Utilizador:Thiago Marcel/Profmat/MA13

1.1

A intersecção de duas regiões convexas ou é o conjunto vazio ou é uma região convexa.

• Considere $\alpha ,\beta$ duas regiões convexas.
  • Se $\alpha \cap \beta =\varnothing$, ok.
  • Suponha que $\alpha \cap \beta \neq \varnothing \Rightarrow \exists \;A,B\in \alpha \cap \beta \;e\;A\neq B\Rightarrow A,B\in \alpha \;e\;A,B\in \beta \Rightarrow AB\in \alpha \;e\;AB\in \beta \Rightarrow AB\in \alpha \cap \beta$.

1.2

O número de diagonais de um polígono convexo $d(n)={n\cdot (n-3) \over 2}$

• (n=3) d(3) = 3*(3-3)/2 = 0
• (n=4) d(4) = 4*(4-3)/2 = 4*1/2 = 2 = 0+1+(3-2)
• (n=5) d(5) = 5*(5-3)/2 = 5*2/2 = 5 = 2+1+(4-2)
• (n=k) d(k) = k*(k-3)/2
• (n=k+1) d(k+1) = ?
  • Seja T um polígono de k-lados. Tome A,B vértices do polígono T. Ao inserir um vértice a mais ao polígono T de forma que continue convexo, surgirão novas diagonais. Seja U esse novo polígono e C esse vértice inserido ao polígono T. Consideremos que esse vértice C inserido era mais próximo de A e B.
  • Assim AB deixa de ser uma aresta e passa a ser uma diagonal. Os segmentos de retas CD, sendo D os vértices do polígono T, serão k-2 diagonais do polígono U e 2 arestas (AC e BC).
  • Logo as diagonais de U será as diagonais de T, adicionando AB que era uma aresta e os k-2 novas diagonais formados com o vértice C.
  • Então d(k+1) = k(k-3)/2 +1 + k-2 = k(k-3)/2 +2(k-1)/2 = [kk-3k+2k-2]/2 = [kk+k-2k-2]/2 = [k(k+1)-2(k+1)]/2 = (k+1)(k-2)/2 = (k+1)(k+1-3)/2

Dois triângulos congruentes LAL

• Considere a existência de dois triângulos, o $\triangle ABC\;e\;o\;\triangle DEF$. Se dois lados desses triângulos são congruentes e o ângulo entre os lados congruentes é congruente, então os triângulos são congruentes.
• Hipótese:
  • Existe o $\triangle ABC,\triangle DEF$; (1)
  • Existe uma correspondência biunívoca entre os vértices $A\leftrightarrow D,B\leftrightarrow E,C\leftrightarrow F$; (2)
  • Duas arestas são congruentes: AB = DE, AC = DF. (3)
  • O ângulo entre as arestas congruentes são congruentes: $\angle BAC=\angle EDF$. (4)
  • Axioma: Dado dois pontos, existe uma reta que passa por esses dois pontos e ela é única. (5)
• Tese: $\triangle BAC=\triangle EDF$
• Demonstração:
  • Por (1) existe o $\triangle ABC\;e\;o\;\triangle DEF$.
  • Como existem os pontos A e D, por (5) existe uma reta r que passa por A e D.
  • Façamos a translação do $\triangle ABC$ até o $\triangle DEF$, fazendo o vértice A deslizar sobre o segmento de reta AD, partindo de A até chegar em D.
  • Com os vértices A e D fixados, façamos a rotação do $\triangle ABC$ de forma que a semi reta AC coincida com a semireta DF.
  • Caso A semireta AB não coincida com a semireta DE, com os vértices A e D fixados, façamos a reflexão do $\triangle DEF$ para que as semi retas ditas se coincidam.