A composição de duas funções injetivas é injetiva. Ou seja, Se
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
g
:
B
↦
C
{\displaystyle g:B\mapsto C}
h
=
g
∘
f
:
A
↦
C
{\displaystyle h=g\circ f:A\mapsto C}
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle h(x)=g(f(x))}
Tome
a
≠
b
∈
A
⇒
1
f
(
a
)
≠
f
(
b
)
∈
B
⇒
2
g
(
f
(
a
)
)
≠
g
(
f
(
b
)
)
∈
C
⇒
3
h
(
a
)
≠
h
(
b
)
∈
C
{\displaystyle a\neq b\in A\Rightarrow _{1}f(a)\neq f(b)\in B\Rightarrow _{2}g(f(a))\neq g(f(b))\in C\Rightarrow _{3}h(a)\neq h(b)\in C}
onde a implicação 1 ocorre por f ser injetiva e a implicação 2 ocorre por g ser injetiva e a implicação 3 ocorre por h ser bem definida. O conjunto dos Naturais é infinito.
Seja
f
:
N
↦
2
N
{\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto 2\mathbb {N} }
f
(
n
)
=
2
n
{\displaystyle f(n)=2n}
Tome
a
≠
b
∈
N
⇒
2
a
≠
2
b
⇒
f
(
a
)
≠
f
(
b
)
∈
2
N
{\displaystyle a\neq b\in \mathbb {N} \Rightarrow 2a\neq 2b\Rightarrow f(a)\neq f(b)\in 2\mathbb {N} }
Tome
t
∈
2
N
⇒
t
=
2
p
{\displaystyle t\in 2\mathbb {N} \Rightarrow t=2p}
p
∈
N
{\displaystyle p\in \mathbb {N} }
f
(
p
)
=
t
{\displaystyle f(p)=t}
Assim
N
∼
2
N
{\displaystyle \mathbb {N} \sim 2\mathbb {N} }
2
N
⊂
N
,
2
N
≠
N
{\displaystyle 2\mathbb {N} \subset \mathbb {N} ,2\mathbb {N} \neq \mathbb {N} }
Todo conjunto equipotente com os naturais é infinito.
Seja A um conjunto equipotente com os naturais, assim existe uma aplicação bijetiva
f
:
N
↦
A
{\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto A}
f
(
N
)
=
A
{\displaystyle f(\mathbb {N} )=A}
Todo conjunto infinito, possui um subconjunto equipotente com os naturais (e portanto infinito).
Considere que A seja um conjunto infinito, assim existe uma aplicação função
f
:
N
↦
A
{\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto A}
g
:
N
↦
f
(
N
)
{\displaystyle g:\mathbb {N} \mapsto f(\mathbb {N} )}
g
(
n
)
=
f
(
n
)
{\displaystyle g(n)=f(n)}
Assim g é bijetiva, então
f
(
N
)
∼
N
{\displaystyle f(\mathbb {N} )\sim \mathbb {N} }
f
(
N
)
⊂
A
e
f
(
N
)
{\displaystyle f(\mathbb {N} )\subset A\;e\;f(\mathbb {N} )}
Os pares naturais e os impares naturais são equipotentes entre si e entre os naturais.
Tome
f
:
N
↦
2
N
{\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto 2\mathbb {N} }
f
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle f(x)=2x}
g
:
2
N
↦
(
2
N
−
1
)
{\displaystyle g:2\mathbb {N} \mapsto (2\mathbb {N} -1)}
g
(
x
)
=
x
−
1
{\displaystyle g(x)=x-1}
f é injetiva: Tome
a
≠
b
∈
N
⇒
2
a
≠
2
b
∈
N
⇒
f
(
a
)
≠
f
(
b
)
∈
2
N
{\displaystyle a\neq b\in \mathbb {N} \Rightarrow 2a\neq 2b\in \mathbb {N} \Rightarrow f(a)\neq f(b)\in 2\mathbb {N} }
f é sobrejetiva: Tome
m
∈
2
N
⇒
∃
n
∈
N
{\displaystyle m\in 2\mathbb {N} \Rightarrow \exists \;n\in \mathbb {N} }
m
=
2
n
⇒
f
(
n
)
=
m
∈
2
N
{\displaystyle m=2n\Rightarrow f(n)=m\in 2\mathbb {N} }
g é injetiva: Tome
a
≠
b
∈
2
N
⇒
a
−
1
≠
b
−
1
∈
(
2
N
−
1
)
⇒
f
(
a
)
≠
f
(
b
)
∈
(
2
N
−
1
)
{\displaystyle a\neq b\in 2\mathbb {N} \Rightarrow a-1\neq b-1\in (2\mathbb {N} -1)\Rightarrow f(a)\neq f(b)\in (2\mathbb {N} -1)}
g é sobrejetiva: Tome
m
∈
(
2
N
−
1
)
⇒
∃
n
∈
2
N
{\displaystyle m\in (2\mathbb {N} -1)\Rightarrow \exists \;n\in 2\mathbb {N} }
m
=
n
−
1
⇒
g
(
n
)
=
m
∈
(
2
N
−
1
)
{\displaystyle m=n-1\Rightarrow g(n)=m\in (2\mathbb {N} -1)}
Portanto f e g são bijetivas e assim
N
∼
2
N
∼
(
2
N
−
1
)
{\displaystyle \mathbb {N} \sim 2\mathbb {N} \sim (2\mathbb {N} -1)}
Qualquer subconjunto infinito dos naturais é equipotente ao conjunto dos naturais.
