F_{n}}
Vamos tomar
F
n
=
(
0
,
1
n
)
⇒
⋂
n
∈
N
(
0
,
1
n
)
=
∅
,
{\displaystyle F_{n}=(0,{1 \over n})\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }(0,{1 \over n})=\varnothing ,}
lim
1
n
=
0
{\displaystyle \lim {1 \over n}=0}
0
,
1
n
∉
(
0
,
1
n
)
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle 0,{1 \over n}\not \in (0,{1 \over n}),\forall \;n\in \mathbb {N} }
0
∉
∩
(
0
,
1
n
)
.
{\displaystyle 0\not \in \cap (0,{1 \over n}).}
Vamos tomar
F
n
=
[
n
,
∞
)
⇒
⋂
n
∈
N
[
n
,
∞
)
=
∅
,
{\displaystyle F_{n}=[n,\infty )\Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[n,\infty )=\varnothing ,}
t
∈
∩
[
n
,
∞
)
{\displaystyle t\in \cap [n,\infty )}
t
∉
[
t
+
1
,
∞
)
.
{\displaystyle t\not \in [t+1,\infty ).}
Um conjunto não vazio
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
a
,
b
∈
X
,
a
<
x
<
b
⇒
x
∈
X
.
{\displaystyle a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.}
⇒
{\displaystyle \Rightarrow \;}
Um conjunto não vazio
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
X
=
[
a
,
b
]
ou
[
a
,
b
[
ou
]
a
,
b
]
ou
]
a
,
b
[
ou
[
a
,
∞
[
ou
]
a
,
∞
[
ou
]
−
∞
,
b
[
ou
]
−
∞
,
b
]
ou
]
−
∞
,
∞
[
{\displaystyle X=[a,b]{\mbox{ ou }}[a,b[{\mbox{ ou }}]a,b]{\mbox{ ou }}]a,b[{\mbox{ ou }}[a,\infty [{\mbox{ ou }}]a,\infty [{\mbox{ ou }}]-\infty ,b[{\mbox{ ou }}]-\infty ,b]{\mbox{ ou }}]-\infty ,\infty [}
Em todos esses casos, dados
y
,
z
∈
X
,
y
<
z
,
temos que
(
y
,
z
)
⊂
X
,
{\displaystyle y,z\in X,y<z,{\mbox{ temos que }}(y,z)\subset X,}
{
x
∈
R
;
y
<
x
<
z
}
⊂
{
x
∈
X
}
⇒
∀
x
∈
R
;
y
<
x
<
z
⇒
x
∈
X
.
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ;y<x<z\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow \forall \;x\in \mathbb {R} ;y<x<z\Rightarrow x\in X.}
⇐
{\displaystyle \Leftarrow \;}
Por hipótese a condição é satisfeita, dados "
a
,
b
∈
X
,
a
<
x
<
b
⇒
x
∈
X
.
{\displaystyle a,b\in X,a<x<b\Rightarrow x\in X.}
Tome
{
x
∈
R
;
a
<
x
<
b
}
⊂
{
x
∈
X
}
⇒
(
a
,
b
)
⊂
X
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ;a<x<b\}\subset \{x\in X\}\Rightarrow (a,b)\subset X}
a
,
b
∈
X
,
a
<
b
{\displaystyle a,b\in X,a<b}
Mostre que a intersecção de uma sequência descendentes
I
1
⊃
I
2
⊃
.
.
.
⊃
I
n
⊃
.
.
.
{\displaystyle I_{1}\supset I_{2}\supset ...\supset I_{n}\supset ...\;}
editar
Como
I
n
{\displaystyle I_{n}\;}
∀
x
n
,
y
n
∈
I
n
,
x
n
<
t
n
<
y
n
⇒
t
n
∈
I
n
.
{\displaystyle \forall \;x_{n},y_{n}\in I_{n},x_{n}<t_{n}<y_{n}\Rightarrow t_{n}\in I_{n}.}
Tome
lim
x
n
≠
lim
y
n
∈
∩
I
n
{\displaystyle \lim x_{n}\neq \lim y_{n}\in \cap I_{n}}
lim
x
n
<
t
<
lim
y
n
⇒
t
∈
∩
I
n
.
{\displaystyle \lim x_{n}<t<\lim y_{n}\Rightarrow t\in \cap I_{n}.}
∩
I
n
{\displaystyle \cap I_{n}\;}
Tome
lim
x
n
=
lim
y
n
∈
∩
I
n
,
∀
(
x
n
)
,
(
y
n
)
∈
F
n
{\displaystyle \lim x_{n}=\lim y_{n}\in \cap I_{n},\forall (x_{n}),(y_{n})\in F_{n}}
Tome a_n = inf I_n e b_n = sup I_n, I_n \supset (a_n,b_n) \Rightarrow \lim a_n=a, \lim b_n = b \in \cap I_n. se a=b então \cap I_n = \varnothing, se a \ne b, então I é um intervalo.
