Definição geral: Monóide é um conjunto com a propriedade associativa e uma unidade.
Um Monóide é um triplo
(
M
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (M,\cdot ,1)\;}
⋅
{\displaystyle \cdot }
unidade de M tal que
1
⋅
a
=
a
=
a
⋅
1
{\displaystyle 1\cdot a=a=a\cdot 1\;}
Se retirarmos a hipótese que
⋅
{\displaystyle \cdot \;}
Monad . Ou se tirarmos a hipótese que possui uma unidade 1 , teremos um conjunto com uma composição binária ao qual chamamos de semi-grupo . Assim Monóide é um semi-grupo com unidade.
Um monóide é dito finito se ele possui uma número finito de elementos.
Seja M(S) o conjunto de todas as aplicações de S em si mesma;
1
S
:
S
↦
S
(
s
↦
s
)
,
s
∈
S
{\displaystyle 1_{S}:S\mapsto S(s\mapsto s),s\in S}
Exemplo: Seja
α
,
β
,
γ
:
S
↦
S
e
S
=
{
1
,
2
}
;
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma :S\mapsto S\;e\;S=\{1,2\};}
M
(
S
)
=
{
1
S
=
(
1
2
1
2
)
,
α
=
(
1
2
2
1
)
,
β
=
(
1
2
1
1
)
,
γ
=
(
1
2
2
2
)
}
,
∘
1
S
α
β
γ
1
S
1
S
α
β
γ
α
α
1
S
γ
β
β
β
β
β
β
γ
γ
γ
γ
γ
{\displaystyle M(S)={\Bigg \{}1_{S}={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}}{\Bigg \}},\;{\begin{array}{|c|cccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\alpha &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\beta &\beta &\beta &\beta &\beta \\\gamma &\gamma &\gamma &\gamma &\gamma \\\hline \end{array}}}
M(S) é um exemplo de um monóide, que é um conjunto não-vazio, com uma composição binária associativa e uma unidade. M(S) é o monóide de todas as transformações do conjunto S.
(
N
,
+
,
0
)
,
(
N
,
⋅
,
1
)
,
(
I
,
⋅
,
1
)
,
(
Z
,
+
,
0
)
,
(
P
(
S
)
,
∪
,
∅
)
,
(
P
(
S
)
,
∩
,
S
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0),(\mathbb {N} ,\cdot ,1),(\mathbb {I} ,\cdot ,1),(\mathbb {Z} ,+,0),(P(S),\cup ,\varnothing ),(P(S),\cap ,S)\;}
em que
I
{\displaystyle \mathbb {I} \,}
P(S) é o conjunto das partes de S .
Seja
(
N
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (N,\cdot ,1)}
(
M
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (M,\cdot ,1)}
N é fechado sobre o produto em M significa que
n
1
⋅
n
2
∈
N
,
∀
n
1
,
n
2
∈
N
{\displaystyle n_{1}\cdot n_{2}\in N,\;\forall \;n_{1},n_{2}\in N}
Exemplo da expressão N é fechado sobre o produto em M .
no monóide
(
N
,
+
,
0
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}
Um conjunto N é um Submonóide de M, se (i) N é um subconjunto do monóide M, (ii) N contém a unidade de M e (iii) N é fechado sobre o produto em M
Exemplos de Submonóide, sendo
I
{\displaystyle \mathbb {I} \,}
(
I
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (\mathbb {I} ,\cdot ,1)}
(
N
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot ,1)}
(
Z
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} ,\cdot ,1)}
Um submonóide do monóide M(S) é chamado de monóide de transformação (de S).
É a cardinalidade do monóide.
Exemplo: Seja S= {-1,0,1,}, qual é a ordem de
M
(
S
)
{\displaystyle M(S)}
Sim S ?
M
(
S
)
=
{
χ
=
(
−
1
0
1
−
1
−
1
−
1
)
,
ρ
=
(
−
1
0
1
−
1
−
1
0
)
,
ϵ
=
(
−
1
0
1
−
1
−
1
1
)
}
{\displaystyle M(S)={\Bigg \{}\chi ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}},\rho ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}},\epsilon ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}}
{
η
=
(
−
1
0
1
−
1
0
−
1
)
,
1
S
=
(
−
1
0
1
−
1
0
1
)
,
σ
=
(
−
1
0
1
−
1
1
−
1
)
,
.
.
.
ψ
=
(
−
1
0
1
1
1
1
)
}
{\displaystyle {\Bigg \{}\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}},1_{S}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}},\sigma ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&-1\end{pmatrix}},...\psi ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}}
U
(
M
(
S
)
)
=
{
1
S
=
(
−
1
0
1
−
1
0
1
)
,
α
=
(
−
1
0
1
−
1
1
0
)
,
β
=
(
−
1
0
1
0
−
1
1
)
,
γ
=
(
−
1
0
1
0
1
−
1
)
}
{\displaystyle U(M(S))={\Bigg \{}1_{S}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}}
{
δ
=
(
−
1
0
1
1
−
1
0
)
,
θ
=
(
−
1
0
1
1
0
−
1
)
}
∘
1
S
α
β
γ
δ
θ
1
S
1
S
α
β
γ
δ
θ
α
α
1
S
δ
θ
β
γ
β
β
γ
1
S
α
θ
δ
δ
δ
θ
α
1
S
γ
β
γ
γ
β
θ
δ
1
S
α
θ
θ
δ
γ
β
α
1
S
{\displaystyle {\Bigg \{}\delta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}},\theta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&0&-1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}\;{\begin{array}{|c|cccccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma &\delta &\theta \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma &\delta &\theta \\\alpha &\alpha &1_{S}&\delta &\theta &\beta &\gamma \\\beta &\beta &\gamma &1_{S}&\alpha &\theta &\delta \\\delta &\delta &\theta &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\gamma &\gamma &\beta &\theta &\delta &1_{S}&\alpha \\\theta &\theta &\delta &\gamma &\beta &\alpha &1_{S}\\\hline \end{array}}}
Se dado um monóide de todas as transformação de S(não-vazio), cuja ordem de S seja n, a ordem de M(S) é nn . E se tomarmos somente os elementos inversíveis de M(S), ou seja, Sim S = U(M(S)), então sua ordem é n! .