Seja
P
⊂
N
{\displaystyle P\subset \mathbb {N} }
Tome
f
:
P
↦
N
{\displaystyle f:P\mapsto \mathbb {N} }
P
⊂
N
{\displaystyle P\subset \mathbb {N} }
[construção da enumeração de P]
[
f
(
p
1
)
=
1
{\displaystyle f(p_{1})=1}
m
i
n
(
P
)
=
p
1
{\displaystyle min(P)=p_{1}}
f
(
p
1
)
=
1
{\displaystyle f(p_{1})=1}
[
f
(
p
2
)
=
2
{\displaystyle f(p_{2})=2}
P
−
{
p
1
}
{\displaystyle P-\{p_{1}\}}
I
1
{\displaystyle I_{1}}
P
−
{
p
1
}
⊂
N
{\displaystyle P-\{p_{1}\}\subset \mathbb {N} }
P
−
{
p
1
}
≠
{
}
{\displaystyle P-\{p_{1}\}\neq \{\}}
P
−
{
p
1
}
{\displaystyle P-\{p_{1}\}}
m
i
n
(
P
−
{
p
1
}
)
=
p
2
{\displaystyle min(P-\{p_{1}\})=p_{2}}
f
(
p
2
)
=
2
{\displaystyle f(p_{2})=2}
[
f
(
p
k
)
=
k
{\displaystyle f(p_{k})=k}
P
−
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
k
}
{\displaystyle P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\}}
I
k
{\displaystyle I_{k}}
P
−
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
k
}
⊂
N
{\displaystyle P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\}\subset \mathbb {N} }
P
−
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
k
}
≠
{
}
{\displaystyle P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\}\neq \{\}}
m
i
n
(
P
−
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
k
}
)
=
p
k
+
1
{\displaystyle min(P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k}\})=p_{k+1}}
f
(
p
k
+
1
)
=
k
+
1
{\displaystyle f(p_{k+1})=k+1}
[
f
(
p
k
+
1
)
=
k
+
1
{\displaystyle f(p_{k+1})=k+1}
P
−
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
k
,
p
k
+
1
}
{\displaystyle P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k},p_{k+1}\}}
I
k
+
1
{\displaystyle I_{k+1}}
P
−
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
k
,
p
k
+
1
}
⊂
N
{\displaystyle P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k},p_{k+1}\}\subset \mathbb {N} }
P
−
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
k
,
p
k
+
1
}
≠
{
}
{\displaystyle P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k},p_{k+1}\}\neq \{\}}
m
i
n
(
P
−
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
p
k
,
p
k
+
1
}
)
=
p
k
+
2
{\displaystyle min(P-\{p_{1},p_{2},...,p_{k},p_{k+1}\})=p_{k+2}}
f
(
p
k
+
2
)
=
k
+
2
{\displaystyle f(p_{k+2})=k+2}
Pelo modo como fizemos a indução sobre
n
=
f
(
p
n
)
{\displaystyle n=f(p_{n})}
Com efeito , f é injetiva: Tome
a
<
b
∈
P
⇒
b
=
m
i
n
(
P
−
{
p
1
,
p
2
,
.
.
.
,
a
,
.
.
.
p
b
−
2
,
p
b
−
1
}
)
{\displaystyle a<b\in P\Rightarrow b=min(P-\{p_{1},p_{2},...,a,...p_{b-2},p_{b-1}\})}
f
(
a
)
<
f
(
b
)
∈
N
{\displaystyle f(a)<f(b)\in \mathbb {N} }
f é sobrejetiva: Tome
n
∈
N
⇒
∃
p
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \Rightarrow \exists \;p_{n}\in \mathbb {N} }
f
(
p
n
)
=
n
{\displaystyle f(p_{n})=n}
Assim f é bijetiva e
P
∼
N
{\displaystyle P\sim \mathbb {N} }
Prove o Teorema 1.1: A relação de equipotência entre conjuntos é uma relação de equivalência.
Para a relação de equipotência ser reflexiva, qualquer conjunto deve ser equipotente a ele mesmo, ou seja,
∀
A
:
A
∼
A
{\displaystyle \forall \;A:A\sim A}
Considere a função identidade
I
d
:
A
↦
A
,
I
d
(
x
)
=
x
{\displaystyle Id:A\mapsto A,Id(x)=x}
Essa função é sobrejetiva, porque qualquer que seja
x
∈
A
=
{\displaystyle x\in A=}
a
∈
A
=
{\displaystyle a\in A=}
I
d
(
a
)
=
x
{\displaystyle Id(a)=x}
I
d
(
x
)
=
x
,
l
o
g
o
a
=
x
{\displaystyle Id(x)=x,logo\;a=x}
Essa função é injetiva, porque dado
x
=
y
∈
A
=
C
.
D
.
(
I
d
)
⇒
∃
a
,
b
∈
A
=
D
o
m
(
I
d
)
{\displaystyle x=y\in A=C.D.(Id)\Rightarrow \exists \;a,b\in A=Dom(Id)}
I
d
(
a
)
=
x
e
I
d
(
b
)
=
y
{\displaystyle Id(a)=x\;e\;Id(b)=y}
I
d
(
x
)
=
x
,
I
d
(
y
)
=
y
,
l
o
g
o
a
=
x
e
b
=
y
{\displaystyle Id(x)=x,Id(y)=y,logo\;a=x\;e\;b=y}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
f
(
x
)
=
f
(
y
)
⇒
x
=
y
,
∀
x
,
y
∈
A
{\displaystyle f(x)=f(y)\Rightarrow x=y,\forall \;x,y\in A}
Portanto a função
I
d
:
A
↦
A
{\displaystyle Id:A\mapsto A}
A relação de equipotência é simétrica:
∀
A
,
B
:
A
∼
B
⇒
B
∼
A
{\displaystyle \forall A,B:A\sim B\Rightarrow B\sim A}
Vamos tomar como hipótese que A seja equipotente a B, assim existe uma aplicação
f
:
A
↦
B
,
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f:A\mapsto B,f(x)=y}
Toda função bijetiva possui inversa, assim seja
g
:
B
↦
A
{\displaystyle g:B\mapsto A}
g
(
y
)
=
x
,
t
a
l
q
u
e
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle g(y)=x,tal\;que\;y=f(x)}
Vamos mostrar que g é sobrejetiva: Tome
x
∈
A
⇒
1
∃
y
=
f
(
x
)
∈
B
⇒
2
g
(
y
)
=
x
{\displaystyle x\in A\Rightarrow _{1}\exists \;y=f(x)\in B\Rightarrow _{2}g(y)=x}
a implicação 1 ocorre pela definição de f e a implicação 2 ocorre pela definição de g.
Vamos mostrar que g é injetiva: Tome
y
1
≠
y
2
∈
B
⇒
3
g
(
y
1
)
=
x
1
,
g
(
y
2
)
=
x
2
∈
A
{\displaystyle y_{1}\neq y_{2}\in B\Rightarrow _{3}g(y_{1})=x_{1},g(y_{2})=x_{2}\in A}
f
(
x
1
)
=
y
1
;
e
f
(
x
2
)
=
y
2
{\displaystyle f(x_{1})=y_{1};e\;f(x_{2})=y_{2}}
x
1
=
x
2
⇒
4
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
{\displaystyle x_{1}=x_{2}\Rightarrow _{4}f(x_{1})=f(x_{2})}
y
1
≠
y
2
{\displaystyle y_{1}\neq y_{2}}
x
1
≠
x
2
{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}
a implicação 3 ocorre pela definição de g e a implicação 4 ocorre pela definição de f.
