Isomorfismo

editar

Definição: Sejam   dois monóides(ou grupos). Eles são isomorfos se, e somente se, existe uma aplicação bijetiva   tal que:

 

Teorema 1: A relação isomorfo é uma relação de equivalência. Seja  

  • Seja   uma aplicação bijetiva de R sobre R, logo   é um isomorfismo (reflexiva)
  • Seja   uma aplicação bijetiva de R sobre S, logo existe   uma aplicação bijetiva de S sobre R, e portanto é um isomorfismo (simétrica)
  • Seja   uma aplicação bijetiva de R sobre S e   uma aplicação bijetiva de S sobre T, logo existe   uma aplicação bijetiva de R sobre T, e portanto é um isomorfismo (transitiva)

 

Teorema de Cayley

editar

Teorema de Cayley para monóides e grupos:

  • Todo monóide é isomorfo a um monóide de transformação
  • Todo grupo é isomorfo a um grupo de transformação

Corolário: Todo grupo finito de ordem n é isomorfo a um subgrupo do grupo simétrico