Álgebra linear/Espaços vetoriais

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DefiniçãoEditar

Um espaço vetorial é formado por:

  1. Um conjunto qualquer   cujos elementos serão chamados de vetores;
  2. Um corpo   cujos elementos serão denominados escalares, com elementos neutros distintos 0 e 1;
  3. Uma operação   conhecida como adição de vetores;
  4. Uma operação   chamada de multiplicação por escalar.

Neste wikilivro, será escrito simplesmente   para denotar  

Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

Definição

Dizemos que   é um espaço vetorial sobre   quando as operações   e   satisfazem as seguintes propriedades:

Adição
  1. Para cada     (comutatividade)
  2. Para cada     (associatividade)
  3. Existe um vetor   tal que para cada     (neutro aditivo)
  4. Para cada   existe   tal que   (inverso aditivo)
Multiplicação por escalar
  1. Para cada   e cada     (distributividade)
  2. Para cada   e cada     (distributividade)
  3. Para cada   e cada     (associatividade)
  4. Para cada     (neutro multiplicativo)

ExemplosEditar

  •  ,   e, mais geralmente,  , são espaços vetoriais reais (sobre o corpo  ), quando munidos da soma e multiplicação por escalar usuais.
  • O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre  
  •   é um espaço vetorial sobre  
  • Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaços vetoriais sobre K: {0}, K e Kn.
  • Seja   um número qualquer. O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a   é um espaço vetorial, onde consideramos a soma de dois polinômios como a soma dos coeficientes de mesmo grau e a multiplicação por escalar como a multiplicação de cada coeficiente pelo escalar em questão.
  • Seja   o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio   e contradomínio   Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir
(f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)
(λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).

Ou seja, foram definidas as operações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.

  • O exemplo acima pode ser generalizado. Seja K um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto será chamado de conjunto de índices). Então o conjunto KI, das funções de domínio I e contra-domínio K, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para    
 
 
O fato de um conjunto ser ou não um espaço vetorial depende fortemente das operações envolvidas. O próximo exemplo ilustra esta questão:
Exemplo: Verifique se  , munido das operações
 
é um espaço vetorial.
Com efeito, observe inicialmente que a a soma em questão é a usual. Logo, satisfaz as propriedades de espaço vetorial. Iremos provar que a a multiplicação por escalar não satisfaz o seguinte propriedade de espaço vetorial:
 
De fato, se  , então  . Portanto,  , munido destas operações, não é um espaço vetorial.

Subespaços vetoriaisEditar

DefiniçãoEditar

Seja   um espaço vetorial sobre o corpo   Um subespaço vetorial de   é um subconjunto   que também é um espaço vetorial sobre   com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de  

Equivalentemente, um subespaço vetorial de   é um subconjunto não-vazio   fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que

  1. Para todos   tem-se  
  2. Para qualquer escalar   e para todo   tem-se  


Exemplo: Seja  . Provemos que   é um subespaço vetorial.

  1. O subconjunto   é não-vazio, uma vez que o vetor nulo pertence a  .
     
  2. O subconjunto   é fechado em relação à soma. Considere os vetores   e   abaixo:
     
    A soma desses dois vetores resulta no vetor
     
    O vetor resultante da soma de   e   ainda se encontra presente em  , pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.
  3. O subconjunto   é fechado em relação à multiplicação por escalar. Considere novamente o vetor   abaixo:
     
    A multiplicação de   por um escalar   resultará em:
     
    O vetor resultante dessa multiplicação ainda se encontra presente no subespaço  , pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.

Combinação linearEditar

DefiniçõesEditar

Definição

Seja   um espaço vetorial sobre um corpo   Um vetor   é dito combinação linear dos vetores   se existem escalares   tais que

 

Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.

Definição

Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor   é dito uma combinação linear de elementos de S quando   ou existem:

um número inteiro positivo n,  
vetores   e
escalares  
tais que
 

Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).

PropriedadesEditar

  • Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v1 = x e λ = 1, de forma que x = λ v1
  • Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou   Então  
  • Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
    • Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
    • No caso geral,   e   Então definindo
        e
        temos que
       
  • Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço

Dependência e Independência linearEditar

Definição

Seja   um subconjunto de   Dizemos que   é linearmente dependente se existem vetores distintos   e escalares   não todos nulos, tais que

 
Ou seja,   é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo. Quando   não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de   que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que   é linearmente independente.


Quando temos um número finito de vetores   é comum dizer que os vetores   são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto   é linearmente dependente (ou independente).

PropriedadesEditar

  • Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
  • Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
  • Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
  • Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
  • Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
  • A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
  • A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
  • A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.

Espaço geradoEditar

DefiniçãoEditar

Definição

Seja   um subconjunto de um espaço vetorial   O conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de   é um subespaço   de   e é dito o subespaço gerado por   Quando   é um conjunto finito   dizemos que   é o subespaço gerado pelos vetores  

ExemplosEditar

  Este módulo tem a seguinte tarefa pendente: Elaborar e incluir uma imagem para ilustrar este conceito.
  • Em qualquer espaço vetorial V, o espaço vetorial gerado pelo conjunto vazio é o subespaço vetorial { 0 }. Analogamente, o espaço vetorial gerado pelo conjunto V é o próprio V
  • Em   o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo é uma reta que passa pela origem
  • Em   o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo também é uma reta que passa pela origem
  • Em   o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é todo o  
  • Em   o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é um plano que passa pela origem

Definição através de conjuntosEditar

Seja S um conjunto de vetores de V. Pode-se perguntar qual é o menor subespaço vetorial de V que contém S. Para ser mais preciso, temos o seguinte:

  • V é um subespaço vetorial de V que contém S
  • A interseção de subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V

Ou seja, seja K o conjunto (não vazio, porque  ) definido por:

  •  

e seja   definido por:

  •  

TeoremaEditar

Nas condições definidas acima,   é o subespaço vetorial gerado por S.

BasesEditar

Definição

Seja   um subconjunto de um espaço vetorial     é uma base do espaço vetorial   quando o subespaço de   gerado por   é o próprio   e   é um conjunto linearmente independente. Quando uma base   é um conjunto finito   de   elementos, dizemos que   tem dimensão  .

Seja V um espaço vetorial e B uma base de V. Suponha que um vetor   seja escrito como combinação linear de vetores de B de duas formas diferentes:   O que pode ser dito a respeito dos λ e μ? O que pode ser dito a respeito dos ui e wj? A resposta é que, de certa maneira, eles são únicos.

CoordenadasEditar

Definição

Seja B uma base de um espaço vetorial V. Se existe   então para todo vetor   se expressarmos v como uma combinação linear de elementos de B que inclua b, o coeficiente do termo b será constante. Em outras palavras, para toda base B do espaço vetorial V existe uma função que associa a cada par   um escalar. Esta função é chamada de a coordenada de v na base B

Ver tambémEditar

WikipédiaEditar