Portanto a função
g
:
B
↦
A
{\displaystyle g:B\mapsto A}
A relação de equipotência é transitiva: se o conjunto
A
∼
B
e
B
∼
C
{\displaystyle A\sim B\;e\;B\sim C}
A
∼
C
{\displaystyle A\sim C}
Como
A
∼
B
⇒
{\displaystyle A\sim B\Rightarrow }
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
B
∼
C
⇒
{\displaystyle B\sim C\Rightarrow }
g
:
B
↦
C
{\displaystyle g:B\mapsto C}
Definamos uma aplicação
h
:
A
↦
C
{\displaystyle h:A\mapsto C}
h
=
g
∘
f
{\displaystyle h=g\circ f}
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle h(x)=g(f(x))}
Vamos mostrar que h é sobrejetiva: Tome
z
∈
C
⇒
1
∃
y
∈
B
{\displaystyle z\in C\Rightarrow _{1}\exists \;y\in B}
g
(
y
)
=
z
⇒
2
∃
x
∈
A
{\displaystyle g(y)=z\Rightarrow _{2}\exists \;x\in A}
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y}
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
=
g
(
y
)
=
z
{\displaystyle h(x)=g(f(x))=g(y)=z}
a implicação 1 ocorre pela sobrejetividade de g e a implicação 2 ocorre pela sobrejetividade de f.
Como f e g são bijetivas, logo são injetivas e pelo lema 1 a sua composição
h
=
g
∘
f
{\displaystyle h=g\circ f}
Portanto a função
h
:
A
↦
C
{\displaystyle h:A\mapsto C}
Prove o Teorema 1.2: Sejam conjuntos
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
Se A é infinito, então B é infinito
Como A é infinito pelo Lema 4, existe um subconjunto
C
⊂
A
{\displaystyle C\subset A}
C
∼
N
.
{\displaystyle C\sim \mathbb {N} .}
Como
C
⊂
A
⊂
B
{\displaystyle C\subset A\subset B}
C
⊂
B
{\displaystyle C\subset B}
Se B é finito, então A é finito
Suponha que A seja infinito. Pelo Lema 4, existe um subconjunto
C
⊂
A
{\displaystyle C\subset A}
C
∼
N
.
{\displaystyle C\sim \mathbb {N} .}
Como
C
⊂
A
⊂
B
{\displaystyle C\subset A\subset B}
C
⊂
B
{\displaystyle C\subset B}
Prove o Teorema 1.3 Sejam A, B dois conjuntos equipotentes. A é infinito se, e somente se, B é infinito.
(
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
g
:
N
↦
C
{\displaystyle g:\mathbb {N} \mapsto C}
Temos que
C
⊂
A
.
{\displaystyle C\subset A.}
h
:
C
↦
A
{\displaystyle h:C\mapsto A}
h
(
x
)
=
x
{\displaystyle h(x)=x}
Tome
x
≠
y
∈
C
e
h
(
x
)
=
x
,
h
(
y
)
=
y
⇒
h
(
x
)
≠
h
(
y
)
.
{\displaystyle x\neq y\in C\;e\;h(x)=x,h(y)=y\Rightarrow h(x)\neq h(y).}
Tomemos
i
=
h
∘
g
:
N
↦
A
{\displaystyle i=h\circ g:\mathbb {N} \mapsto A}
i
(
n
)
=
h
(
g
(
n
)
)
{\displaystyle i(n)=h(g(n))}
Como A é equipotente a B, logo existe uma aplicação bijetiva
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
j
=
f
∘
i
:
N
↦
B
{\displaystyle j=f\circ i:\mathbb {N} \mapsto B}
j
(
n
)
=
f
(
i
(
n
)
)
{\displaystyle j(n)=f(i(n))}
j
(
N
)
⊂
B
{\displaystyle j(\mathbb {N} )\subset B}
Vamos tomar uma restrição de j sobrejetiva, seja essa aplicação
k
:
N
↦
j
(
N
)
{\displaystyle k:\mathbb {N} \mapsto j(\mathbb {N} )}
k
(
n
)
=
j
(
n
)
{\displaystyle k(n)=j(n)}
Vamos mostrar que k é injetiva:
m
≠
n
∈
N
⇒
1
j
(
m
)
≠
j
(
n
)
.
C
o
m
o
k
(
m
)
=
j
(
m
)
e
k
(
n
)
=
j
(
n
)
⇒
2
k
(
m
)
≠
k
(
n
)
{\displaystyle m\neq n\in \mathbb {N} \Rightarrow _{1}j(m)\neq j(n).Como\;k(m)=j(m)\;e\;k(n)=j(n)\Rightarrow _{2}k(m)\neq k(n)}
a implicação 1 ocorre pela injetividade de j e a implicação 2 ocorre pela definição de k
vamos mostrar que k é sobrejetiva: Tome
b
∈
j
(
N
)
⇒
3
∃
n
∈
N
{\displaystyle b\in j(\mathbb {N} )\Rightarrow _{3}\exists \;n\in \mathbb {N} }
j
(
n
)
=
b
.
C
o
m
o
k
(
n
)
=
j
(
n
)
⇒
4
b
=
k
(
n
)
{\displaystyle j(n)=b.Como\;k(n)=j(n)\Rightarrow _{4}b=k(n)}
a implicação 3 ocorre pela sobrejetividade de j e a implicação 4 ocorre pela definição de k.
Assim k é bijetiva e portanto
j
(
N
)
∼
N
{\displaystyle j(\mathbb {N} )\sim \mathbb {N} }
j
(
N
)
⊂
B
{\displaystyle j(\mathbb {N} )\subset B}
Portanto B possui um subconjunto que é equipotente com os naturais, logo B é infinito.
Conclusão da (
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
(
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
B
∼
A
{\displaystyle B\sim A}
Prove o Teorema 1.4: Seja A um conjunto infinito,
x
0
∈
A
{\displaystyle x_{0}\in A}
B
=
A
∖
{
x
0
}
{\displaystyle B=A\setminus \{x_{0}\}}
Suponha que B seja finito, logo adicionando
{
x
0
}
{\displaystyle \{x_{0}\}}
A
=
B
∪
{
x
0
}
{\displaystyle A=B\cup \{x_{0}\}}
Com efeito , como A é infinito, logo A possui um subconjunto C que é equipotente aos naturais. Pelo lema 5,
2
N
∼
(
2
N
−
1
)
∼
N
∼
C
{\displaystyle 2\mathbb {N} \sim (2\mathbb {N} -1)\sim \mathbb {N} \sim C}
Em relação a B e C podemos dizer que eles são iguais ou diferentes.
