Álgebra abstrata/Conjuntos

Teoria dos ConjuntosEditar

O objetivo deste livro não é estudar a Teoria dos Conjuntos; este estudo pode ser feito de forma elementar (ou ingênua), de forma axiomática, ou mesmo de forma avançada (que é a análise dos próprios axiomas, verificando independência, completude e consistência).

Uma versão elementar está incluída no livro Matemática elementar: Matemática elementar/Conjuntos.

A teoria axiomática dos conjuntos (algumas vezes chamada de teoria ingênua dos conjuntos) está no livro Teoria dos conjuntos.

A Teoria dos Conjuntos é essencial para aprender Álgebra. O que se segue é um resumo da teoria, apenas alguns conceitos, mas será o suficiente para começarmos a estudar álgebra.

Definição de ConjuntoEditar

Conjunto é uma coleção de objetos

  • Ex:  ,  
    •   é uma coleção de números,   é uma coleção de cores  
    • Logo   são conjuntos

Seja   um conjunto:

  •  , significa que   é um elemento de  .
  •  , significa que   não é um elemento de  .

Definição de SubconjuntoEditar

Um subconjunto   é parte de certa coleção  .

  • Ex:  
    • Assim  , isto é, todo elemento que pertence a  , pertence a  , por isso dizemos que   é subconjunto de  .
  • Mais formalmente, se  , logo  

InclusãoEditar

  é a inclusão dos elementos de  , e lê-se   está contido em  .

IgualdadeEditar

  •  
  • Subconjunto próprio:   é subconjunto próprio de  
    • Isto é,  

Conjunto vazioEditar

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo  

  • O  , isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
  • Às vezes é chamado de conjunto vazio.

Conjunto x propriedadeEditar

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

  •  
  • Ex:  
    • Veremos mais para frente que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

UniãoEditar

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

  •  
    • Veremos mais para frente que   ao qual são três conjuntos disjuntos

Exemplos:

  •  
  •  

IntersecçãoEditar

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

  •  

Exemplos:

  •  
  •  

DisjuntosEditar

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.

  •   são disjuntos.

Exemplos:

  •  . Logo A não é disjunto dele próprio.
  •  . Logo A,B não são disjuntos.
  •  . Logo A,B são disjuntos.

DiferençaEditar

A diferença de dois conjuntos é a exclusão dos elementos do segundo conjunto que estão no primeiro, assim:

  •  .

Exemplos:

  •  .
  •  .
    •  .
  •  .
ComplementoEditar

É um modo diferente de ver a diferen~ça de dois conjuntos

  •  .

Distributividade do conjuntosEditar

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

  1.  
  2.  

Axiomas básicosEditar

Um subconjunto importante é o    , pois através deles conseguimos contar elementos de um conjunto.

  • Exemplo:  

Axiomas de Peano (sucessão)Editar

A função sucessão é dada por  

  1. (Identidade) A função de sucessão   é injetiva
    • Dados  
  2. (Menor Elemento) Existe um elemento que não é sucessor de nenhum outro: 1
    • Logo   tal que s(m)=1
    • (unicidade)  
      • Seja  , para cada fator temos que n=p e m=p; por transitividade n=m. Logo o sucessor de um número é único
  3. (Princípio da Indução) Seja   um conjunto com as seguintes propriedades:  ; Se   então  . Então  

Teorema (Princípio da boa ordenação)Editar

Todo subconjunto não-vazio   possui um elemento mínimo.

ProvaEditar
  • Devemos mostrar o complementar de   em relação ao   assim  
    • Tomemos um subconjunto   :   formado pelos elementos que não estão em  , ou seja,  .
  • a quem pertence o elemento  
    • Se   o teorema está demonstrado, pois   é o menor elemento do  .
    • Se   logo  
  • O conjunto  
    • Agora tomemos um subconjunto de  , chamado   onde n é o maior natural tal que aconteça isso, assim  
  • mostrar que  
    • Pela construção do conjunto  , temos que  . Se  , teríamos   e logo  . Como não faz sentido, logo  , portanto  
  • Devemos mostrar que   é o menor elemento de  
    • Como todos os antecessores de   são os elementos de  , temos que   é o menor elemento de  , pois os elementos menores que   estão em  

Conjuntos finitos e infinitosEditar

Um conjunto X é finito quando assume uma das opções abaixo:

  • quando ele é vazio. (Neste caso o conjunto têm 0 elementos)
  • quando existe uma bijeção entre   e  . (Neste caso o conjunto têm n elementos)
    • escreve-se  .

Concluímos que:

  • todo conjunto   é finito.
  • Que uma função bijeção entre dois conjuntos ocorre somente quando eles possuem a mesma quantidade de elementos
  • Numa bijeção, se um conjunto é finito, o outro também o é.

Quando o conjunto X não é finito (ou seja, não atende os requisitos para ser finito), o chamamos de infinito.

Propriedades importantes dos conjuntos finitosEditar

Teorema (Bijeção sobre um subconjunto)Editar

Seja  . Se existir uma bijeção   então  .

ProvaEditar
  • o fato de   ser um subconjunto de   nos diz que
    •   têm no máximo os mesmos elementos de  
    •   têm no máximo n elementos.
  • Se   é uma bijeção, pela definição de finito, temos que A têm a mesma quantidade de elementos de  .
  • Juntando os dois fatos (o fato de   ter a mesma quantidade de elementos de   e que esses elementos são no máximo os elementos de  ) temos que  .

Corolário (unicidade numa bijeção)Editar

Se existir uma bijeção   então  . Consequentemente, se existem duas bijeções   e  , logo  .

ProvaEditar
  • o teorema 2 nos diz que seja   e se existir uma  , temos que  
    • Logo devemos supor que   (neste caso estamos supondo que  ), e essa suposição é válida pois se fosse   não teríamos uma bijeção
  • Pelo teor 2,   ao qual  

Corolário (bijeção sobre uma parte própria)Editar

Não pode existir uma   de um conjunto finito sobre uma parte própria  

ProvaEditar

Teorema (Propriedades de um subconjunto)Editar

Se   é um conjunto finito então todo subconjunto   é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X.

ProvaEditar

CorolárioEditar

Seja   uma função injetora. Se Y for finito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.

ProvaEditar

Leia maisEditar