Utilizador:Thiago Marcel/Mestrado/Análise/Topologia da reta/9-16

Toda coleção de abertos não-vazios, dois a dois disjuntos é enumerável.

Resolução

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Seja a coleção de abertos disjuntos  , logo, tomando   aberto e   existe um intervalo  . Mas, como   é denso em  , temos que  . Como os abertos   são disjuntos, temos que  , para todo  . Logo temos a função  , onde associa a cada   um número racional  . Como f é injetiva e   é enumerável, então X é enumerável, o que mostra q X é enumerável.

O conjunto dos valores de aderência de uma sequência é um conjunto fechado.

Resolução

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Seja   e seja  . Logo  .

  é fechado  

Resolução

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Tome  . Tome  .

Portanto  .

 

Resolução

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a é o único ponto de acumulação de X   logo  .

O número   pertence ao conjunto de Cantor.

Resolução não está pronta

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Sejam F, G conjuntos fechados disjuntos tais que   seja um intervalo fechado (limitado ou não). Então   ou  

Resolução

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Pela Hipótese  

  • Suponhamos que F,G sejam infinitos, como   é um intervalo fechado, suponhamos que  . Como  . Tome b de tal forma que se  . Tome  . Como  .
    • Como  
      •  , é um absurdo, pois F é fechado.
      •  , é um absurdo, pois F é fechado.
    • Logo  . Portanto  .
  • Suponhamos que G seja finito, tome  , como   mas G é finito, logo   é um absurdo G ser finito, portanto  .
  • Analogamente se supormos que F é finito será um absurdo, portanto  .

Resolução2

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Pela Hipótese  

  • Como   é um intervalo fechado, suponhamos ser limitado, logo  .
    • Tomemos F e G infinitos e  . Suponha que  . Como  .
      • Suponha que  . Como  , como G é fechado,  . Como   é um absurdo, pois F é fechado, logo  .
      • Analogamente, se supormos que  chegaremos num absurdo. Portanto  .
      • Suponha que  , como   e G é fechado logo  , onde   é um intervalo fechado, logo possui ínfimo e máximo e sejam eles u e v respectivamente.
        • Assim  , mas  . Como   é um absurdo, pois F é fechado.
    • Suponhamos que G seja finito, tome  , como    . Como   é um absurdo, pois F é fechado.

Portanto  . Analogamente provamos que se  .

Resolução 3

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Tome   de tal forma que  , absurdo.

Seja E enumerável. Consiga uma sequência cujo conjunto dos valores de aderência é  . Use este fato para mostrar que todo conjunto fechado   é o conjunto dos valores de aderência de alguma sequência.

Resolução não está pronta

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Por ser E enumerável,

  • Se E for finito,  . Mas   Logo E é fechado.
    • Tomando E um fechado finito qualquer, temos que  . Como   logo todos os valores de aderência de E estão em E. Como o conjunto dos valores de aderência de uma sequência é o conjunto dos elementos dessa sequência, então E é conjunto dos valores de aderência de alguma sequência.
  • Se E é um conjunto enumerável, que não é finito, assim dado   bijetiva,  . Tome   De fato   Logo dado   como E é enumerável,   E é fechado, mas  


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