Definição geral: Monóide é um conjunto com a propriedade associativa e uma unidade, enquanto Grupo é um monóide ao qual todos os elementos têm inversos relativos a unidade.
Um Monóide é um triplo
(
M
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (M,\cdot ,1)\;}
⋅
{\displaystyle \cdot }
unidade de M tal que
1
⋅
a
=
a
=
a
⋅
1
{\displaystyle 1\cdot a=a=a\cdot 1\;}
Se retirarmos a hipótese que
⋅
{\displaystyle \cdot \;}
Monad . Ou se tirarmos a hipótese que possui uma unidade 1 , teremos um conjunto com uma composição binária ao qual chamamos de semi-grupo . Assim Monóide é um semi-grupo com unidade.
Um monóide é dito finito se ele possui uma número finito de elementos.
Seja M(S) o conjunto de todas as aplicações de S em si mesma;
1
S
:
S
↦
S
(
s
↦
s
)
,
s
∈
S
{\displaystyle 1_{S}:S\mapsto S(s\mapsto s),s\in S}
Exemplo: Seja
α
,
β
,
γ
:
S
↦
S
e
S
=
{
1
,
2
}
;
{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma :S\mapsto S\;e\;S=\{1,2\};}
M
(
S
)
=
{
1
S
=
(
1
2
1
2
)
,
α
=
(
1
2
2
1
)
,
β
=
(
1
2
1
1
)
,
γ
=
(
1
2
2
2
)
}
,
∘
1
S
α
β
γ
1
S
1
S
α
β
γ
α
α
1
S
γ
β
β
β
β
β
β
γ
γ
γ
γ
γ
{\displaystyle M(S)={\Bigg \{}1_{S}={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}}{\Bigg \}},\;{\begin{array}{|c|cccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\alpha &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\beta &\beta &\beta &\beta &\beta \\\gamma &\gamma &\gamma &\gamma &\gamma \\\hline \end{array}}}
M(S) é um exemplo de um monóide, que é um conjunto não-vazio, com uma composição binária associativa e uma unidade. M(S) é o monóide de todas as transformações do conjunto S.
(
N
,
+
,
0
)
,
(
N
,
⋅
,
1
)
,
(
I
,
⋅
,
1
)
,
(
Z
,
+
,
0
)
,
(
P
(
S
)
,
∪
,
∅
)
,
(
P
(
S
)
,
∩
,
S
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0),(\mathbb {N} ,\cdot ,1),(\mathbb {I} ,\cdot ,1),(\mathbb {Z} ,+,0),(P(S),\cup ,\varnothing ),(P(S),\cap ,S)\;}
em que
I
{\displaystyle \mathbb {I} \,}
P(S) é o conjunto das partes de S .
Seja
(
N
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (N,\cdot ,1)}
(
M
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (M,\cdot ,1)}
N é fechado sobre o produto em M significa que
n
1
⋅
n
2
∈
N
,
∀
n
1
,
n
2
∈
N
{\displaystyle n_{1}\cdot n_{2}\in N,\;\forall \;n_{1},n_{2}\in N}
Exemplo da expressão N é fechado sobre o produto em M .
no monóide
(
N
,
+
,
0
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0)}
Um conjunto N é um Submonóide de M, se (i) N é um subconjunto do monóide M, (ii) N contém a unidade de M e (iii) N é fechado sobre o produto em M
Exemplos de Submonóide, sendo
I
{\displaystyle \mathbb {I} \,}
(
I
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (\mathbb {I} ,\cdot ,1)}
(
N
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,\cdot ,1)}
(
Z
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} ,\cdot ,1)}
Seja um monóide
(
M
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (M,\cdot ,1)\;}
inversível se existe um v em M, tal que,
u
⋅
v
=
1
{\displaystyle u\cdot v=1\;}
inverso de u e escrevemos
v
=
u
−
1
{\displaystyle v=u^{-1}\;}
⋅
{\displaystyle \cdot \;}
for representada pelo símbolo de soma, + , representa-se o inverso por
v
=
−
u
{\displaystyle v=-u\;}
Um grupo G ( ou seja,
(
G
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (G,\cdot ,1)\;}
Grupo também pode ser definido como um triplo
(
M
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (M,\cdot ,1)\;}
⋅
{\displaystyle \cdot \;}
unidade de M tal que
1
⋅
a
=
a
=
a
⋅
1
{\displaystyle 1\cdot a=a=a\cdot 1\;}
u
⋅
v
=
1
{\displaystyle u\cdot v=1\;}
Em resumo, seja
(
G
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (G,\cdot ,1)\;}
∃
1
∈
G
t
a
l
q
u
e
1
⋅
g
=
g
⋅
1
=
g
∀
g
∈
G
{\displaystyle \exists 1\in G\;tal\;que\;1\cdot g=g\cdot 1=g\;\forall \;g\in G}
g
1
,
g
2
∈
G
⟹
g
1
⋅
g
2
∈
G
{\displaystyle g_{1},g_{2}\in G\implies g_{1}\cdot g_{2}\in G}
∀
g
∈
G
∃
g
−
1
t
a
l
q
u
e
g
⋅
g
−
1
=
g
−
1
⋅
g
=
1
{\displaystyle \forall \;g\in G\;\exists g^{-1}\;tal\;que\;g\cdot g^{-1}=g^{-1}\cdot g=1}
g
1
.
