Utilizador:Thiago Marcel/Profmat/MA14

4.7

Hipóteses: $(1):\triangle ABC,\triangle A'B'C'\in \alpha ;$

$(2):{{\overline {AB}} \over {\overline {A'B'}}}={{\overline {BC}} \over {\overline {B'C'}}}=k;$
$(3):{\hat {B}}={\hat {B}}';$
$(4):A\leftrightarrow A',B\leftrightarrow B',C\leftrightarrow C'$

Tese:  $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$

Dem: SPG, tome $1<k\Rightarrow {\overline {A'B'}}\cdot 1<{\overline {A'B'}}\cdot k={\overline {AB}}\Rightarrow \exists \;A''\in AB:(6);{\overline {A''B}}={\overline {A'B'}}:(5).$

Tome $C''\in {\overrightarrow {BC}}:(7)$ tal que ${\overleftrightarrow {A''C''}}//{\overleftrightarrow {AC}}$ .
- Como ${\overleftrightarrow {BA}},{\overleftrightarrow {BC}}$ interceptam as retas paralelas ${\overleftrightarrow {A''C''}}\;e\;{\overleftrightarrow {AC}}$ , pelo Teorema de Thalles, ${{\overline {BA''}} \over {\overline {BA}}}={{\overline {BC''}} \over {\overline {BC}}}$ .
  - Por (2) e (5), ${\overline {BA''}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {BC''}}\cdot {\overline {BA}}\Rightarrow {\overline {BA''}}\cdot k\cdot {\overline {B'C'}}={\overline {BC''}}\cdot k\cdot {\overline {B'A'}}\Rightarrow {\overline {BC''}}={\overline {B'C'}}:(9)$ .
Tome $D\in {\overrightarrow {AC}}$ tal que ${\overleftrightarrow {DC''}}//{\overleftrightarrow {AA''}}\Rightarrow DC''//AA''.$ Como ${\overleftrightarrow {AC}}//{\overleftrightarrow {A''C''}}\Rightarrow AD//A''C''$ . Logo $AA''C''D$ é um paralelogramo e assim ${\overline {AD}}={\overline {A''C''}}:(11)$ .
- Como ${\overleftrightarrow {CA}},{\overleftrightarrow {CB}}$ interceptam as retas paralelas ${\overleftrightarrow {DC''}}\;e\;{\overleftrightarrow {AB}}$ , pelo Teorema de Thalles, ${{\overline {AD}} \over {\overline {AC}}}={{\overline {BC''}} \over {\overline {BC}}}:(10)$ .
Por (3), $\angle A'B'C'=\angle ABC=\angle A''BC'':(8)$ por (6) e (7).
Por (5),(8),(9), o $\triangle A''BC''=\triangle A'B'C'$ por LAL. Logo ${\overline {A''C''}}={\overline {A'C'}}:(12),\angle BA''C''={\hat {A}}',\angle BC''A''={\hat {C}}'$ .
Por (2),(9),(10),(11) e (12) ${\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BC''}}\Rightarrow {\overline {A''C''}}\cdot k\cdot {\overline {B'C'}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {B'C'}}\Rightarrow {\overline {A'C'}}\cdot k={\overline {AC}}:(13)$
Por (2) e (13) o $\triangle ABC=\triangle A'B'C'$ por LLL.

4.8

Hipóteses: $(1):\triangle ABC,\triangle A'B'C'\in \alpha ;$

$(2):{\hat {A}}={\hat {A'}}\;e\;{\hat {B}}={\hat {B'}};$
$(3):A\leftrightarrow A',B\leftrightarrow B',C\leftrightarrow C'$

Tese:  $\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$ .  $(\Rightarrow ){{\overline {AB}} \over {\overline {A'B'}}}={{\overline {BC}} \over {\overline {B'C'}}}={{\overline {AC}} \over {\overline {A'C'}}}=k$

Dem: Caso (1<k) tome ${\overline {AB}}=k\cdot {\overline {A'B'}},com\;1<k\Rightarrow {\overline {A'B'}}\cdot 1<{\overline {A'B'}}\cdot k={\overline {AB}}\Rightarrow \exists \;B''\in AB$ , tal que ${\overline {AB''}}={\overline {A'B'}}:(4)$ .

Tome $C''\in {\overrightarrow {AC}}$ , tal que ${\overleftrightarrow {B''C''}}//{\overleftrightarrow {BC}}$ . Por ${\overleftrightarrow {AB}}\;e\;{\overleftrightarrow {AC}}$ interceptar as retas ${\overleftrightarrow {B''C''}}//{\overleftrightarrow {BC}}$ , logo $\angle AB''C''={\hat {B}}={\hat {B}}':(5)$ e pelo teorema de Thalles, temos que ${{\overline {AB''}} \over {\overline {AB}}}={{\overline {AC''}} \over {\overline {AC}}}:(6)$
Por (2), (4) (5) $\triangle AB''C\equiv \triangle A'B'C'$ por ALA.
Tome $D\in {\overrightarrow {BC}}$ , tal que ${\overleftrightarrow {AB}}//{\overleftrightarrow {C''D}}$ . Por ${\overleftrightarrow {CA}}\;e\;{\overleftrightarrow {CB}}$ interceptar as retas ${\overleftrightarrow {AB}}//{\overleftrightarrow {C''D}}$ , pelo teorema de Thalles, temos que ${{\overline {CA}} \over {\overline {C''A}}}={{\overline {CB}} \over {\overline {DB}}}:(7)$

Os casos em que k =1 ou k<1 são análogos.

4.15

Teorema 4.15 Apolônio

Dado  $k\in \mathbb {R_{+}} -\{1\}$  e pontos B e C no plano  $\alpha$ , o  $LG=\{A\in \alpha :{\overline {AB}}=k\cdot {\overline {AC}}\}$  é o círculo com diâmetro PQ, onde  $P\in BC,Q\in {\overleftrightarrow {BC}}\setminus BC$  são os pontos tais que  ${{\overline {BP}} \over {\overline {PC}}}={{\overline {BQ}} \over {\overline {QC}}}=k$

Hip: $(1):k\in \mathbb {R_{+}} -\{1\};(2):A,B,C,P,Q\in \alpha ;(3):{\overline {AB}}=k\cdot {\overline {AC}};(4):P\in BC,Q\in {\overleftrightarrow {BC}}\setminus BC$
Tese: LG = círculo com diâmetro PQ
Dem: