Álgebra abstrata/Monóides e grupos


Monóide e Grupo editar

Definição geral: Monóide é um conjunto com a propriedade associativa e uma unidade, enquanto Grupo é um monóide ao qual todos os elementos têm inversos relativos a unidade.

Monóide editar

Um Monóide é um triplo   na qual M é um conjunto não-vazio,   é uma composição binária associativa em M e 1 é um elemento unidade de M tal que   para todo a em M.

Se retirarmos a hipótese que   é associativo temos um Monad. Ou se tirarmos a hipótese que possui uma unidade 1, teremos um conjunto com uma composição binária ao qual chamamos de semi-grupo. Assim Monóide é um semi-grupo com unidade.

Um monóide é dito finito se ele possui uma número finito de elementos.

Exemplo 1 de Monóide editar

Seja M(S) o conjunto de todas as aplicações de S em si mesma;   uma aplicação identidade.

Exemplo: Seja  

 

M(S) é um exemplo de um monóide, que é um conjunto não-vazio, com uma composição binária associativa e uma unidade. M(S) é o monóide de todas as transformações do conjunto S.

Exemplo 2 de Monóide editar

 

em que   é o conjunto dos números naturais ímpares e P(S) é o conjunto das partes de S.

Fechado editar

Seja   e  . Quando dizemos que N é fechado sobre o produto em M significa que  .

Exemplo da expressão N é fechado sobre o produto em M.

no monóide  , o subconjunto dos números pares é fechado sobre a operação binária, mas o subconjunto dos números ímpares não é.

Submonóide editar

Um conjunto N é um Submonóide de M, se (i) N é um subconjunto do monóide M, (ii) N contém a unidade de M e (iii) N é fechado sobre o produto em M

Exemplos de Submonóide, sendo   o conjunto dos números naturais ímpares:

  é um submonóide de  , por sua vez, é um submonóide de  

Grupo editar

Seja um monóide  . Um elemento u de M é dito inversível se existe um v em M, tal que,  . Chamamos v de inverso de u e escrevemos  . No caso em que a operação binária   for representada pelo símbolo de soma, +, representa-se o inverso por  .

Um grupo G ( ou seja,   ) é um monóide que têm todos os seus elementos inversíveis.

Grupo também pode ser definido como um triplo   na qual M é um conjunto não-vazio,   é uma composição binária associativa em M, 1 é um elemento unidade de M tal que   para todo a em M e para todo u, existe um v tal que  .

Em resumo, seja  . G é um grupo multiplicativo com unidade 1 quando:

  (existe unidade)
  (fechado para multiplicação)
  (todo elemento possui inverso)
  (composição binária associativa)

Subgrupo editar

Um submonóide de um monóide (em particular, um grupo), é um sub-grupo se é um grupo.

Seja M um grupo e G um subconjunto de M. G é um sub-grupo de M se: (i) 1 está em G, (ii) G é fechado sobre o produto em M (iii)

Nota-se que para todo grupo  , se M é um subconjunto de G,   é fechada em M e existe um elemento 1' de M tal que   seja um grupo, então 1 = 1' . Esta propriedade não vale para monóides, conforme exercício abaixo:

Exercício: Sejam S e T conjuntos de forma que S é um subconjunto próprio de T. Mostre que:

  1.   e   são monóides
  2. P(S) é um subconjunto de P(T)
  3. a operação de interseção em P(T), quando aplicada a elementos de P(S), retorna um elemento de P(S) (fechamento)
  4. as identidades nos dois monóides são diferentes

Grupo Comutativo (Abeliano) editar

Um grupo é dito comutativo se dado dois elementos do grupo, a operação p entre eles de ambos os lados são iguais, i é, seja  , onde  .

Monóide e grupo de transformação editar

Monóide de Transformação editar

Um submonóide do monóide M(S) é chamado de monóide de transformação (de S).

Ordem de um monóide editar

É a cardinalidade do monóide.

Grupos de Transformação editar

Seja U(M) o conjunto dos elementos inversíveis do monóide M. Assim se p(u, v) = 1, u,v estão em U(M), Como  , 1 está em U(M). U(M) é um submonóide de M. Nós podemos chamar U(M) de grupo dos elementos invertíveis de M, ou de grupo das unidades de M.

Exemplo: Se  , se  

Seja M(S) um monóide de transformação de um conjunto não vazio. U(M(S)) é o grupo dos elementos inversíveis de M(S). Vejamos o elemento dado no começo dessa página.  

vemos que   são inversíveis e fechado para a composição, assim U(M(S)) =  . U(M(S)) é chamado de grupo de transformação (de S).

Exemplo: M(S) editar

Exemplo: Seja S= {-1,0,1,}, qual é a ordem de   e de Sim S?

 

 

Exemplo: U(M(S)) editar

 

 .

Teorema editar

Se dado um monóide de todas as transformação de S(não-vazio), cuja ordem de S seja n, a ordem de M(S) é nn. E se tomarmos somente os elementos inversíveis de M(S), ou seja, Sim S = U(M(S)), então sua ordem é n!.

Prova editar

Grupo de Transformação editar

Def. Um subgrupo de um U(M(S)) (grupo simétrico de S) se chamará grupo de transformação. Um grupo G de transformação de um conjunto D é um grupo de transformação se, e somente se, consiste de aplicações bijetivas (i é,possui aplicações inversas) e G têm as propriedades de fechamento:

 
 
 
 

Teoria de Grupo editar

Acima consideramos que todas as transformações de U(M(S)) são bijetivas, agora vamos provar esse fato.

Teorema 1: Uma transformação de U(M(S)) é injetiva se, e somente se têm inverso à direita. É sobrejetiva se, e somente se, têm inverso à esquerda.

i) Se   têm inverso à direita  , assim   e   implica que:
 
logo  
ii)Se   têm inverso à esquerda  , assim   temos que:
 

  Corolário 1: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja  
Como  
Logo  

Corolário 2: Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.

Seja  
Como  
Logo  

Como  , temos que a inversa da inversa de uma transformação é ela própria.

Teorema 2: O conjunto de todas as bijeções de um espaço qualquer S sobre S é um grupo de transformações

Teorema 3: Seja  , então  

Teoria de Subgrupo editar

Seja T um subconjunto de um grupo S. Se T é um subgrupo de S, então T é fechado pro operador de S e todo elemento tem inversa em T