Álgebra abstrata/Números inteiros

Inteiros

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Se nós estendermos   acrescentando   podemos chegar a noção de uma

  • identidade para a adição, dada por:
    •  
    Afirmando que existe um número 0, que somado a um número natural dá o próprio número.

Aqui temos uma escolha a fazer, onde em nossa ordenação se encaixa o  ? A escolha usual é 0 < 1 e é o que vamos fazer aqui, mas vale a pena salientar a curiosa natureza desta escolha. Tendo definido zero, a possibilidade de uma inversão de   surge, que denota o conjunto de inversas como   satisfazendo o seguinte axioma.

  • Inverso Aditivo
     .

Combinando os três obtemos os inteiros  . Os inteiros nos permitem acompanhar as dívidas, bem como contar as coisas, em outras palavras, para realizar contagem. Se você assumir que os axiomas estão bem ordenados assumindo a forma

  •  .

E que a identidade, fechamento e distributividade da multiplicação para segurar os inteiros   então a operação multiplicação também pode ser expandida para incluir todos os inteiros  

Eles podem ser construídos facilmente a partir dos números naturais. Eles podem ser cada classe de equivalência de pares ordenados (a, b) onde a e b são dois números naturais. Em seguida, pode-se dizer que (a, b) e (c, d) são iguais quando a + d = b + c, a soma (a, b) + (c, d) = (a + c, d + b). E o produto (a, b)(c, d) = (ac + bd, ad + bc), onde as definições da soma e produto de números naturais são utilizados. Existe uma identidade aditiva(elemento) na forma (a, a) porque (a, a) + (b, c) = (a + b, a + c), o que é equivalente a (b, c) porque a + b + c = a + b + c. Todos estes elementos da forma (a, a) são obviamente equivalentes. Todos os elementos (a, b) tem um inverso aditivo (b, a) porque (a, b) + (b, a) = (a + b, a + b). A melhor maneira de pensar destes pares ordenados (a, b) é de pensar como eles a-b. Assim, (a, a) podem ser consideradas como "0".

Valor absoluto

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Normalmente, nós pensamos nos inteiros como uma extensão para positivos e negativos infinito. Uma vez que este conceito geométrico é tão fundamental para a nossa compreensão, nós gostaríamos de falar sobre propriedades geométricas. Em particular, nós precisamos saber o que se entende pela distância entre dois inteiros. Para este fim, definimos o símbolo | x | como a função dá distância de zero por mapeamento   para seus respectivos inversos em   e mapeamento zero para si.

 

Podemos definir agora a distância entre dois inteiros, a que chamamos pontos geométrica em qualquer contexto, tomando o valor absoluto da sua diferença:  . Esta função distância satisfaz algumas propriedades geométricas:

  1. Positividade
      e é igual a 0 se  .
  2. Simetria
     
  3. Desigualdade triangular
     
    Preste bastante atenção a desigualdade triangular, uma vez que será utilizado frequentemente em capítulos posteriores.

Em geral, qualquer conjunto com uma função distância satisfazendo essas propriedades é chamado um espaço métrico. É fácil demonstrar que os inteiros formam um espaço métrico sob a métrica d:

  1. Positividade
    • Se  , então  .
    • Se  , então  .
  2. Simetria
    • Se  , então  , também  .
    • Se  , então  , também  .
  3. Desigualdade Triângular
    • Se  , então  .
    • Se  , então  .
    • Isto dá-nos   e  .
    • Adicionando, vemos que  .
    • Se  , então  .
    • Se  , então  .
    • Assim, em todos os casos  .
    • Trocando   por   e   por   teremos  .

Outra propriedade fundamental do valor absoluto é que é multiplicativo:

  •  

A prova é deixada como um exercício. Tal como referido, é simplesmente uma questão de verificar todos os casos.

Divisor

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Dizemos que o inteiro b é divisor ou fator do inteiro a se existe um c inteiro tal que a = bc. Também a é dito um múltiplo de b e denotamos a relação b|a (lê-se b divide a).

Um número inteiro p é chamado primo se os seus divisores são {-p, -1, 1, p}

Teorema fundamental da Aritmética

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A fatoração de um número se dá pelo produto de primos que resulta naquele número. Seja a = bcd onde b,c,d são primos. Se t é um primo que divide a, logo ele deve dividir pelo menos um dos seus fatores. O teorema fundamental da Aritmética diz que todo inteiro pode ser fatorado de modo único. Seja m um inteiro qualquer, sua fatoração é dada por:

  •   são todos primos,   são inteiros positivos

Máximo divisor comum

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O máximo divisor comum de a e b é um inteiro d, tal que é o maior divisor que divide a e b. Assim a e b têm vários divisores em comum, e queremos o maior deles

  • Os divisores de a:  
  • Os divisores de b:  

Os divisores em comum  . Assim d é um divisor de a e de b.

  • No último conjunto os   são submúltiplos de d, logo qualquer divisor de a e b é divisor de d;

Definimos d = mdc(a,b); Podemos dizer que d/a, d/b, d/ab, d/ap e d/bp para qualquer p inteiro

Quando mdc(a,b)=1, dizemos que a e b são relativamente primos

Seja p,q,r,s todos inteiros, mdc(p,q)=1 e p/qr, logo p/r

  • Como nenhum divisor de p divide q e p/qr, portanto p deve dividr r

Algoritmo da divisão em  

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Se a e b são inteiros e b diferente de zero então existem inteiros q e r,   tal que  .

  • Tome  . Sabemos que  .
  • Podemos dizer que se  , então existe um   tal que