Álgebra abstrata/Conjuntos
Teoria dos Conjuntos
editarO objetivo deste livro não é estudar a Teoria dos Conjuntos; este estudo pode ser feito de forma elementar (ou ingênua), de forma axiomática, ou mesmo de forma avançada (que é a análise dos próprios axiomas, verificando independência, completude e consistência).
Uma versão elementar está incluída no livro Matemática elementar: Matemática elementar/Conjuntos.
A teoria axiomática dos conjuntos (algumas vezes chamada de teoria ingênua dos conjuntos) está no livro Teoria dos conjuntos.
A Teoria dos Conjuntos é essencial para aprender Álgebra. O que se segue é um resumo da teoria, apenas alguns conceitos, mas será o suficiente para começarmos a estudar álgebra.
Conjunto é uma coleção de objetos
- Ex: ,
- é uma coleção de números, é uma coleção de cores
- Logo são conjuntos
Seja um conjunto:
- , significa que é um elemento de .
- , significa que não é um elemento de .
Definição de Subconjunto
editarUm subconjunto é parte de certa coleção .
- Ex:
- Assim , isto é, todo elemento que pertence a , pertence a , por isso dizemos que é subconjunto de .
- Mais formalmente, se , logo
Inclusão
editaré a inclusão dos elementos de , e lê-se está contido em .
Igualdade
editar- Subconjunto próprio: é subconjunto próprio de
- Isto é,
Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo
- O , isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
- Às vezes é chamado de conjunto vazio.
Conjunto x propriedade
editarÉ comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:
- Ex:
- Veremos mais para frente que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais
A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:
-
- Veremos mais para frente que ao qual são três conjuntos disjuntos
Exemplos:
A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:
Exemplos:
Disjuntos
editarDois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.
- são disjuntos.
Exemplos:
- . Logo A não é disjunto dele próprio.
- . Logo A,B não são disjuntos.
- . Logo A,B são disjuntos.
Diferença
editarA diferença de dois conjuntos é a exclusão dos elementos do segundo conjunto que estão no primeiro, assim:
- .
Exemplos:
- .
- .
- .
- .
Complemento
editarÉ um modo diferente de ver a diferen~ça de dois conjuntos
- .
Distributividade do conjuntos
editarExiste duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:
Axiomas básicos
editarUm subconjunto importante é o , pois através deles conseguimos contar elementos de um conjunto.
- Exemplo:
Axiomas de Peano (sucessão)
editarA função sucessão é dada por
- (Identidade) A função de sucessão é injetiva
- Dados
- (Menor Elemento) Existe um elemento que não é sucessor de nenhum outro: 1
- Logo tal que s(m)=1
- (unicidade)
- Seja , para cada fator temos que n=p e m=p; por transitividade n=m. Logo o sucessor de um número é único
- (Princípio da Indução) Seja um conjunto com as seguintes propriedades: ; Se então . Então
Teorema (Princípio da boa ordenação)
editarTodo subconjunto não-vazio possui um elemento mínimo.
Prova
editar- Devemos mostrar o complementar de em relação ao assim
- Tomemos um subconjunto : formado pelos elementos que não estão em , ou seja, .
- a quem pertence o elemento
- Se o teorema está demonstrado, pois é o menor elemento do .
- Se logo
- O conjunto
- Agora tomemos um subconjunto de , chamado onde n é o maior natural tal que aconteça isso, assim
- mostrar que
- Pela construção do conjunto , temos que . Se , teríamos e logo . Como não faz sentido, logo , portanto
- Devemos mostrar que é o menor elemento de
- Como todos os antecessores de são os elementos de , temos que é o menor elemento de , pois os elementos menores que estão em
Conjuntos finitos e infinitos
editarUm conjunto X é finito quando assume uma das opções abaixo:
- quando ele é vazio. (Neste caso o conjunto têm 0 elementos)
- quando existe uma bijeção entre e . (Neste caso o conjunto têm n elementos)
- escreve-se .
Concluímos que:
- todo conjunto é finito.
- Que uma função bijeção entre dois conjuntos ocorre somente quando eles possuem a mesma quantidade de elementos
- Numa bijeção, se um conjunto é finito, o outro também o é.
Quando o conjunto X não é finito (ou seja, não atende os requisitos para ser finito), o chamamos de infinito.
Propriedades importantes dos conjuntos finitos
editarTeorema (Bijeção sobre um subconjunto)
editarSeja . Se existir uma bijeção então .
Prova
editar- o fato de ser um subconjunto de nos diz que
- têm no máximo os mesmos elementos de
- têm no máximo n elementos.
- Se é uma bijeção, pela definição de finito, temos que A têm a mesma quantidade de elementos de .
- Juntando os dois fatos (o fato de ter a mesma quantidade de elementos de e que esses elementos são no máximo os elementos de ) temos que .
Corolário (unicidade numa bijeção)
editarSe existir uma bijeção então . Consequentemente, se existem duas bijeções e , logo .
Prova
editar- o teorema 2 nos diz que seja e se existir uma , temos que
- Logo devemos supor que (neste caso estamos supondo que ), e essa suposição é válida pois se fosse não teríamos uma bijeção
- Pelo teor 2, ao qual
Corolário (bijeção sobre uma parte própria)
editarNão pode existir uma de um conjunto finito sobre uma parte própria
Prova
editarTeorema (Propriedades de um subconjunto)
editarSe é um conjunto finito então todo subconjunto é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X.
Prova
editarCorolário
editarSeja uma função injetora. Se Y for finito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.