Seja G um grupo de ordem finita, e H um subgrupo de G. Então a ordem de H divide a ordem de G.
Observação
O número de elementos de um conjunto A é representado por |A|
Demonstração
Considere-se, para o grupo G, a seguinte relação:
Esta é uma relação de equivalência; basta mostrar:
Reflexiva:
Simétrica:
Transitiva:
Seja, então G:H o conjunto das classes de equivalência deste relação de equivalência, e escolha-se, para cada classe, um elemento de G, formando o conjunto G1. Este passo, no caso do conjunto G ser infinito, requer o axioma da escolha.
Note-se que, por construção, se e , então
Considere-se agora a função:
Esta função é bijetiva:
Injetiva:
Sobrejetiva: Seja g um elemento de G, então escolha-se a classe de equivalência [g]. Existe um elemento em G1 nesta classe, x, então temos
Ou seja, |G1 x H| = |G|, ou seja, |G:H| x |H| = |G|.
Note-se que esta relação vale, inclusive, no caso de ordem infinita. No caso particular da ordem de G ser finita, temos o Teorema de Lagrange.