Caso B=C, logo B é infinito.
Caso
{
x
0
}
∉
C
,
C
⊂
B
⇒
{\displaystyle \{x_{0}\}\not \in C,C\subset B\Rightarrow }
Caso
{
x
0
}
∈
C
{\displaystyle \{x_{0}\}\in C}
f
:
N
↦
C
{\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto C}
Caso
f
(
n
)
=
x
0
{\displaystyle f(n)=x_{0}}
g
:
(
2
N
−
1
)
↦
C
{\displaystyle g:(2\mathbb {N} -1)\mapsto C}
f
(
2
N
−
1
)
⊂
C
⊂
A
{\displaystyle f(2\mathbb {N} -1)\subset C\subset A}
x
0
∉
f
(
2
N
−
1
)
⇒
f
(
2
N
−
1
)
⊂
B
{\displaystyle x_{0}\not \in f(2\mathbb {N} -1)\Rightarrow f(2\mathbb {N} -1)\subset B}
Caso
f
(
n
)
=
x
0
{\displaystyle f(n)=x_{0}}
h
:
(
2
N
)
↦
C
{\displaystyle h:(2\mathbb {N} )\mapsto C}
f
(
2
N
)
⊂
C
⊂
A
{\displaystyle f(2\mathbb {N} )\subset C\subset A}
x
0
∉
f
(
2
N
)
⇒
f
(
2
N
)
⊂
B
{\displaystyle x_{0}\not \in f(2\mathbb {N} )\Rightarrow f(2\mathbb {N} )\subset B}
Teorema 1.5: A é um conjunto finito se, e somente se, A é equipotente com
I
k
{\displaystyle I_{k}}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
(
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Tome A um conjunto finito. Caso A seja vazio, uma aplicação
f
:
A
↦
I
k
{\displaystyle f:A\mapsto I_{k}}
A
≠
{
}
{\displaystyle A\neq \{\}}
Tome
f
:
A
↦
N
{\displaystyle f:A\mapsto \mathbb {N} }
g
:
A
↦
N
{\displaystyle g:A\mapsto \mathbb {N} }
Tomando
g
(
A
)
⊂
N
{\displaystyle g(A)\subset \mathbb {N} }
Assim tome
h
:
A
↦
g
(
A
)
{\displaystyle h:A\mapsto g(A)}
A
∼
g
(
A
)
⊂
N
{\displaystyle A\sim g(A)\subset \mathbb {N} }
Seja g uma função construída tomando os elementos dos naturais a partir de 1, assim:
[construção de g(A)]
Seja
g
(
A
)
=
{
n
∈
N
:
g
(
x
n
)
=
n
:
x
n
∈
A
}
{\displaystyle g(A)=\{n\in \mathbb {N} :g(x_{n})=n:x_{n}\in A\}}
Imagem inversa de 1: Como
A
≠
{
}
⇒
∃
x
1
∈
A
{\displaystyle A\neq \{\}\Rightarrow \exists x_{1}\in A}
g
(
x
1
)
=
1
{\displaystyle g(x_{1})=1}
A
−
{
x
1
}
=
{
}
⇒
g
(
A
)
=
I
1
{\displaystyle A-\{x_{1}\}=\{\}\Rightarrow g(A)=I_{1}}
Imagem inversa de 2: Caso
A
−
{
x
1
}
≠
{
}
⇒
∃
x
2
≠
x
1
∈
A
{\displaystyle A-\{x_{1}\}\neq \{\}\Rightarrow \exists \;x_{2}\neq x_{1}\in A}
g
(
x
2
)
=
2
{\displaystyle g(x_{2})=2}
A
−
{
x
1
,
x
2
}
=
{
}
⇒
g
(
A
)
=
I
2
{\displaystyle A-\{x_{1},x_{2}\}=\{\}\Rightarrow g(A)=I_{2}}
Aplicando o algoritmo acima sobre a imagem inversa de cada natural 1,2,... até que exista um k natural que
A
−
{
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
k
}
=
{
}
⇒
g
(
A
)
=
I
k
{\displaystyle A-\{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}=\{\}\Rightarrow g(A)=I_{k}}
Pela função
h
:
A
↦
I
k
{\displaystyle h:A\mapsto I_{k}}
I
k
{\displaystyle I_{k}}
(
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
Por hipótese,
A
∼
I
k
{\displaystyle A\sim I_{k}}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
Caso A fosse infinito, pela bijeção
I
k
{\displaystyle I_{k}}
I
k
{\displaystyle I_{k}}
Prove o Teorema 1.6: Todo subconjunto infinito de um conjunto enumerável, é enumerável.
Seja A um conjunto enumerável, ou seja equipotente com os naturais. Assim existe uma aplicação bijetiva
f
:
A
↦
N
{\displaystyle f:A\mapsto \mathbb {N} }
f
(
x
n
)
=
n
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle f(x_{n})=n,\forall \;n\in \mathbb {N} }
Como B é um subconjunto infinito de A, podemos extrair de f uma função restrição
g
:
B
↦
N
{\displaystyle g:B\mapsto \mathbb {N} }
g
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle g(x)=f(x)}
Vamos mostrar que a função g é injetiva: Tome
a
≠
b
∈
B
{\displaystyle a\neq b\in B}
B
⊂
A
⇒
a
,
b
∈
A
⇒
f
(
a
)
≠
f
(
b
)
∈
N
⇒
g
(
a
)
≠
g
(
b
)
∈
N
{\displaystyle B\subset A\Rightarrow a,b\in A\Rightarrow f(a)\neq f(b)\in \mathbb {N} \Rightarrow g(a)\neq g(b)\in \mathbb {N} }
g
(
B
)
⊂
N
{\displaystyle g(B)\subset \mathbb {N} }
g
(
B
)
=
{
n
∈
N
:
n
=
g
(
b
)
:
{\displaystyle g(B)=\{n\in \mathbb {N} :n=g(b):}
b
∈
B
}
{\displaystyle b\in B\}}
Assim tome uma aplicação h:
B
↦
g
(
B
)
{\displaystyle B\mapsto g(B)}
h
(
x
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=g(x)}
vamos mostrar que h é injetiva: Tome
a
≠
b
∈
B
{\displaystyle a\neq b\in B}
g
(
a
)
≠
g
(
b
)
∈
g
(
B
)
⇒
h
(
a
)
≠
h
(
b
)
∈
g
(
B
)
{\displaystyle g(a)\neq g(b)\in g(B)\Rightarrow h(a)\neq h(b)\in g(B)}
vamos mostrar que h é sobrejetiva: Qualquer que seja
n
∈
g
(
B
)
{\displaystyle n\in g(B)}
b
∈
B
{\displaystyle b\in B}
h
(
b
)
=
n
=
g
(
b
)
∈
g
(
B
)
{\displaystyle h(b)=n=g(b)\in g(B)}
Portanto h é bijetiva e assim
B
∼
g
(
B
)
⊂
N
{\displaystyle B\sim g(B)\subset \mathbb {N} }
g
(
B
)
∼
N
{\displaystyle g(B)\sim \mathbb {N} }
Prove o corolário 1.9: Existem conjuntos não enumeráveis.
