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Definição Uma função
T
:
V
→
W
,
{\displaystyle T:V\to W,}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
K
,
{\displaystyle K,}
transformação linear se, para todos
u
,
v
∈
V
{\displaystyle u,v\in V}
λ
∈
K
,
{\displaystyle \lambda \in K,}
T
(
u
+
v
)
=
T
(
u
)
+
T
(
v
)
{\displaystyle \;T(u+v)=T(u)+T(v)}
T
(
λ
u
)
=
λ
T
(
u
)
{\displaystyle T(\lambda u)=\lambda \,T(u)}
Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a
d
i
m
V
<
∞
{\displaystyle dim\;V<\infty }
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
n
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}\;}
w
1
,
w
2
,
.
.
.
,
w
n
{\displaystyle w_{1},w_{2},...,w_{n}\;}
T
:
V
↦
W
,
T
v
i
=
w
i
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle T:V\mapsto W,Tv_{i}=w_{i},i=1,...,n}
Prova
T existe e está bem definida
Dado
v
∈
V
,
∃
x
=
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
,
x
i
∈
K
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle v\in V,\exists x=(x_{1},...,x_{n}),x_{i}\in K,i=1,...,n}
v
=
∑
i
=
1
n
x
i
v
i
{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}}
T
v
=
∑
i
=
1
n
x
i
w
i
{\displaystyle Tv=\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}}
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
n
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}\;}
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},...,x_{n})}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
T
v
∈
W
{\displaystyle Tv\in W}
T
v
=
∑
i
=
1
n
x
i
T
v
i
=
∑
i
=
1
n
x
i
w
i
⇒
T
v
i
=
w
i
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle Tv=\sum _{i=1}^{n}x_{i}Tv_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}\Rightarrow Tv_{i}=w_{i},i=1,...,n}
T é linear
Tome
w
∈
V
,
w
=
∑
i
=
1
n
y
i
v
i
,
c
∈
K
{\displaystyle w\in V,w=\sum _{i=1}^{n}y_{i}v_{i},c\in K}
c
v
+
w
=
c
∑
i
=
1
n
x
i
v
i
+
∑
i
=
1
n
y
i
v
i
=
∑
i
=
1
n
(
c
x
i
+
y
i
)
v
i
{\displaystyle cv+w=c\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}(cx_{i}+y_{i})v_{i}}
T
(
c
v
+
w
)
=
∑
i
=
1
n
(
c
x
i
+
y
i
)
w
i
{\displaystyle T(cv+w)=\sum _{i=1}^{n}(cx_{i}+y_{i})w_{i}}
c
T
v
+
T
w
=
c
∑
i
=
1
n
x
i
w
i
+
∑
i
=
1
n
y
i
w
i
=
∑
i
=
1
n
(
c
x
i
+
y
i
)
w
i
{\displaystyle cTv+Tw=c\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}w_{i}=\sum _{i=1}^{n}(cx_{i}+y_{i})w_{i}}
T
(
c
v
+
w
)
=
c
T
v
+
T
w
{\displaystyle T(cv+w)=cTv+Tw\;}
T é única
Suponha que exista
U
:
V
↦
W
,
U
v
i
=
w
i
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle U:V\mapsto W,Uv_{i}=w_{i},i=1,...,n\;}
v
=
∑
i
=
1
n
x
i
v
i
{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}}
U
v
=
∑
i
=
1
n
x
i
U
v
i
=
∑
i
=
1
n
x
i
w
i
=
T
v
,
∀
v
∈
V
{\displaystyle Uv=\sum _{i=1}^{n}x_{i}Uv_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}=Tv,\forall v\in V}
A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere
T
:
R
2
→
R
2
{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
T
(
x
,
y
)
=
(
2
x
+
3
y
,
4
x
−
3
y
)
{\displaystyle T(x,y)=(2x+3y,4x-3y)}
T
{\displaystyle T}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
T
(
x
,
y
)
=
(
2
x
+
3
y
,
4
x
−
3
y
)
=
x
(
2
,
4
)
+
y
(
3
,
−
3
)
{\displaystyle T(x,y)=(2x+3y,4x-3y)=x(2,4)+y(3,-3)}
Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores
(
2
,
4
)
{\displaystyle (2,4)}
(
3
,
−
3
)
