Utilizador:Thiago Marcel/Profmat/MA13

1.1Editar

A intersecção de duas regiões convexas ou é o conjunto vazio ou é uma região convexa.

  • Considere   duas regiões convexas.
    • Se  , ok.
    • Suponha que  .

1.2Editar

O número de diagonais de um polígono convexo  

  • (n=3) d(3) = 3*(3-3)/2 = 0
  • (n=4) d(4) = 4*(4-3)/2 = 4*1/2 = 2 = 0+1+(3-2)
  • (n=5) d(5) = 5*(5-3)/2 = 5*2/2 = 5 = 2+1+(4-2)
  • (n=k) d(k) = k*(k-3)/2
  • (n=k+1) d(k+1) = ?
    • Seja T um polígono de k-lados. Tome A,B vértices do polígono T. Ao inserir um vértice a mais ao polígono T de forma que continue convexo, surgirão novas diagonais. Seja U esse novo polígono e C esse vértice inserido ao polígono T. Consideremos que esse vértice C inserido era mais próximo de A e B.
    • Assim AB deixa de ser uma aresta e passa a ser uma diagonal. Os segmentos de retas CD, sendo D os vértices do polígono T, serão k-2 diagonais do polígono U e 2 arestas (AC e BC).
    • Logo as diagonais de U será as diagonais de T, adicionando AB que era uma aresta e os k-2 novas diagonais formados com o vértice C.
    • Então d(k+1) = k(k-3)/2 +1 + k-2 = k(k-3)/2 +2(k-1)/2 = [kk-3k+2k-2]/2 = [kk+k-2k-2]/2 = [k(k+1)-2(k+1)]/2 = (k+1)(k-2)/2 = (k+1)(k+1-3)/2

Dois triângulos congruentes LALEditar

  • Considere a existência de dois triângulos, o  . Se dois lados desses triângulos são congruentes e o ângulo entre os lados congruentes é congruente, então os triângulos são congruentes.
  • Hipótese:
    • Existe o  ; (1)
    • Existe uma correspondência biunívoca entre os vértices  ; (2)
    • Duas arestas são congruentes: AB = DE, AC = DF. (3)
    • O ângulo entre as arestas congruentes são congruentes:  . (4)
    • Axioma: Dado dois pontos, existe uma reta que passa por esses dois pontos e ela é única. (5)
  • Tese:  
  • Demonstração:
    • Por (1) existe o  .
    • Como existem os pontos A e D, por (5) existe uma reta r que passa por A e D.
    • Façamos a translação do   até o  , fazendo o vértice A deslizar sobre o segmento de reta AD, partindo de A até chegar em D.
    • Com os vértices A e D fixados, façamos a rotação do   de forma que a semi reta AC coincida com a semireta DF.
    • Caso A semireta AB não coincida com a semireta DE, com os vértices A e D fixados, façamos a reflexão do   para que as semi retas ditas se coincidam.