Um conjunto X é denso em
R
⇔
i
n
t
(
R
−
X
)
=
∅
{\displaystyle \mathbb {R} \Leftrightarrow int(\mathbb {R} -X)=\varnothing }
X é denso em
R
⇒
∀
a
∈
R
,
ϵ
>
0
,
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
∩
X
≠
∅
⇒
∀
a
∈
R
−
X
,
ϵ
>
0
,
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
∩
X
≠
∅
⇒
{\displaystyle \mathbb {R} \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} ,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow }
⇒
∀
a
∈
R
−
X
,
ϵ
>
0
,
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
⊄
R
−
X
⇒
i
n
t
(
R
−
X
)
=
∅
{\displaystyle \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset \mathbb {R} -X\Rightarrow int(\mathbb {R} -X)=\varnothing }
i
n
t
(
R
−
X
)
=
∅
⇒
∀
a
∈
R
−
X
,
ϵ
>
0
,
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
⊄
R
−
X
⇒
∀
a
∈
R
−
X
,
ϵ
>
0
,
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
∩
X
≠
∅
⇒
{\displaystyle int(\mathbb {R} -X)=\varnothing \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset \mathbb {R} -X\Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} -X,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow }
⇒
∀
a
∈
R
,
ϵ
>
0
,
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
∩
X
≠
∅
⇒
{\displaystyle \Rightarrow \forall \;a\in \mathbb {R} ,\epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap X\neq \varnothing \Rightarrow }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Se
F
{\displaystyle F\;}
A
{\displaystyle A\;}
F
−
A
{\displaystyle F-A\;}
Se
F
⊂
A
⇒
F
−
A
=
∅
⇒
F
−
A
{\displaystyle F\subset A\Rightarrow F-A=\varnothing \Rightarrow F-A}
Caso F-A=F, F é fechado, logo F-A é fechado.
Caso
(
F
−
A
)
′
=
∅
⇒
F
{\displaystyle (F-A)'=\varnothing \Rightarrow F}
Seja
(
F
−
A
)
′
≠
∅
{\displaystyle (F-A)'\neq \varnothing }
F
−
A
{\displaystyle F-A\;}
(
F
−
A
)
′
⊄
F
−
A
⇒
∃
b
∈
(
F
−
A
)
′
;
b
∉
F
−
A
.
{\displaystyle (F-A)'\not \subset F-A\Rightarrow \exists \;b\in (F-A)';b\not \in F-A.}
Como
b
∈
(
F
−
A
)
′
⇒
∀
ϵ
>
0
,
(
F
−
A
)
∩
(
b
−
ϵ
,
b
+
ϵ
)
≠
∅
,
{\displaystyle b\in (F-A)'\Rightarrow \forall \epsilon >0,(F-A)\cap (b-\epsilon ,b+\epsilon )\neq \varnothing ,}
F
−
A
⊂
F
⇒
F
∩
(
b
−
ϵ
,
b
+
ϵ
)
≠
∅
⇒
b
∈
F
′
=
F
{\displaystyle F-A\subset F\Rightarrow F\cap (b-\epsilon ,b+\epsilon )\neq \varnothing \Rightarrow b\in F'=F}
Também temos que
A
∩
(
F
−
A
)
=
∅
⇒
A
∩
(
F
−
A
)
′
=
∅
⇒
b
∉
A
{\displaystyle A\cap (F-A)=\varnothing \Rightarrow A\cap (F-A)'=\varnothing \Rightarrow b\not \in A}
Como
R
=
(
F
−
A
)
∪
(
F
∩
A
)
∪
(
R
−
F
)
,
b
∉
(
F
−
A
)
∩
A
,
b
∈
F
⇒
b
∉
R
.
{\displaystyle \mathbb {R} =(F-A)\cup (F\cap A)\cup (\mathbb {R} -F),b\not \in (F-A)\cap A,b\in F\Rightarrow b\not \in \mathbb {R} .}
Logo
F
−
A
{\displaystyle F-A\;}
Dê exemplo de um aberto A tal que
A
⊃
Q
,
mas
R
−
A
{\displaystyle A\supset \mathbb {Q} ,{\mbox{ mas }}\mathbb {R} -A}
editar
Dê exemplo de um conjunto fechado, não enumerável, formado apenas por números transcedentes.
editar
Defina a distância de um ponto
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
X
⊂
R
como
d
(
a
,
X
)
=
inf
{
|
x
−
a
|
;
x
∈
X
}
.