O intervalo (0,1) não é enumerável
Suponha que exista uma aplicação bijetiva entre
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
f
:
N
↦
(
0
,
1
)
{\displaystyle f:\mathbb {N} \mapsto (0,1)}
Sabendo que
z
∈
(
0
,
1
)
⇒
z
=
0
+
y
1
⋅
10
−
1
+
y
2
⋅
10
−
2
+
.
.
.
+
y
k
⋅
10
−
k
+
.
.
.
=
0
,
y
1
y
2
y
3
.
.
.
y
k
.
.
.
,
o
n
d
e
y
i
∈
{
0
,
1
,
.
.
.
,
9
}
,
∀
i
∈
N
{\displaystyle z\in (0,1)\Rightarrow z=0+y_{1}\cdot 10^{-1}+y_{2}\cdot 10^{-2}+...+y_{k}\cdot 10^{-k}+...=0,y_{1}y_{2}y_{3}...y_{k}...,ondey_{i}\in \{0,1,...,9\},\forall \;i\in \mathbb {N} }
Suponha que por construção da enumeração, façamos
f
(
1
)
=
0
,
x
11
x
12
.
.
.
x
1
k
.
.
.
;
f
(
2
)
=
0
,
x
21
x
22
.
.
.
x
2
k
.
.
.
,
f
(
n
)
=
0
,
x
n
1
x
n
2
.
.
.
x
n
k
.
.
.
{\displaystyle f(1)=0,x_{11}x_{12}...x_{1k}...;f(2)=0,x_{21}x_{22}...x_{2k}...,f(n)=0,x_{n1}x_{n2}...x_{nk}...}
x
i
j
∈
{
0
,
1
,
2
,
.
.
.
,
9
}
{\displaystyle x_{ij}\in \{0,1,2,...,9\}}
Para que f seja bem definida, devemos conseguir relacionar cada n natural com algum número real do intervalo aberto (0,1):
z
n
=
0
,
x
n
1
x
n
2
.
.
.
x
n
k
.
.
.
{\displaystyle z_{n}=0,x_{n1}x_{n2}...x_{nk}...}
Assim tome
z
=
0
,
y
1
y
2
y
3
.
.
.
y
k
.
.
.
=
0
,
x
t
1
x
t
2
.
.
.
x
t
k
.
.
.
(
o
n
d
e
y
i
=
x
t
i
)
{\displaystyle z=0,y_{1}y_{2}y_{3}...y_{k}...=0,x_{t1}x_{t2}...x_{tk}...(onde\;y_{i}=x_{ti})}
y
k
=
5
s
e
x
t
k
≠
5
e
y
k
=
2
s
e
x
t
k
=
5
,
{\displaystyle y_{k}=5\;se\;x_{tk}\neq 5\;e\;y_{k}=2\;se\;x_{tk}=5,}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
z
≠
f
(
1
)
{\displaystyle z\neq f(1)}
y
1
≠
x
11
{\displaystyle y_{1}\neq x_{11}}
z
≠
f
(
2
)
{\displaystyle z\neq f(2)}
y
2
≠
x
22
{\displaystyle y_{2}\neq x_{22}}
∄
n
∈
N
{\displaystyle \not \exists \;n\in \mathbb {N} }
f
(
n
)
=
z
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle f(n)=z\in (0,1)}
Portanto (0,1) é um conjunto não-enumerável.
Qualquer intervalo aberto é um conjunto não-enumerável.
Basta tomarmos (a,b) como um intervalo qualquer, assim tome a função
f
:
(
0
,
1
)
↦
(
a
,
b
)
{\displaystyle f:(0,1)\mapsto (a,b)}
f
(
x
)
=
a
+
x
(
b
−
a
)
{\displaystyle f(x)=a+x(b-a)}
(
0
,
1
)
∼
(
a
,
b
)
{\displaystyle (0,1)\sim (a,b)}
Com efeito , se (a,b) fosse enumerável, existiria uma aplicação bijetiva
g
:
N
↦
(
a
,
b
)
{\displaystyle g:\mathbb {N} \mapsto (a,b)}
Como f é bijetiva, existe uma aplicação inversa bijetiva
f
−
1
:
(
a
,
b
)
↦
(
0
,
1
)
{\displaystyle f^{-1}:(a,b)\mapsto (0,1)}
f
−
1
∘
g
:
N
↦
(
0
,
1
)
{\displaystyle f^{-1}\circ g:\mathbb {N} \mapsto (0,1)}
Prove a proposição 2.4: Seja K um corpo e
x
,
y
,
z
∈
K
{\displaystyle x,y,z\in K}
O elemento neutro de
⋆
{\displaystyle \star }
θ
{\displaystyle \theta }
Suponha que o elemento neutro de
⋆
{\displaystyle \star }
θ
1
,
θ
2
{\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}}
Logo devem valer que
∀
x
∈
K
:
x
⋆
θ
1
=
x
{\displaystyle \forall \;x\in K:x\star \theta _{1}=x}
x
⋆
θ
2
=
x
{\displaystyle x\star \theta _{2}=x}
Como
θ
1
,
θ
2
∈
K
⇒
(
1
)
:
θ
2
⋆
θ
1
=
θ
2
{\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}\in K\Rightarrow (1):\theta _{2}\star \theta _{1}=\theta _{2}}
(
2
)
:
θ
1
⋆
θ
2
=
θ
1
{\displaystyle (2):\theta _{1}\star \theta _{2}=\theta _{1}}
Em K vale a comutatividade, assim
θ
2
⋆
θ
1
=
θ
1
⋆
θ
2
⇒
1
θ
2
=
θ
1
{\displaystyle \theta _{2}\star \theta _{1}=\theta _{1}\star \theta _{2}\Rightarrow _{1}\theta _{2}=\theta _{1}}
a implicação 1 ocorre devida as equações (1) e (2). O elemento neutro da
∘
{\displaystyle \circ }
ι
{\displaystyle \iota }
Suponha que o elemento neutro de
∘
{\displaystyle \circ }
ι
1
,
ι
2
{\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}}
Logo devem valer que
∀
x
∈
K
:
x
∘
ι
1
=
x
{\displaystyle \forall \;x\in K:x\circ \iota _{1}=x}
x
∘
ι
2
=
x
{\displaystyle x\circ \iota _{2}=x}
Como
ι
1
,
ι
2
∈
K
⇒
(
1
)
