Álgebra abstrata/Funções


Podemos associar dois conjuntos de forma que os seus elementos sejam independentes. Seja A,B conjuntos tais que seus elementos não estejam relacionados, assim:

Uma função associa elementos de dois conjuntos através de uma regra. Assim temos A,B conjuntos e f associando A e B através de uma regra e escrevemos  .

  • (função) f é uma aplicação  
    • (unicidade)  

Funções iguais

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Duas funções f,g são iguais se, e somente se,  

 

Transformação

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Uma transformação é uma aplicação onde D=CD.   é uma transformação de S sobre S.

Aplicação Identidade

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Uma aplicação Identidade leva um elemento ao mesmo elemento. Seja  

O conjunto B é chamado de contra-domínio porque é o conjunto onde f aplicado em A vai procurar estabelecer sua regra.

O conjunto   é chamado de conjunto imagem porque é o conjunto de todos os elementos de B que são alcançados pela regra de f aplicado em A.

Restrição\Extensão

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Seja  .
Uma aplicação   é chamada restrição f para C, e escrevemos  .
Uma restrição f|C é uma restrição do domínio, e  
A aplicação f é uma extensão da aplicação f|C

Uma aplicação   é sobrejetora, se  

A aplicação   é injetora se elementos distintos de A(domínio) tem imagens distintas em B, isto é, se  

Gráfico de uma função

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Seja   uma função. O gráfico de f é dado por  

Seja  .

  • As aplicações   são chamadas de aplicações compostas
  • A aplicação   é interessante pela sua forma associativa
    •  
    • Se f e g são sobrejetora, então   também o é
    • Se f e g são injetora, então   também o é

Se f é sobrejetora e injetora, então ela é chamada bijetora.

De uma maneira mais rigorosa,   é bijetiva se, e somente se, existe   tal que  

Função inversa de   é uma função com gráfico (f(x),x), onde é o mesmo gráfico de f(x), rotacionado em torno da reta y=x. Dizemos que   é a função inversa de f.

Seja  . Assim  ; Façamos:

i)  
ii)  

Imagem Inversa

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Suponha  , seja uma relação de equivalência envolvendo a imagem, de forma que, a R b se, e comente se, f(a) = f(b). Assim se   nós temos  

Seja  . De fato,