Álgebra abstrata/Números inteiros

Inteiros $\mathbb {Z}$

Se nós estendermos $\mathbb {N}$ acrescentando $0$ podemos chegar a noção de uma

• identidade para a adição, dada por:
  • $\exists 0:\forall n\in \mathbb {N} ,\ n+0=n$

  Afirmando que existe um número 0, que somado a um número natural dá o próprio número.

Aqui temos uma escolha a fazer, onde em nossa ordenação se encaixa o $0$? A escolha usual é 0 < 1 e é o que vamos fazer aqui, mas vale a pena salientar a curiosa natureza desta escolha. Tendo definido zero, a possibilidade de uma inversão de $\mathbb {N}$ surge, que denota o conjunto de inversas como $\mathbb {-N}$ satisfazendo o seguinte axioma.

• Inverso Aditivo

  $\forall n\in \mathbb {N} ,\ \exists (-n)\in \mathbb {-N} :n+(-n)=0$.

Combinando os três obtemos os inteiros $\mathbb {Z} =\{\mathbb {N} \}\cup \{0\}\cup \{\mathbb {-N} \}=\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$. Os inteiros nos permitem acompanhar as dívidas, bem como contar as coisas, em outras palavras, para realizar contagem. Se você assumir que os axiomas estão bem ordenados assumindo a forma

• $(\forall z\in \mathbb {Z} )(\forall n\in \mathbb {N} ),\ z<z+n$.

E que a identidade, fechamento e distributividade da multiplicação para segurar os inteiros $\mathbb {Z}$ então a operação multiplicação também pode ser expandida para incluir todos os inteiros $\mathbb {Z}$

Eles podem ser construídos facilmente a partir dos números naturais. Eles podem ser cada classe de equivalência de pares ordenados (a, b) onde a e b são dois números naturais. Em seguida, pode-se dizer que (a, b) e (c, d) são iguais quando a + d = b + c, a soma (a, b) + (c, d) = (a + c, d + b). E o produto (a, b)(c, d) = (ac + bd, ad + bc), onde as definições da soma e produto de números naturais são utilizados. Existe uma identidade aditiva(elemento) na forma (a, a) porque (a, a) + (b, c) = (a + b, a + c), o que é equivalente a (b, c) porque a + b + c = a + b + c. Todos estes elementos da forma (a, a) são obviamente equivalentes. Todos os elementos (a, b) tem um inverso aditivo (b, a) porque (a, b) + (b, a) = (a + b, a + b). A melhor maneira de pensar destes pares ordenados (a, b) é de pensar como eles a-b. Assim, (a, a) podem ser consideradas como "0".

Valor absoluto

Normalmente, nós pensamos nos inteiros como uma extensão para positivos e negativos infinito. Uma vez que este conceito geométrico é tão fundamental para a nossa compreensão, nós gostaríamos de falar sobre propriedades geométricas. Em particular, nós precisamos saber o que se entende pela distância entre dois inteiros. Para este fim, definimos o símbolo | x | como a função dá distância de zero por mapeamento $\mathbb {-N}$ para seus respectivos inversos em $\mathbb {N}$ e mapeamento zero para si.

$|x|=\left\{{\begin{matrix}x&{\mbox{se }}x\geq 0\\-x&{\mbox{se }}x<0\\\end{matrix}}\right.$

Podemos definir agora a distância entre dois inteiros, a que chamamos pontos geométrica em qualquer contexto, tomando o valor absoluto da sua diferença: $d(x,y)=|x-y|\$. Esta função distância satisfaz algumas propriedades geométricas:

1. Positividade

   $d(x,y)\geq 0$ e é igual a 0 se $x=y$.

2. Simetria

   $d(x,y)=d(y,x)\$

3. Desigualdade triangular

   $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

   Preste bastante atenção a desigualdade triangular, uma vez que será utilizado frequentemente em capítulos posteriores.