{\displaystyle (3,-3)}
T
{\displaystyle T}
[ 1]
T
{\displaystyle T}
Definição Seja
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W\,}
V e W . O núcleo da transformação linear, Ker(T) , é a imagem inversa do vetor nulo em W:
K
e
r
(
T
)
=
{
v
∈
V
|
T
(
v
)
=
0
}
{\displaystyle Ker(T)=\{v\in V|T(v)=0\}\,}
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
A demonstração é simples:
Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T) , já que T(0V ) = 0W Se
v
,
w
∈
K
e
r
(
T
)
,
{\displaystyle v,w\in Ker(T)\,,}
T(v) = T(w) = 0 , logo, pela linearidade de T , T(v + w) = 0 e
v
+
w
∈
K
e
r
(
T
)
{\displaystyle v+w\in Ker(T)\,}
Se
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in K\,}
v
∈
K
e
r
(
T
)
,
{\displaystyle v\in Ker(T)\,,}
T
(
v
)
=
0
{\displaystyle T(v)=0\,}
T
(
λ
v
)
=
λ
T
(
v
)
=
λ
0
=
0
,
{\displaystyle T(\lambda v)=\lambda T(v)=\lambda 0=0\,,}
λ
v
∈
K
e
r
(
T
)
{\displaystyle \lambda v\in Ker(T)\,}
Se
d
i
m
V
<
∞
{\displaystyle dimV<\infty }
T
:
V
↦
W
{\displaystyle T:V\mapsto W}
O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V). e
A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V). Teorema do posto e da nulidade
editar
Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e
T
:
V
↦
W
{\displaystyle T:V\mapsto W}
d
i
m
V
<
∞
{\displaystyle dimV<\infty }
Prova
Definindo a base do núcleo e a base do espaço: Seja
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
k
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\;}
v
j
,
{\displaystyle v_{j},\;}
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
k
,
v
k
+
1
,
.
.
.
v
n
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k},v_{k+1},...v_{n}\}\;}
Definindo a base da imagem: Como
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
n
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}\;}
T
v
1
,
T
v
2
,
.
.
.
,
T
v
n
{\displaystyle Tv_{1},Tv_{2},...,Tv_{n}\;}
T
v
1
=
T
v
2
=
.
.
.
=
T
v
k
=
0
{\displaystyle Tv_{1}=Tv_{2}=...=Tv_{k}=0\;}
T
v
k
+
1
,
.
.
.
,
T
v
n
{\displaystyle Tv_{k+1},...,Tv_{n}\;}
Provando que os vetores são independentes: Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem
∃
c
i
∈
K
,
{\displaystyle \exists c_{i}\in K,}
∑
i
=
1
n
c
i
v
i
=
0
⇔
c
i
=
0
,
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}=0\Leftrightarrow c_{i}=0,i=1,...,n}
Tomemos
∑
i
=
k
+
1
n
c
i
(
T
v
i
)
=
0
⇔
T
(
∑
i
=
k
+
1
n
c
i
v
i
)
=
0
{\displaystyle \sum _{i=k+1}^{n}c_{i}(Tv_{i})=0\Leftrightarrow T(\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i})=0}
w
=
∑
i
=
k
+
1
n
c
i
v
i
∈
K
e
r
(
T
)
{\displaystyle w=\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i}\in Ker(T)}
w
∈
K
e
r
(
T
)
,
w
=
∑
i
=
1
k
b
i
v
i
,
b
i
∈
K
{\displaystyle w\in Ker(T),w=\sum _{i=1}^{k}b_{i}v_{i},b_{i}\in K}
Portanto
w
=
∑
i
=
k
+
1
n
c
i
v
i
=
∑
i
=
1
k
b
i
v
i
⇔
∑
i
=
k
+
1
n
c
i
v
i
−
∑
i
=
1
k
b
i
v
i
=
0
{\displaystyle w=\sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}v_{i}\Leftrightarrow \sum _{i=k+1}^{n}c_{i}v_{i}-\sum _{i=1}^{k}b_{i}v_{i}=0}
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
k
{\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{k}\;}
b
i
=
c
i
=
0
,
∀
i
=
1
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle b_{i}=c_{i}=0,\forall i=1,...,n}
Definindo posto e nulidade: O Posto(T) = dim Im(T). Como
T
v
k
+
1
,
.
.
.