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} {\mbox{ como }}d(a,X)=\inf\{|x-a|;x\in X\}.}
d
(
a
,
X
)
=
0
⇔
a
∈
X
¯
{\displaystyle d(a,X)=0\Leftrightarrow a\in {\overline {X}}}
d
(
a
,
X
)
=
0
⇒
inf
{
|
x
−
a
|
;
x
∈
X
}
=
0
⇒
∃
x
0
∈
X
;
0
=
|
x
0
−
a
|
<
|
x
−
a
|
,
∀
x
∈
X
⇒
{
0
=
x
0
−
a
,
se
x
0
≤
a
0
=
a
−
x
0
,
se
x
0
<
a
{\displaystyle d(a,X)=0\Rightarrow \inf\{|x-a|;x\in X\}=0\Rightarrow \exists \;x_{0}\in X;0=|x_{0}-a|<|x-a|,\forall \;x\in X\Rightarrow {\begin{cases}0=x_{0}-a,{\mbox{ se }}x_{0}\leq a\\0=a-x_{0},{\mbox{ se }}x_{0}<a\end{cases}}}
⇒
x
0
=
a
∈
X
⇒
a
∈
X
¯
{\displaystyle \Rightarrow x_{0}=a\in X\Rightarrow a\in {\overline {X}}}
a
∈
X
¯
⇒
a
∈
X
,
ou
a
∈
X
′
.
{\displaystyle a\in {\overline {X}}\Rightarrow a\in X,{\mbox{ ou }}a\in X'.}
Caso
a
∈
X
⇒
{
a
−
x
<
0
=
a
−
a
<
x
−
a
,
se
x
>
a
x
−
a
<
0
=
a
−
a
<
a
−
x
,
se
x
<
a
⇒
0
=
|
a
−
a
|
<
|
x
−
a
|
⇒
inf
{
|
x
−
a
|
;
x
∈
X
}
=
0
⇒
{\displaystyle a\in X\Rightarrow {\begin{cases}a-x<0=a-a<x-a,{\mbox{ se }}x>a\\x-a<0=a-a<a-x,{\mbox{ se }}x<a\end{cases}}\Rightarrow 0=|a-a|<|x-a|\Rightarrow \inf\{|x-a|;x\in X\}=0\Rightarrow }
⇒
d
(
a
,
X
)
=
0.
{\displaystyle \Rightarrow d(a,X)=0.}
Caso
a
∈
X
′
−
X
⇒
∀
ϵ
>
0
,
∃
x
∈
X
;
0
<
|
x
−
a
|
<
ϵ
e
{
a
−
x
<
0
<
x
−
a
,
∀
x
∈
X
se
x
>
a
x
−
a
<
0
<
a
−
x
,
∀
x
∈
X
se
x
<
a
⇒
{\displaystyle a\in X'-X\Rightarrow \forall \;\epsilon >0,\exists \;x\in X;0<|x-a|<\epsilon {\mbox{ e }}{\begin{cases}a-x<0<x-a,\forall \;x\in X{\mbox{ se }}x>a\\x-a<0<a-x,\forall \;x\in X{\mbox{ se }}x<a\end{cases}}\Rightarrow }
⇒
0
<
|
x
−
a
|
⇒
inf
{
|
x
−
a
|
;
x
∈
X
}
=
0
⇒
d
(
a
,
X
)
=
0.
{\displaystyle \Rightarrow 0<|x-a|\Rightarrow \inf\{|x-a|;x\in X\}=0\Rightarrow d(a,X)=0.}
Defina a distância de um ponto
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
X
⊂
R
como
d
(
a
,
X
)
=
inf
{
|
x
−
a
|
;
x
∈
X
}
.
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} {\mbox{ como }}d(a,X)=\inf\{|x-a|;x\in X\}.}
F
⊂
R
{\displaystyle F\subset \mathbb {R} }
∀
a
∈
R
,
∃
b
∈
F
;
d
(
a
,
F
)
=
|
b
−
a
|
{\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} ,\exists \;b\in F;d(a,F)=|b-a|}
Tome
a
∈
R
⇒
d
(
a
,
F
)
=
inf
{
|
x
−
a
|
;
x
∈
F
}
.
{\displaystyle a\in \mathbb {R} \Rightarrow d(a,F)=\inf\{|x-a|;x\in F\}.}
Caso
a
∈
F
¯
⇒
d
(
a
,
F
)
=
0
=
|
a
−
a
|
,
{\displaystyle a\in {\overline {F}}\Rightarrow d(a,F)=0=|a-a|,}
∀
a
∈
R
∩
F
¯
,
∃
a
∈
F
;
d
(
a
,
F
)
=
|
a
−
a
|
{\displaystyle \forall \;a\in \mathbb {R} \cap {\overline {F}},\exists \;a\in F;d(a,F)=|a-a|}
Seja
a
∈
R
−
F
¯
⇒
∃
ϵ
>
0
;
F
¯
∩
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
=
∅
.