:
ι
2
∘
ι
1
=
ι
2
{\displaystyle \iota _{1},\iota _{2}\in K\Rightarrow (1):\iota _{2}\circ \iota _{1}=\iota _{2}}
(
2
)
:
ι
1
∘
ι
2
=
ι
1
{\displaystyle (2):\iota _{1}\circ \iota _{2}=\iota _{1}}
Em K vale a comutatividade, assim
ι
2
∘
ι
1
=
ι
1
∘
ι
2
⇒
1
ι
2
=
ι
1
{\displaystyle \iota _{2}\circ \iota _{1}=\iota _{1}\circ \iota _{2}\Rightarrow _{1}\iota _{2}=\iota _{1}}
a implicação 1 ocorre devida as equações (1) e (2). O elemento inverso de
⋆
{\displaystyle \star }
−
x
{\displaystyle -x}
Suponha que o elemento inverso "
−
x
{\displaystyle -x}
−
x
1
,
−
x
2
{\displaystyle -x_{1},-x_{2}}
Logo devem valer que
∀
x
∈
K
:
(
1
)
:
x
⋆
−
x
1
=
θ
,
(
1
′
)
:
θ
=
−
x
1
⋆
x
,
(
2
)
:
x
⋆
−
x
2
=
θ
{\displaystyle \forall \;x\in K:(1):x\star -x_{1}=\theta ,(1'):\theta =-x_{1}\star x,(2):x\star -x_{2}=\theta }
(
2
′
)
:
θ
=
−
x
2
⋆
x
{\displaystyle (2'):\theta =-x_{2}\star x}
Como
−
x
1
,
−
x
2
∈
K
,
−
x
2
⋆
(
1
)
,
−
x
1
⋆
(
2
)
⇒
(
3
)
:
−
x
2
⋆
x
⋆
−
x
1
=
−
x
2
⋆
θ
{\displaystyle -x_{1},-x_{2}\in K,-x_{2}\star (1),-x_{1}\star (2)\Rightarrow (3):-x_{2}\star x\star -x_{1}=-x_{2}\star \theta }
(
4
)
:
−
x
1
⋆
x
⋆
−
x
2
=
−
x
1
⋆
θ
{\displaystyle (4):-x_{1}\star x\star -x_{2}=-x_{1}\star \theta }
Usando
(
2
′
)
{\displaystyle (2')}
(
3
)
{\displaystyle (3)}
(
1
′
)
{\displaystyle (1')}
(
4
)
{\displaystyle (4)}
(
5
)
:
θ
⋆
−
x
1
=
−
x
2
⋆
θ
{\displaystyle (5):\theta \star -x_{1}=-x_{2}\star \theta }
(
6
)
:
θ
⋆
−
x
2
=
−
x
1
⋆
θ
{\displaystyle (6):\theta \star -x_{2}=-x_{1}\star \theta }
Como
θ
{\displaystyle \theta }
⋆
{\displaystyle \star }
∀
x
∈
K
,
(
7
)
:
x
⋆
θ
=
x
=
θ
⋆
x
,
∀
x
∈
K
{\displaystyle \forall x\in K,(7):x\star \theta =x=\theta \star x,\forall \;x\in K}
(
7
)
{\displaystyle (7)}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
(
6
)
⇒
−
x
1
=
−
x
2
{\displaystyle (6)\Rightarrow -x_{1}=-x_{2}}
Portanto o elemento inverso de
⋆
{\displaystyle \star }
−
x
{\displaystyle -x}
(
1
)
:
x
⋆
z
=
y
⋆
z
⇒
x
=
y
{\displaystyle (1):x\star z=y\star z\Rightarrow x=y}
⋆
{\displaystyle \star }
Como
−
z
∈
K
{\displaystyle -z\in K}
(
2
)
:
(
1
)
⋆
−
z
{\displaystyle (2):(1)\star -z}
(
2
)
:
x
⋆
z
⋆
−
z
=
y
⋆
z
⋆
−
z
{\displaystyle (2):x\star z\star -z=y\star z\star -z}
Pelo elemento inverso de
⋆
{\displaystyle \star }
(
3
)
:
z
⋆
−
z
=
θ
{\displaystyle (3):z\star -z=\theta }
Aplicando
(
3
)
{\displaystyle (3)}
(
2
)
{\displaystyle (2)}
(
4
)
:
x
⋆
θ
=
y
⋆
θ
{\displaystyle (4):x\star \theta =y\star \theta }
Pelo elemento neutro de
⋆
{\displaystyle \star }
(
5
)
:
x
⋆
θ
=
x
{\displaystyle (5):x\star \theta =x}
Assim aplicando
(
5
)
{\displaystyle (5)}
(
4
)
{\displaystyle (4)}
(
4
)
:
x
=
y
{\displaystyle (4):x=y}
x
∘
θ
=
θ
∘
x
=
θ
{\displaystyle x\circ \theta =\theta \circ x=\theta }
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
Como
∀
x
,
ι
∈
K
,
(
1
)
:
x
⋆
θ
=
x
{\displaystyle \forall \;x,\iota \in K,(1):x\star \theta =x}
(
2
)
:
ι
⋆
θ
=
ι
{\displaystyle (2):\iota \star \theta =\iota }
Aplicando
x
∘
(
2
)
{\displaystyle x\circ (2)}
(
3
)
:
x
∘
(
ι
⋆
θ
)
=
x
∘
ι
{\displaystyle (3):x\circ (\iota \star \theta )=x\circ \iota }
Pelo axioma da distributividade em K,
(
3
)
⇒
(
4
)
:
(
x
∘
ι
)
⋆
(
x
∘
θ
)
=
x
∘
ι
{\displaystyle (3)\Rightarrow (4):(x\circ \iota )\star (x\circ \theta )=x\circ \iota }
Aplicando
(
1
)
{\displaystyle (1)}
(
4
)
⇒
(
5
)
:
(
x
∘
ι
)
⋆
(
x
∘
θ
)
=
(
x
∘
ι
)
⋆
θ
{\displaystyle (4)\Rightarrow (5):(x\circ \iota )\star (x\circ \theta )=(x\circ \iota )\star \theta }
Pela lei do corte de
⋆
{\displaystyle \star }
(
5
)
⇒
(
6
)
:
x
∘
θ
=
θ
{\displaystyle (5)\Rightarrow (6):x\circ \theta =\theta }
Analogamente temos que
θ
∘
x
=
θ
{\displaystyle \theta \circ x=\theta }
O elemento inverso de
∘
{\displaystyle \circ }
y
−
1
{\displaystyle y^{-1}}
y
≠
θ
{\displaystyle y\neq \theta }
A princípio, caso
y
=
θ
:
y
∘
y
−
1
=
θ
.