,
T
v
n
{\displaystyle Tv_{k+1},...,Tv_{n}\;}
A nulidade (T) = dim Ker(T). Como
{
v
1
,
v
2
,
.
.
.
,
v
k
}
{\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}\;}
Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).
Teorema (existência e unicidade) Se V é um espaço vetorial de dimensão n e
α
=
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle \alpha =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}
V , então existe um único funcional f , tal que
f
(
v
i
)
=
λ
i
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle f(v_{i})=\lambda _{i},i=1,2,\ldots ,n}
λ
i
∈
K
{\displaystyle \lambda _{i}\in K}
Teorema (base dual) Se V é um espaço vetorial,
d
i
m
V
=
n
{\displaystyle \mathrm {dim} V=n}
β
=
{
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
}
{\displaystyle \beta =\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}
β
∗
=
{
f
1
,
f
2
,
…
,
f
n
}
{\displaystyle \beta ^{*}=\{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}}
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
f
i
(
v
j
)
=
δ
i
j
{\displaystyle f_{i}(v_{j})=\delta _{ij}}
Definição
β
∗
{\displaystyle \beta ^{*}}
β
{\displaystyle \beta }
V
∗
{\displaystyle V^{*}}
Corolários :
f
=
∑
f
(
v
i
)
f
i
{\displaystyle f=\sum f(v_{i})f_{i}}
v
=
∑
f
i
(
v
)
v
i
{\displaystyle v=\sum f_{i}(v)v_{i}}
Teorema (representação dos funcionais lineares) Sejam V um espaço vetorial sobre K ,
d
i
m
V
=
n
,
{\displaystyle \mathrm {dim} V=n,}
f
:
V
→
K
{\displaystyle f:V\rightarrow K}
v
o
∈
V
,
{\displaystyle v_{o}\in V,}
f
(
v
)
=
⟨
v
,
v
o
⟩
,
{\displaystyle f(v)=\langle v,v_{o}\rangle ,}
∀
v
∈
V
.
{\displaystyle \forall v\in V.}
Demonstra-se ainda que
v
o
=
∑
f
(
e
i
)
¯
e
i
{\displaystyle v_{o}=\sum {\overline {f(e_{i})}}e_{i}}
Dizemos que T uma transformação linear,
T
:
V
↦
V
{\displaystyle T:V\mapsto V}
Adjunto de um operador linear
editar
Definição Seja V um espaço vetorial.
O operador adjunto,
T
∗
:
V
→
V
,
{\displaystyle T^{*}:V\rightarrow V,}
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\rightarrow V}
⟨
T
(
u
)
,
v
⟩
=
⟨
u
,
T
∗
(
v
)
⟩
,
∀
u
,
v
∈
V
{\displaystyle \langle T(u),v\rangle =\langle u,T^{*}(v)\rangle ,\quad \forall u,v\in V}
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
(
S
+
T
)
∗
=
S
∗
+
T
∗
{\displaystyle (S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}}
(
λ
T
)
∗
=
λ
¯
T
∗
{\displaystyle (\lambda T)^{*}={\bar {\lambda }}T^{*}}
(
S
∘
T
)
∗
=
T
∗
∘
S
∗
{\displaystyle (S\circ T)^{*}=T^{*}\circ S^{*}}
Proposição Seja V um espaço vetorial sobre K ,
d
i
m
V
=
n
,
{\displaystyle \mathrm {dim} V=n,}
α
=
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}
V . Então
[
T
]
α
=
(
a
i
j
)
,
{\displaystyle [T]_{\alpha }=(a_{ij}),}
a
i
j
=
⟨
T
(
e
j
)
,
e
i
⟩
{\displaystyle a_{ij}=\langle T(e_{j}),e_{i}\rangle }
Corolário Seja V um espaço vetorial sobre K ,
d
i
m
V
=
n
,
{\displaystyle \mathrm {dim} V=n,}
α
=
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \alpha =\{e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\}}
V , temos que
a matriz
[
T
∗
]
α
=
(
[
T
]
α
¯
)
t
.
{\displaystyle [T^{*}]_{\alpha }=({\overline {[T]_{\alpha }}})^{t}.}
Auto-adjunto (
T
∗
=
T
{\displaystyle T^{*}=T}
Unitário (
T
∗
=
T
−
1
{\displaystyle T^{*}=T^{-1}}
Normal (
T
∗
T
=
T
T
∗
{\displaystyle T^{*}T=TT^{*}}
Definição
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\rightarrow V}
T
∗
=
T
.
