Álgebra linear/Transformações lineares

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Transformações LinearesEditar

DefiniçãoEditar

Definição

Uma função   onde   e   são espaços vetoriais sobre um corpo   é dita uma transformação linear se, para todos   e para todo   tem-se

 
 

Existência de uma transformaçãoEditar

Sejam V e W espaços vetoriais sobre um corpo K, onde a  . Seja   uma base de V e   vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear  .


Prova
  • T existe e está bem definida
    Dado   tal que  . Podemos definir T em v como  . Sendo   uma base, tem-se a unicidade de   e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor   ao vetor  . Vemos através da definição que  .
  • T é linear
    Tome  . Assim  . Pela definição  . De outro modo  . Portanto  .
  • T é única
    Suponha que exista  , então se  , então  .

Imagem de uma transformação linearEditar

A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere  , definida por  . O valor de   em um ponto   pode ser reescrito da seguinte forma:

 .

Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores   e  , isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de  . Como poderá ser verificado pelo leitor[1], estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de  .

NúcleoEditar

Definição

Seja   uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker(T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:

 

Teorema do núcleoEditar

O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio

A demonstração é simples:

  • Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
  • Se   então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e  
  • Se   e   temos   logo   ou seja,  

Posto e nulidadeEditar

Se  , e  

  • O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).

e

  • A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).

Teorema do posto e da nulidadeEditar

Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e  . Se  , então posto(T) + Nulidade(T) = dim V

Prova

  • Definindo a base do núcleo e a base do espaço:

Seja   uma base do Ker(T). Existem vetores   com j=k+1,...,n onde   é uma base de V.

  • Definindo a base da imagem:

Como   é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos  , mas  , pela definição de núcleo. Assim os vetores   geram a imagem de T(V).

  • Provando que os vetores são independentes:

Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem   tal que  .

Tomemos  . Logo  . Como  .

Portanto  . Como   são L.I., então  .

  • Definindo posto e nulidade:

O Posto(T) = dim Im(T). Como   geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.

A nulidade (T) = dim Ker(T). Como   é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k

Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).

Funcionais linearesEditar

DefiniçãoEditar

Definição

Uma função   onde V é um espaço vetorial sobre K, é chamada de funcional linear se,   e  

 
 


Teorema  (existência e unicidade)

Se V é um espaço vetorial de dimensão n e   é uma base de V, então existe um único funcional f, tal que   e  


Teorema  (base dual)

Se V é um espaço vetorial,   e   é uma base de V, então existe uma única base   de   tal que  

Definição

  é chamada de base dual de  
  é chamado de espaço dual de V

Corolários:

 
 

TeoremasEditar

Teorema  (representação dos funcionais lineares)

Sejam V um espaço vetorial sobre K,   com produto interno, e   um funcional linear. Então existe um único vetor   tal que    

Demonstra-se ainda que  

Operador linearEditar

Dizemos que T uma transformação linear,   é chamada operador linear de T sobre V.

Adjunto de um operador linearEditar

DefiniçãoEditar

Definição

Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto,   de um determinado operador linear   é definido pela igualdade:

 

Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.

A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):

 
 
 
Proposição

Seja V um espaço vetorial sobre K,   com produto interno. Seja   uma base ortonormal de V. Então   onde  


Corolário

Seja V um espaço vetorial sobre K,   com produto interno. Então, para qualquer base   ortonormal de V, temos que a matriz  

Operadores especiaisEditar

  • Auto-adjunto ( )
  • Unitário ( )
  • Normal ( )

Operador auto-adjuntoEditar

Definição

  é chamado de auto-adjunto se  

Uma matriz A é auto-adjunta se  

  • Se     é chamada simétrica.
  • Se     é chamada hermitiana.

Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:

Se   então  
Se V é complexo e   então  

Prove:

  • Se   e   então  
  • Seja   com V complexo. Então  

Operador unitárioEditar

Definição

  é chamado de unitário se  

Uma matriz A é unitária se  


Prove:

  • T é unitário   (T preserva o produto interno)
  • T é unitário   (T preserva a norma)
  • T é unitário   é unitário

Operador normalEditar

Definição

  é chamado de normal se  

Uma matriz A é normal se  

Prove:

  • Todo operador auto-adjunto é normal
  • Todo operador unitário é normal

É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.

Subespaço invarianteEditar

DefiniçãoEditar

Definição

W, subespaço vetorial de V, é dito invariante sob o operador   se  

Dizemos também que W é T-invariante.

ExercíciosEditar

Prove:

  • Se W é T-invariante, então   é  -invariante.
  • Se W é T-invariante e T é auto-adjunto, então W é  -invariante.
  • Se W é T-invariante e T é inversível, então  
  • Se W é T-invariante e T é inversível, então W é  -invariante e  
  • Se W é T-invariante e T é unitário, então W é  -invariante (ou  -invariante).
  • Se W é T-invariante e T é unitário, então   é T-invariante.

NotasEditar

  1. Ver por exemplo no Wolfram Alpha

Ver tambémEditar

WikipédiaEditar