{\displaystyle a\in \mathbb {R} -{\overline {F}}\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;{\overline {F}}\cap (a-\epsilon ,a+\epsilon )=\varnothing .}
sup
{
ϵ
>
0
;
F
¯
∩
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
=
∅
}
=
δ
⇒
{\displaystyle \sup\{\epsilon >0;{\overline {F}}\cap (a-\epsilon ,a+\epsilon )=\varnothing \}=\delta \Rightarrow }
⇒
∃
b
=
a
−
δ
e/ou
a
+
δ
∈
F
¯
∩
[
a
−
δ
,
a
+
δ
]
⇒
∃
b
∈
F
¯
;
δ
=
|
a
−
b
|
;
{
b
}
=
F
¯
∩
[
a
−
δ
,
a
+
δ
]
⇒
{\displaystyle \Rightarrow \exists \;b=a-\delta {\mbox{ e/ou }}a+\delta \in {\overline {F}}\cap [a-\delta ,a+\delta ]\Rightarrow \exists \;b\in {\overline {F}};\delta =|a-b|;\{b\}={\overline {F}}\cap [a-\delta ,a+\delta ]\Rightarrow }
⇒
∃
b
∈
F
¯
;
δ
=
|
b
−
a
|
≤
|
x
−
a
|
(
x
<
a
−
δ
ou
x
>
a
+
δ
)
,
∀
x
∈
F
⇒
δ
=
d
(
a
,
F
)
=
inf
{
|
x
−
a
|
;
x
∈
F
}
=
|
b
−
a
|
{\displaystyle \Rightarrow \exists \;b\in {\overline {F}};\delta =|b-a|\leq |x-a|(x<a-\delta {\mbox{ ou }}x>a+\delta ),\forall \;x\in F\Rightarrow \delta =d(a,F)=\inf\{|x-a|;x\in F\}=|b-a|}
Se X é limitado superiormente, seu fecho também é. Além disso,
sup
X
=
sup
X
¯
{\displaystyle \sup X=\sup {\overline {X}}}
editar
X é limitado superiormente
⇒
∃
sup
X
∈
R
;
x
≤
sup
X
,
∀
x
∈
X
{\displaystyle \Rightarrow \exists \;\sup X\in \mathbb {R} ;x\leq \sup X,\forall \;x\in X}
Caso
sup
X
∈
X
⇒
sup
X
∈
X
¯
⇒
X
¯
{\displaystyle \sup X\in X\Rightarrow \sup X\in {\overline {X}}\Rightarrow {\overline {X}}}
Caso
sup
X
∉
X
⇒
sup
X
∈
X
′
⇒
sup
X
∈
X
¯
⇒
X
¯
{\displaystyle \sup X\not \in X\Rightarrow \sup X\in X'\Rightarrow \sup X\in {\overline {X}}\Rightarrow {\overline {X}}}
Caso
sup
X
∉
X
¯
⇒
∃
ϵ
>
0
;
(
sup
X
−
ϵ
,
sup
X
]
∩
X
=
∅
⇒
sup
X
−
ϵ
{\displaystyle \sup X\not \in {\overline {X}}\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;(\sup X-\epsilon ,\sup X]\cap X=\varnothing \Rightarrow \sup X-\epsilon }
Se X é limitado inferiormente, seu fecho também é. Além disso,
inf
X
=
inf
X
¯
{\displaystyle \inf X=\inf {\overline {X}}}
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![{\displaystyle X=[a,b]{\mbox{ ou }}[a,b[{\mbox{ ou }}]a,b]{\mbox{ ou }}]a,b[{\mbox{ ou }}[a,\infty [{\mbox{ ou }}]a,\infty [{\mbox{ ou }}]-\infty ,b[{\mbox{ ou }}]-\infty ,b]{\mbox{ ou }}]-\infty ,\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8bd9c9e325820b1f8df7c3bd4ad2e7516546691)
![{\displaystyle \Rightarrow \exists \;b=a-\delta {\mbox{ e/ou }}a+\delta \in {\overline {F}}\cap [a-\delta ,a+\delta ]\Rightarrow \exists \;b\in {\overline {F}};\delta =|a-b|;\{b\}={\overline {F}}\cap [a-\delta ,a+\delta ]\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44de8e7449f4cd1fff82470c1844e8249b072d03)
![{\displaystyle \sup X\not \in {\overline {X}}\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;(\sup X-\epsilon ,\sup X]\cap X=\varnothing \Rightarrow \sup X-\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3be46678b8dd89a6290fc6b7adcbde69aab788)