g
2
,
g
3
∈
G
⟹
g
1
⋅
(
g
2
⋅
g
3
)
=
(
g
1
⋅
g
2
)
⋅
g
3
{\displaystyle g_{1}.g_{2},g_{3}\in G\;\implies g_{1}\cdot (g_{2}\cdot g_{3})=(g_{1}\cdot g_{2})\cdot g_{3}}
Um submonóide de um monóide (em particular, um grupo), é um sub-grupo se é um grupo.
Seja M um grupo e G um subconjunto de M. G é um sub-grupo de M se: (i) 1 está em G, (ii) G é fechado sobre o produto em M (iii)
Nota-se que para todo grupo
(
″
G
″
,
″
⋅
″
,
″
1
″
)
{\displaystyle (''G'',''\cdot '',''1'')\;}
M é um subconjunto de G ,
⋅
{\displaystyle \cdot \;}
M e existe um elemento 1' de M tal que
(
″
M
″
,
″
⋅
″
,
″
1
‴
)
{\displaystyle (''M'',''\cdot '',''1''')\;}
1 = 1' . Esta propriedade não vale para monóides, conforme exercício abaixo:
Exercício: Sejam S e T conjuntos de forma que S é um subconjunto próprio de T . Mostre que:
(
P
(
S
)
,
∩
,
S
)
{\displaystyle (P(S),\cap ,S)\,}
(
P
(
T
)
,
∩
,
T
)
{\displaystyle (P(T),\cap ,T)\,}
P(S) é um subconjunto de P(T) a operação de interseção em P(T) , quando aplicada a elementos de P(S) , retorna um elemento de P(S) (fechamento)
as identidades nos dois monóides são diferentes
editar
Um grupo é dito comutativo se dado dois elementos do grupo, a operação p entre eles de ambos os lados são iguais, i é, seja
u
,
v
∈
(
G
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle u,v\in (G,\cdot ,1)\;}
u
⋅
v
=
v
⋅
u
{\displaystyle u\cdot v\;=\;v\cdot u}
Um submonóide do monóide M(S) é chamado de monóide de transformação (de S).
É a cardinalidade do monóide.
Seja U(M) o conjunto dos elementos inversíveis do monóide M. Assim se p(u, v) = 1, u,v estão em U(M), Como
1
⋅
1
=
1
{\displaystyle 1\cdot 1=1\;}
Exemplo: Se
M
=
(
Z
,
⋅
,
1
)
,
U
(
M
)
=
1
,
−
1
{\displaystyle M=(\mathbb {Z} ,\cdot ,1),\;U(M)={1,-1}}
M
=
(
N
,
⋅
,
1
)
,
U
(
M
)
=
1
{\displaystyle M=(\mathbb {N} ,\cdot ,1),\;U(M)={1}}
Seja M(S) um monóide de transformação de um conjunto não vazio. U(M(S)) é o grupo dos elementos inversíveis de M(S). Vejamos o elemento dado no começo dessa página.
M
(
S
)
=
{
1
S
=
(
1
2
1
2
)
,
α
=
(
1
2
2
1
)
,
β
=
(
1
2
1
1
)
,
γ
=
(
1
2
2
2
)
}
,
∘
1
S
α
β
γ
1
S
1
S
α
β
γ
α
α
1
S
γ
β
β
β
β
β
β
γ
γ
γ
γ
γ
{\displaystyle M(S)={\Bigg \{}1_{S}={\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}}{\Bigg \}},\;{\begin{array}{|c|cccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma \\\alpha &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\beta &\beta &\beta &\beta &\beta \\\gamma &\gamma &\gamma &\gamma &\gamma \\\hline \end{array}}}
vemos que
1
S
e
α
{\displaystyle 1_{S}\;e\;\alpha }
{
1
S
,
α
}
{\displaystyle \{1_{S},\alpha \}\;}
grupo de transformação (de S). Exemplo: Seja S= {-1,0,1,}, qual é a ordem de
M
(
S
)
{\displaystyle M(S)}
Sim S ?