{\displaystyle y=\theta :y\circ y^{-1}=\theta .}
y
∘
y
−
1
=
ι
{\displaystyle y\circ y^{-1}=\iota }
y
=
θ
.
{\displaystyle y=\theta .}
∃
y
−
1
∈
K
⇔
y
≠
θ
.
{\displaystyle \exists \;y^{-1}\in K\Leftrightarrow y\neq \theta .}
Suponha que o elemento inverso "
y
−
1
{\displaystyle y^{-1}}
w
,
z
{\displaystyle w,z}
Logo devem valer que
∀
y
∈
K
:
(
1
)
:
y
∘
w
=
ι
,
(
1
′
)
:
ι
=
w
∘
y
,
(
2
)
:
y
∘
z
=
ι
{\displaystyle \forall \;y\in K:(1):y\circ w=\iota ,(1'):\iota =w\circ y,(2):y\circ z=\iota }
(
2
′
)
:
ι
=
z
∘
y
{\displaystyle (2'):\iota =z\circ y}
Como
w
,
z
∈
K
,
z
∘
(
1
)
,
w
∘
(
2
)
⇒
(
3
)
:
z
∘
y
∘
w
=
z
∘
ι
{\displaystyle w,z\in K,z\circ (1),w\circ (2)\Rightarrow (3):z\circ y\circ w=z\circ \iota }
(
4
)
:
w
∘
y
∘
z
=
w
∘
ι
{\displaystyle (4):w\circ y\circ z=w\circ \iota }
Usando
(
2
′
)
{\displaystyle (2')}
(
3
)
{\displaystyle (3)}
(
1
′
)
{\displaystyle (1')}
(
4
)
{\displaystyle (4)}
(
5
)
:
ι
∘
w
=
z
∘
ι
{\displaystyle (5):\iota \circ w=z\circ \iota }
(
6
)
:
ι
∘
z
=
w
∘
ι
{\displaystyle (6):\iota \circ z=w\circ \iota }
Como
ι
{\displaystyle \iota }
⋆
{\displaystyle \star }
∀
x
∈
K
,
(
7
)
:
x
∘
ι
=
x
=
ι
∘
x
{\displaystyle \forall \;x\in K,(7):x\circ \iota =x=\iota \circ x}
(
7
)
{\displaystyle (7)}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
(
6
)
⇒
w
=
z
{\displaystyle (6)\Rightarrow w=z}
Portanto o elemento inverso de
∘
{\displaystyle \circ }
K
−
{
θ
}
{\displaystyle K-\{\theta \}}
y
−
1
{\displaystyle y^{-1}}
Para
z
≠
θ
,
(
1
)
:
x
∘
z
=
y
∘
z
⇒
x
=
y
{\displaystyle z\neq \theta ,(1):x\circ z=y\circ z\Rightarrow x=y}
∘
{\displaystyle \circ }
Como
z
−
1
∈
K
{\displaystyle z^{-1}\in K}
(
2
)
:
(
1
)
∘
z
−
1
{\displaystyle (2):(1)\circ z^{-1}}
(
2
)
:
(
x
∘
z
)
∘
z
−
1
=
(
y
∘
z
)
∘
z
−
1
{\displaystyle (2):(x\circ z)\circ z^{-1}=(y\circ z)\circ z^{-1}}
K é associativo, logo
(
2
)
⇒
(
3
)
:
x
∘
(
z
∘
z
−
1
)
=
y
∘
(
z
∘
z
−
1
)
{\displaystyle (2)\Rightarrow (3):x\circ (z\circ z^{-1})=y\circ (z\circ z^{-1})}
Pelo elemento inverso de
∘
{\displaystyle \circ }
(
4
)
:
z
∘
z
−
1
=
ι
{\displaystyle (4):z\circ z^{-1}=\iota }
Aplicando
(
4
)
{\displaystyle (4)}
(
3
)
{\displaystyle (3)}
(
5
)
:
x
∘
ι
=
y
∘
ι
{\displaystyle (5):x\circ \iota =y\circ \iota }
Pelo elemento neutro de
∘
{\displaystyle \circ }
(
6
)
:
x
∘
ι
=
x
{\displaystyle (6):x\circ \iota =x}
Assim aplicando
(
6
)
{\displaystyle (6)}
(
5
)
{\displaystyle (5)}
(
7
)
:
x
=
y
{\displaystyle (7):x=y}
x
∘
y
=
θ
⇒
x
=
θ
{\displaystyle x\circ y=\theta \Rightarrow x=\theta }
y
=
θ
{\displaystyle y=\theta }
θ
{\displaystyle \theta }
Como hipótese temos que
(
1
)
:
x
∘
y
=
θ
{\displaystyle (1):x\circ y=\theta }
Suponha que
x
≠
θ
{\displaystyle x\neq \theta }
(
2
)
:
x
−
1
∘
(
1
)
{\displaystyle (2):x^{-1}\circ (1)}
(
2
)
:
x
−
1
∘
(
x
∘
y
)
=
x
−
1
∘
θ
{\displaystyle (2):x^{-1}\circ (x\circ y)=x^{-1}\circ \theta }
Como
∀
x
∈
K
,
(
3
)
:
x
∘
θ
=
θ
{\displaystyle \forall \;x\in K,(3):x\circ \theta =\theta }
(
2
)
⇒
(
4
)
:
(
x
−
1
∘
x
)
∘
y
=
θ
{\displaystyle (2)\Rightarrow (4):(x^{-1}\circ x)\circ y=\theta }
Como
∀
x
∈
K
,
(
5
)
:
x
∘
x
−
1
=
ι
{\displaystyle \forall \;x\in K,(5):x\circ x^{-1}=\iota }
(
4
)
⇒
(
6
)
:
ι
∘
y
=
θ
⇒
(
7
)
:
y
=
θ
{\displaystyle (4)\Rightarrow (6):\iota \circ y=\theta \Rightarrow (7):y=\theta }
Analogamente, supondo que