Em geral, qualquer conjunto com uma função distância satisfazendo essas propriedades é chamado um espaço métrico. É fácil demonstrar que os inteiros formam um espaço métrico sob a métrica d:

1. Positividade
   • Se $x\geq 0$, então $|x|=x\geq 0$.
   • Se $x<0\$, então $|x|=-x\ >0$.
2. Simetria
   • Se $x-y\geq 0$, então $y-x\leq 0$, também $|x-y|=x-y=-(y-x)=|y-x|\$.
   • Se $x-y\ <0$, então $y-x>0\$, também $|x-y|=-(x-y)=y-x=|y-x|\$.
3. Desigualdade Triângular
   • Se $x\geq 0$, então $|x|=x\geq 0>-|x|$.
   • Se $x<0\$, então $|x|>0>x=-|x|\$.
   • Isto dá-nos $-|x|\leq x\leq |x|$ e $-|y|\leq y\leq |y|$.
   • Adicionando, vemos que $-(|x|+|y|)\leq x+y\leq |x|+|y|$.
   • Se $x+y\geq 0$, então $|x+y|=x+y\leq |x|+|y|$.
   • Se $x+y<0\$, então $|x+y|=-(x+y)\leq |x|+|y|$.
   • Assim, em todos os casos $|x+y|\leq |x|+|y|$.
   • Trocando $x\$ por $x-y\$ e $y\$ por $y-z\$ teremos $|x-y|+|y-z|\geq |x-z|$.

Outra propriedade fundamental do valor absoluto é que é multiplicativo:

• $|x||y|=|xy|\$

A prova é deixada como um exercício. Tal como referido, é simplesmente uma questão de verificar todos os casos.

Divisor

Dizemos que o inteiro b é divisor ou fator do inteiro a se existe um c inteiro tal que a = bc. Também a é dito um múltiplo de b e denotamos a relação b|a (lê-se b divide a).

Primo

Um número inteiro p é chamado primo se os seus divisores são {-p, -1, 1, p}

Teorema fundamental da Aritmética

A fatoração de um número se dá pelo produto de primos que resulta naquele número. Seja a = bcd onde b,c,d são primos. Se t é um primo que divide a, logo ele deve dividir pelo menos um dos seus fatores. O teorema fundamental da Aritmética diz que todo inteiro pode ser fatorado de modo único. Seja m um inteiro qualquer, sua fatoração é dada por:

• $m=q_{0}^{s_{0}}q_{1}^{s_{1}}q_{2}^{s_{2}}...q_{n}^{s_{n}},0\leq s_{i},q_{i}\leq q_{i+1},q_{i}$ são todos primos, $s_{i}\;$ são inteiros positivos

Máximo divisor comum

O máximo divisor comum de a e b é um inteiro d, tal que é o maior divisor que divide a e b. Assim a e b têm vários divisores em comum, e queremos o maior deles

• Os divisores de a: $\{1,t_{0},d_{0},t_{1},...,t_{n},...,d_{n},...,d,...,a\}\;$
• Os divisores de b: $\{1,u_{0},d_{0},u_{1},...,u_{n},...,d_{n},...,d,...,b\}\;$

Os divisores em comum $\{1,d_{0},d_{1},...,d_{n},...,d\}\;$. Assim d é um divisor de a e de b.

• No último conjunto os $d_{i}'s\;$ são submúltiplos de d, logo qualquer divisor de a e b é divisor de d;

Definimos d = mdc(a,b); Podemos dizer que d/a, d/b, d/ab, d/ap e d/bp para qualquer p inteiro

Quando mdc(a,b)=1, dizemos que a e b são relativamente primos

Seja p,q,r,s todos inteiros, mdc(p,q)=1 e p/qr, logo p/r

• Como nenhum divisor de p divide q e p/qr, portanto p deve dividr r

Algoritmo da divisão em $\mathbb {Z}$

Se a e b são inteiros e b diferente de zero então existem inteiros q e r, $0\leq r<|b|\;$ tal que $a=bq+r\;$.

• Tome $c=m_{0}a+m_{1}b\;$. Sabemos que $d/m_{0}a\;e\;d/m_{1}b\Rightarrow d/m_{0}a+m_{1}b\Rightarrow d/c$.
• Podemos dizer que se $d/m_{0}a+m_{1}b\;$, então existe um $m_{2}\;$ tal que

$d=(m_{0}a+m_{1}b)m_{2}=(m_{0}m_{2})a+(m_{1}m_{2})b\;$