M
(
S
)
=
{
χ
=
(
−
1
0
1
−
1
−
1
−
1
)
,
ρ
=
(
−
1
0
1
−
1
−
1
0
)
,
ϵ
=
(
−
1
0
1
−
1
−
1
1
)
}
{\displaystyle M(S)={\Bigg \{}\chi ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&-1\end{pmatrix}},\rho ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}},\epsilon ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&-1&1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}}
{
η
=
(
−
1
0
1
−
1
0
−
1
)
,
1
S
=
(
−
1
0
1
−
1
0
1
)
,
σ
=
(
−
1
0
1
−
1
1
−
1
)
,
.
.
.
ψ
=
(
−
1
0
1
1
1
1
)
}
{\displaystyle {\Bigg \{}\eta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&-1\end{pmatrix}},1_{S}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}},\sigma ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&-1\end{pmatrix}},...\psi ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}}
U
(
M
(
S
)
)
=
{
1
S
=
(
−
1
0
1
−
1
0
1
)
,
α
=
(
−
1
0
1
−
1
1
0
)
,
β
=
(
−
1
0
1
0
−
1
1
)
,
γ
=
(
−
1
0
1
0
1
−
1
)
}
{\displaystyle U(M(S))={\Bigg \{}1_{S}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&0&1\end{pmatrix}},\alpha ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}},\beta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&1\end{pmatrix}},\gamma ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\0&1&-1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}}
{
δ
=
(
−
1
0
1
1
−
1
0
)
,
θ
=
(
−
1
0
1
1
0
−
1
)
}
∘
1
S
α
β
γ
δ
θ
1
S
1
S
α
β
γ
δ
θ
α
α
1
S
δ
θ
β
γ
β
β
γ
1
S
α
θ
δ
δ
δ
θ
α
1
S
γ
β
γ
γ
β
θ
δ
1
S
α
θ
θ
δ
γ
β
α
1
S
{\displaystyle {\Bigg \{}\delta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&-1&0\end{pmatrix}},\theta ={\begin{pmatrix}-1&0&1\\1&0&-1\end{pmatrix}}{\Bigg \}}\;{\begin{array}{|c|cccccc|}\hline \circ &1_{S}&\alpha &\beta &\gamma &\delta &\theta \\\hline 1_{S}&1_{S}&\alpha &\beta &\gamma &\delta &\theta \\\alpha &\alpha &1_{S}&\delta &\theta &\beta &\gamma \\\beta &\beta &\gamma &1_{S}&\alpha &\theta &\delta \\\delta &\delta &\theta &\alpha &1_{S}&\gamma &\beta \\\gamma &\gamma &\beta &\theta &\delta &1_{S}&\alpha \\\theta &\theta &\delta &\gamma &\beta &\alpha &1_{S}\\\hline \end{array}}}
Se dado um monóide de todas as transformação de S(não-vazio), cuja ordem de S seja n, a ordem de M(S) é nn . E se tomarmos somente os elementos inversíveis de M(S), ou seja, Sim S = U(M(S)), então sua ordem é n! .
Def. Um subgrupo de um U(M(S)) (grupo simétrico de S) se chamará grupo de transformação . Um grupo G de transformação de um conjunto D é um grupo de transformação se, e somente se, consiste de aplicações bijetivas (i é,possui aplicações inversas) e G têm as propriedades de fechamento:
1
=
1
S
∈
G
{\displaystyle 1=1_{S}\in G}
α
∘
β
∈
G
,
s
e
α
,
β
∈
G
{\displaystyle \alpha \circ \beta \in G,se\;\alpha ,\beta \in G}
α
−
1
∈
G
,
s
e
α
∈
G
{\displaystyle \alpha ^{-1}\in G,se\;\alpha \in G}
α
∘
(
β
∘
γ
)
=
(
α
∘
β
)
∘
γ
,
s
e
α
,
β
,
γ
∈
G
{\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\circ \gamma ,se\;\alpha ,\beta ,\gamma \in G}
Acima consideramos que todas as transformações de U(M(S)) são bijetivas, agora vamos provar esse fato.