y
≠
θ
{\displaystyle y\neq \theta }
x
=
θ
{\displaystyle x=\theta }
Suponha agora que
x
=
θ
⇒
θ
∘
y
=
θ
{\displaystyle x=\theta \Rightarrow \theta \circ y=\theta }
y
=
θ
{\displaystyle y=\theta }
Analogamente suponha que
y
=
θ
⇒
x
∘
θ
=
θ
{\displaystyle y=\theta \Rightarrow x\circ \theta =\theta }
x
=
θ
{\displaystyle x=\theta }
Portanto
x
=
θ
{\displaystyle x=\theta }
y
=
θ
{\displaystyle y=\theta }
(
−
x
)
∘
y
=
x
∘
(
−
y
)
=
−
(
x
∘
y
)
{\displaystyle (-x)\circ y=x\circ (-y)=-(x\circ y)}
θ
=
1
θ
∘
y
=
2
(
(
−
x
)
⋆
x
)
∘
y
=
3
(
(
−
x
)
∘
y
)
⋆
(
x
∘
y
)
⇒
4
(
1
)
:
θ
=
(
(
−
x
)
∘
y
)
⋆
(
x
∘
y
)
{\displaystyle \theta =_{1}\theta \circ y=_{2}((-x)\star x)\circ y=_{3}((-x)\circ y)\star (x\circ y)\Rightarrow _{4}(1):\theta =((-x)\circ y)\star (x\circ y)}
a igualdade 1 ocorre porque
(
a
)
:
∀
y
∈
K
,
y
∘
θ
=
θ
{\displaystyle (a):\forall y\in K,y\circ \theta =\theta }
(
b
)
:
∀
y
∈
K
,
y
⋆
−
y
=
θ
{\displaystyle (b):\forall y\in K,y\star -y=\theta }
Tome
(
2
)
:
(
1
)
⋆
−
(
x
∘
y
)
⇒
(
2
)
:
θ
⋆
−
(
x
∘
y
)
=
(
(
−
x
)
∘
y
)
⋆
(
x
∘
y
)
⋆
−
(
x
∘
y
)
⇒
5
(
3
)
:
−
(
x
∘
y
)
=
(
−
x
)
∘
y
{\displaystyle (2):(1)\star -(x\circ y)\Rightarrow (2):\theta \star -(x\circ y)=((-x)\circ y)\star (x\circ y)\star -(x\circ y)\Rightarrow _{5}(3):-(x\circ y)=(-x)\circ y}
a implicação 5 ocorre por
(
b
)
{\displaystyle (b)}
(
c
)
:
∀
x
∈
K
,
θ
⋆
x
=
x
{\displaystyle (c):\forall \;x\in K,\theta \star x=x}
De modo análogo, conclui-se que
−
(
x
∘
y
)
=
x
∘
(
−
y
)
{\displaystyle -(x\circ y)=x\circ (-y)}
Portanto:
x
∘
(
−
y
)
=
(
−
x
)
∘
y
=
−
(
x
∘
y
)
{\displaystyle x\circ (-y)=(-x)\circ y=-(x\circ y)}
(
−
x
)
∘
(
−
y
)
=
x
∘
y
{\displaystyle (-x)\circ (-y)=x\circ y}
Assim
(
−
x
)
∘
(
−
y
)
=
−
[
x
∘
(
−
y
)
]
=
−
[
−
(
x
∘
y
)
]
=
x
∘
y
{\displaystyle (-x)\circ (-y)=-[x\circ (-y)]=-[-(x\circ y)]=x\circ y}
as igualdades ocorrem por
x
∘
(
−
y
)
=
(
−
x
)
∘
y
=
−
(
x
∘
y
)
{\displaystyle x\circ (-y)=(-x)\circ y=-(x\circ y)}
Seja K um corpo ordenado.
(a) Usando os axioma de Peano, mostre que existe uma aplicação injetiva
Ψ
:
N
↦
K
{\displaystyle \Psi :\mathbb {N} \mapsto K}
Ψ
(
1
)
=
ι
{\displaystyle \Psi (1)=\iota }
ι
{\displaystyle \iota }
∘
{\displaystyle \circ }
Ψ
(
m
+
n
)
=
Ψ
(
m
)
⋆
Ψ
(
n
)
e
Ψ
(
m
⋅
n
)
=
Ψ
(
m
)
∘
Ψ
(
n
)
.
D
e
n
o
t
a
r
e
m
o
s
p
o
r
N
=
Ψ
(
N
)
{\displaystyle \Psi (m+n)=\Psi (m)\star \Psi (n)\;e\;\Psi (m\cdot n)=\Psi (m)\circ \Psi (n).Denotaremospor{\mathcal {N}}=\Psi (\mathbb {N} )}
(b) Dizemos que o corpo K ordenado é arquimediano se, para todo
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
a
∈
N
{\displaystyle a\in {\mathcal {N}}}
x
<
a
{\displaystyle x<a}
i) o conjunto
N
⊂
K
{\displaystyle {\mathcal {N}}\subset K}
ii) dados
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,b\in K}
a
>
θ
{\displaystyle a>\theta }
c
∈
N
{\displaystyle c\in \mathbb {N} }
c
∘
a
>
b
{\displaystyle c\circ a>b}
iii) Para cada
a
>
θ
{\displaystyle a>\theta }
c
∈
N
<
m
a
t
h
>
t
a
l
q
u
e
<
m
a
t
h
>
θ
<
c
−
1
<
a
{\displaystyle c\in {\mathcal {N}}<math>talque<math>\theta <c^{-1}<a}
(c) Prove que todo corpo ordenado completo é arquimediano. 
![{\displaystyle (-x)\circ (-y)=-[x\circ (-y)]=-[-(x\circ y)]=x\circ y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12273922a5216b2beab79feb0c57a9283879e43)
