Álgebra linear/Espaços vetoriais
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Definição
editarUm espaço vetorial é formado por:
- Um conjunto qualquer cujos elementos serão chamados de vetores;
- Um corpo cujos elementos serão denominados escalares, com elementos neutros distintos 0 e 1;
- Uma operação conhecida como adição de vetores;
- Uma operação chamada de multiplicação por escalar.
Neste wikilivro, será escrito simplesmente para denotar
Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.
- Definição
Dizemos que é um espaço vetorial sobre quando as operações e satisfazem as seguintes propriedades:
- Adição
- Para cada (comutatividade)
- Para cada (associatividade)
- Existe um vetor tal que para cada (neutro aditivo)
- Para cada existe tal que (inverso aditivo)
- Multiplicação por escalar
- Para cada e cada (distributividade)
- Para cada e cada (distributividade)
- Para cada e cada (associatividade)
- Para cada (neutro multiplicativo)
Exemplos
editar- , e, mais geralmente, , são espaços vetoriais reais (sobre o corpo ), quando munidos da soma e multiplicação por escalar usuais.
- O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre
- é um espaço vetorial sobre
- Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaços vetoriais sobre K: {0}, K e Kn.
- Seja um número qualquer. O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a é um espaço vetorial, onde consideramos a soma de dois polinômios como a soma dos coeficientes de mesmo grau e a multiplicação por escalar como a multiplicação de cada coeficiente pelo escalar em questão.
- Seja o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio e contradomínio Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir
- (f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)
- (λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).
Ou seja, foram definidas as operações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.
- O exemplo acima pode ser generalizado. Seja K um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto será chamado de conjunto de índices). Então o conjunto KI, das funções de domínio I e contra-domínio K, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para
- O fato de um conjunto ser ou não um espaço vetorial depende fortemente das operações envolvidas. O próximo exemplo ilustra esta questão:
- Exemplo: Verifique se , munido das operações
- é um espaço vetorial.
- Com efeito, observe inicialmente que a a soma em questão é a usual. Logo, satisfaz as propriedades de espaço vetorial. Iremos provar que a a multiplicação por escalar não satisfaz o seguinte propriedade de espaço vetorial:
- De fato, se , então . Portanto, , munido destas operações, não é um espaço vetorial.
Subespaços vetoriais
editarDefinição
editarSeja um espaço vetorial sobre o corpo Um subespaço vetorial de é um subconjunto que também é um espaço vetorial sobre com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de
Equivalentemente, um subespaço vetorial de é um subconjunto não-vazio fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que
- Para todos tem-se
- Para qualquer escalar e para todo tem-se
Exemplo: Seja . Provemos que é um subespaço vetorial.
- O subconjunto é não-vazio, uma vez que o vetor nulo pertence a .
- O subconjunto é fechado em relação à soma. Considere os vetores e abaixo: A soma desses dois vetores resulta no vetor O vetor resultante da soma de e ainda se encontra presente em , pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.
- O subconjunto é fechado em relação à multiplicação por escalar. Considere novamente o vetor abaixo: A multiplicação de por um escalar resultará em: O vetor resultante dessa multiplicação ainda se encontra presente no subespaço , pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.
Combinação linear
editarDefinições
editar- Definição
Seja um espaço vetorial sobre um corpo Um vetor é dito combinação linear dos vetores se existem escalares tais que
Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.
- Definição
Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor é dito uma combinação linear de elementos de S quando ou existem:
- um número inteiro positivo n,
- vetores e
- escalares
Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).
Propriedades
editar- Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v1 = x e λ = 1, de forma que x = λ v1
- Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou Então
- Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
- Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
- No caso geral, e Então definindo
e
temos que
- Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço
Dependência e Independência linear
editar- Definição
Seja um subconjunto de Dizemos que é linearmente dependente se existem vetores distintos e escalares não todos nulos, tais que
Quando temos um número finito de vetores é comum dizer que os vetores são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto é linearmente dependente (ou independente).
Propriedades
editar- Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
- Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
- Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
- Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
- Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
- A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
- A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
- A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.
Espaço gerado
editarDefinição
editar- Definição
Seja um subconjunto de um espaço vetorial O conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de é um subespaço de e é dito o subespaço gerado por Quando é um conjunto finito dizemos que é o subespaço gerado pelos vetores
Exemplos
editarEste módulo tem a seguinte tarefa pendente: Elaborar e incluir uma imagem para ilustrar este conceito. |
- Em qualquer espaço vetorial V, o espaço vetorial gerado pelo conjunto vazio é o subespaço vetorial { 0 }. Analogamente, o espaço vetorial gerado pelo conjunto V é o próprio V
- Em o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo é uma reta que passa pela origem
- Em o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo também é uma reta que passa pela origem
- Em o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é todo o
- Em o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é um plano que passa pela origem
Definição através de conjuntos
editarSeja S um conjunto de vetores de V. Pode-se perguntar qual é o menor subespaço vetorial de V que contém S. Para ser mais preciso, temos o seguinte:
- V é um subespaço vetorial de V que contém S
- A interseção de subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V
Ou seja, seja K o conjunto (não vazio, porque ) definido por:
e seja definido por:
Teorema
editarNas condições definidas acima, é o subespaço vetorial gerado por S.
Bases
editar- Definição
Seja um subconjunto de um espaço vetorial é uma base do espaço vetorial quando o subespaço de gerado por é o próprio e é um conjunto linearmente independente. Quando uma base é um conjunto finito de elementos, dizemos que tem dimensão .
Seja V um espaço vetorial e B uma base de V. Suponha que um vetor seja escrito como combinação linear de vetores de B de duas formas diferentes: O que pode ser dito a respeito dos λ e μ? O que pode ser dito a respeito dos ui e wj? A resposta é que, de certa maneira, eles são únicos.
Coordenadas
editar- Definição
Seja B uma base de um espaço vetorial V. Se existe então para todo vetor se expressarmos v como uma combinação linear de elementos de B que inclua b, o coeficiente do termo b será constante. Em outras palavras, para toda base B do espaço vetorial V existe uma função que associa a cada par um escalar. Esta função é chamada de a coordenada de v na base B