Teorema 1 : Uma transformação de U(M(S)) é injetiva se, e somente se têm inverso à direita. É sobrejetiva se, e somente se, têm inverso à esquerda.
i) Se
α
{\displaystyle \alpha \;}
β
{\displaystyle \beta \;}
β
∘
α
=
1
S
{\displaystyle \beta \circ \alpha =1_{S}\;}
t
,
t
′
∈
S
,
α
(
t
)
=
α
(
t
′
)
{\displaystyle t,t'\in S,\alpha (t)=\alpha (t')}
t
=
1
S
(
t
)
=
(
β
∘
α
)
(
t
)
=
β
∘
(
α
(
t
)
)
=
β
∘
(
α
(
t
′
)
)
=
(
β
∘
α
)
(
t
′
)
=
1
S
(
t
′
)
=
t
′
{\displaystyle t=1_{S}(t)=(\beta \circ \alpha )(t)=\beta \circ (\alpha (t))=\beta \circ (\alpha (t'))=(\beta \circ \alpha )(t')=1_{S}(t')=t'}
logo
t
,
t
′
∈
S
,
α
(
t
)
=
α
(
t
′
)
⟹
t
=
t
′
{\displaystyle t,t'\in S,\alpha (t)=\alpha (t')\implies t=t'}
ii)Se
α
{\displaystyle \alpha \;}
γ
{\displaystyle \gamma \;}
u
∈
S
,
α
∘
γ
=
1
S
{\displaystyle u\in S,\;\alpha \circ \gamma =1_{S}\;}
u
=
1
S
(
u
)
=
(
α
∘
γ
)
(
u
)
=
α
(
γ
(
u
)
)
=
γ
(
v
)
∈
S
,
v
∈
S
{\displaystyle u=1_{S}(u)=(\alpha \circ \gamma )(u)=\alpha (\gamma (u))=\gamma (v)\in S,v\in S}
{\displaystyle \;}
Corolário 1 : Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.
Seja
t
∈
S
,
s
=
1
S
(
s
)
=
β
(
α
(
s
)
)
=
α
(
γ
(
s
)
)
,
{\displaystyle t\in S,s=1_{S}(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),}
Como
β
(
α
(
γ
(
s
)
)
)
=
(
β
∘
(
α
∘
γ
)
)
(
s
)
=
(
β
∘
α
∘
γ
)
(
s
)
=
(
β
(
α
)
∘
γ
)
(
s
)
{\displaystyle \beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)}
Logo
β
(
s
)
=
β
(
α
(
γ
(
s
)
)
)
=
(
β
(
α
)
∘
γ
)
(
s
)
=
γ
(
s
)
{\displaystyle \beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)}
Corolário 2 : Uma transformação de U(M(S)) é bijetiva se, e somente se têm inverso à direita e à esquerda. E se houver ambos, ambos serão iguais.
Seja
t
∈
S
,
s
=
1
S
(
s
)
=
β
(
α
(
s
)
)
=
α
(
γ
(
s
)
)
,
{\displaystyle t\in S,s=1_{S}(s)=\beta (\alpha (s))=\alpha (\gamma (s)),}
Como
β
(
α
(
γ
(
s
)
)
)
=
(
β
∘
(
α
∘
γ
)
)
(
s
)
=
(
β
∘
α
∘
γ
)
(
s
)
=
(
β
(
α
)
∘
γ
)
(
s
)
{\displaystyle \beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta \circ (\alpha \circ \gamma ))(s)=(\beta \circ \alpha \circ \gamma )(s)=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)}
Logo
β
(
s
)
=
β
(
α
(
γ
(
s
)
)
)
=
(
β
(
α
)
∘
γ
)
(
s
)
=
γ
(
s
)
{\displaystyle \beta (s)=\beta (\alpha (\gamma (s)))=(\beta (\alpha )\circ \gamma )(s)=\gamma (s)}
Como
(
α
∘
β
∘
α
)
(
s
)
=
α
(
s
)
{\displaystyle (\alpha \circ \beta \circ \alpha )(s)=\alpha (s)}
Teorema 2 : O conjunto de todas as bijeções de um espaço qualquer S sobre S é um grupo de transformações
Teorema 3 : Seja
t
,
u
∈
G
(
S
,
⋅
,
1
)
,
S
e
t
⋅
a
=
u
;
b
⋅
t
=
u
{\displaystyle t,u\in G(S,\cdot ,1),Se\;t\cdot a=u;b\cdot t=u}
a
=
t
−
1
⋅
u
,
b
=
u
⋅
t
−
1
{\displaystyle a=t^{-1}\cdot u,b=u\cdot t^{-1}\;}
Seja T um subconjunto de um grupo S. Se T é um subgrupo de S, então T é fechado pro operador de S e todo elemento tem inversa em T
{\displaystyle \;}
