Podemos associar dois conjuntos de forma que os seus elementos sejam independentes. Seja A,B conjuntos tais que seus elementos não estejam relacionados, assim:
Uma função associa elementos de dois conjuntos através de uma regra. Assim temos A,B conjuntos e f associando A e B através de uma regra e escrevemos
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B\;}
(função) f é uma aplicação
⇔
∀
x
∈
A
,
∃
f
(
x
)
=
y
∈
B
{\displaystyle \Leftrightarrow \forall \;x\in A,\exists \;f(x)=y\in B}
(unicidade)
S
e
f
(
x
)
=
y
,
f
(
x
)
=
z
,
l
o
g
o
y
=
z
{\displaystyle Se\;f(x)=y,f(x)=z,logo\;y=z}
Duas funções f,g são iguais se, e somente se,
D
f
=
D
g
,
C
D
f
=
C
D
g
,
f
(
x
)
=
g
(
x
)
∀
x
∈
D
{\displaystyle D_{f}=D_{g},CD_{f}=CD_{g},f(x)=g(x)\;\forall \;x\in D}
{\displaystyle \;}
Uma transformação é uma aplicação onde D=CD.
f
:
S
↦
S
{\displaystyle f:S\mapsto S\;}
Uma aplicação Identidade leva um elemento ao mesmo elemento. Seja
1
S
:
S
↦
S
,
a
s
s
i
m
1
S
(
t
)
=
t
,
∀
t
∈
S
{\displaystyle 1_{S}:S\mapsto S,\;assim\;1_{S}(t)=t,\;\forall \;t\in S}
O conjunto B é chamado de contra-domínio porque é o conjunto onde f aplicado em A vai procurar estabelecer sua regra.
O conjunto
B
′
=
{
f
(
x
)
,
x
∈
A
,
f
(
x
)
∈
B
}
{\displaystyle B'=\{f(x),x\in A,f(x)\in B\}}
Seja
f
:
A
↦
B
e
C
⊂
A
{\displaystyle f:A\mapsto B\;e\;C\subset A}
g
:
C
↦
B
{\displaystyle g:C\mapsto B}
restrição f para C, e escrevemos
f
|
C
:
C
↦
B
{\displaystyle f|C:C\mapsto B}
C
×
B
=
{
(
c
,
f
(
c
)
)
,
c
∈
C
}
{\displaystyle C\times B=\{(c,f(c)),c\in C\}}
extensão da aplicação f|C
Uma aplicação
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
I
m
(
A
)
=
B
{\displaystyle Im(A)=B\;}
A aplicação
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
a
1
≠
a
2
⇒
f
(
a
1
)
≠
f
(
a
2
)
{\displaystyle a1\neq a2\Rightarrow f(a1)\neq f(a2)}
Seja
f
:
A
↦
B
{\displaystyle f:A\mapsto B}
G
f
=
{
(
x
,
f
(
x
)
)
;
x
∈
A
,
f
(
x
)
∈
B
}
{\displaystyle G_{f}=\{(x,f(x));x\in A,f(x)\in B\}}
Seja
f
:
R
↦
S
,
g
:
S
↦
T
e
h
:
T
↦
U
{\displaystyle f:R\mapsto S,g:S\mapsto T\;e\;h:T\mapsto U}
As aplicações
f
∘
g
:
R
↦
T
e
g
∘
h
:
S
↦
U
{\displaystyle f\circ g:R\mapsto T\;e\;g\circ h:S\mapsto U}
A aplicação
f
∘
g
∘
h
:
R
↦
U
{\displaystyle f\circ g\circ h:R\mapsto U}
(
f
∘
g
)
∘
h
=
f
∘
(
g
∘
h
)
:
R
↦
U
{\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h):R\mapsto U}
Se f e g são sobrejetora, então
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
Se f e g são injetora, então
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
Se f é sobrejetora e injetora, então ela é chamada bijetora.
De uma maneira mais rigorosa,
f
:
X
↦
Y
{\displaystyle f:X\mapsto Y}
g
:
Y
↦
X
{\displaystyle g:Y\mapsto X}
g
∘
f
=
1
X
e
f
∘
g
=
1
Y
{\displaystyle g\circ f=1_{X}\;e\;f\circ g=1_{Y}}
Função inversa de
f
:
X
↦
Y
{\displaystyle f:X\mapsto Y}
f
−
1
:
Y
↦
X
{\displaystyle f^{-1}:Y\mapsto X}
Seja
f
:
X
↦
Y
,
g
:
Y
↦
Z
{\displaystyle f:X\mapsto Y,g:Y\mapsto Z}
f
∘
g
:
X
↦
Z
,
g
−
1
∘
f
−
1
:
X
↦
Z
{\displaystyle f\circ g:X\mapsto Z,g^{-1}\circ f^{-1}:X\mapsto Z}
i)
(
f
∘
g
)
∘
(
g
−
1
∘
f
−
1
)
=
f
∘
(
g
∘
g
−
1
)
∘
f
−
1
=
f
∘
f
−
1
=
1
Y
{\displaystyle (f\circ g)\circ (g^{-1}\circ f^{-1})=f\circ (g\circ g^{-1})\circ f^{-1}=f\circ f^{-1}=1_{Y}}
ii)
(
g
−
1
∘
f
−
1
)
∘
(
f
∘
g
)
=
g
−
1
∘
(
f
−
1
∘
f
)
∘
g
=
g
−
1
∘
g
=
1
X
{\displaystyle (g^{-1}\circ f^{-1})\circ (f\circ g)=g^{-1}\circ (f^{-1}\circ f)\circ g=g^{-1}\circ g=1_{X}}
Suponha
f
:
X
↦
Y
{\displaystyle f:X\mapsto Y}
c
∈
Y
{\displaystyle c\in Y}
f
−
1
(
c
)
=
{
a
∈
X
/
f
(
a
)
=
c
}
{\displaystyle f^{-1}(c)=\{a\in X/f(a)=c\}}
Seja
C
⊂
Y
{\displaystyle C\subset Y}
f
−
1
(
C
)
=
⋃
c
∈
Y
f
−
1
(
c
)
{\displaystyle f^{-1}(C)=\bigcup _{c\;\in \;Y}f^{-1}(c)}