{\displaystyle T^{*}=T.}
Uma matriz A é auto-adjunta se
A
¯
t
=
A
.
{\displaystyle {\overline {A}}^{t}=A.}
Se
K
=
R
,
{\displaystyle K=R,}
[
T
]
α
{\displaystyle [T]_{\alpha }}
Se
K
=
C
,
{\displaystyle K=C,}
[
T
]
α
{\displaystyle [T]_{\alpha }}
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
Se
⟨
T
(
u
)
,
v
⟩
=
0
,
∀
u
,
v
∈
V
,
{\displaystyle \langle T(u),v\rangle =0,\forall u,v\in V,}
T
=
0.
{\displaystyle T=0.}
Se V é complexo e
⟨
T
(
u
)
,
u
⟩
=
0
,
∀
u
∈
V
,
{\displaystyle \langle T(u),u\rangle =0,\forall u\in V,}
T
=
0.
{\displaystyle T=0.}
Prove :
Se
T
∗
=
T
{\displaystyle T^{*}=T}
⟨
T
(
u
)
,
u
⟩
=
0
,
∀
u
∈
V
,
{\displaystyle \langle T(u),u\rangle =0,\forall u\in V,}
T
=
0.
{\displaystyle T=0.}
Seja
T
:
V
→
V
,
{\displaystyle T:V\rightarrow V,}
V complexo. Então
T
∗
=
T
⟺
⟨
T
(
v
)
,
v
⟩
∈
R
.
{\displaystyle T^{*}=T\iff \langle T(v),v\rangle \in R.}
Definição
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\rightarrow V}
T
∗
=
T
−
1
.
{\displaystyle T^{*}=T^{-1}.}
Uma matriz A é unitária se
A
¯
t
=
A
−
1
{\displaystyle {\overline {A}}^{t}=A^{-1}}
Prove :
T é unitário
⟺
⟨
T
(
u
)
,
T
(
v
)
⟩
=
⟨
u
,
v
⟩
{\displaystyle \iff \langle T(u),T(v)\rangle =\langle u,v\rangle }
T preserva o produto interno)T é unitário
⟺
|
T
(
u
)
|
=
|
u
|
{\displaystyle \iff |T(u)|=|u|}
T preserva a norma)T é unitário
⟺
T
−
1
{\displaystyle \iff T^{-1}}
Definição
T
:
V
→
V
{\displaystyle T:V\rightarrow V}
T
T
∗
=
T
∗
T
.
{\displaystyle TT^{*}=T^{*}T.}
Uma matriz A é normal se
A
A
∗
=
A
∗
A
{\displaystyle AA^{*}=A^{*}A}
Prove :
Todo operador auto-adjunto é normal
Todo operador unitário é normal É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Definição W , subespaço vetorial de V , é dito invariante sob o operador
T
:
V
→
V
,
{\displaystyle T:V\rightarrow V,}
T
(
W
)
⊂
W
.
{\displaystyle T(W)\subset W.}
Dizemos também que W é T -invariante.
Prove :
Se W é T -invariante, então
W
⊥
{\displaystyle W^{\perp }}
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
Se W é T -invariante e T é auto-adjunto, então W é
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
Se W é T -invariante e T é inversível, então
T
(
W
)
=
W
.
{\displaystyle T(W)=W.}
Se W é T -invariante e T é inversível, então W é
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}}
T
−
1
(
W
)
=
W
.
{\displaystyle T^{-1}(W)=W.}
Se W é T -invariante e T é unitário, então W é
T
−
1
{\displaystyle T^{-1}}
T
∗
{\displaystyle T^{*}}
Se W é T -invariante e T é unitário, então
W
⊥
{\displaystyle W^{\perp }}
T -invariante. 
![{\displaystyle [T]_{\alpha }=(a_{ij}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e06a3098f5c624774677e5a9b2e91f2d558fbd8)
![{\displaystyle [T^{*}]_{\alpha }=({\overline {[T]_{\alpha }}})^{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c47f16c51040c5b062b1631d08aaed561c953467)
![{\displaystyle [T]_{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e60046e037e59417b0dd94d4ddea306cfcfb1c)
