Análise real/Conjunto
Noções de Teoria dos Conjuntos
editarDefinição de Conjunto
- Um Conjunto é constítuidos de objetos denominados de elementos.
- Quando um elemento x pertence a um conjunto X, escrevemos: .
- Quando um elemento x não pertence a um conjunto X, escrevemos: .
- Uma forma de caracterizar um conjunto é através da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vírgulas “,” no interior de duas chaves “{” e “}”.
- Exemplo: Seja um conjunto cujos elementos são 1, 2, 3 e 4; é o conjunto dos quatro primeiros impares naturais. Temos que .
- Repetidas vezes usamos expressões do tipo “existe”, “para todo”, “qualquer que seja”, etc. Para simplificar a escrita destas expressões introduziremos alguns símbolos que as representam, a saber:
- significa “existe”;
- significa “existe um único”;
- significa “para todo” ou “qualquer que seja”;
- significa “se ... então ...” ou “implica que”;
- significa “se, e somente se,”.
Exemplos de Conjuntos importantes
editarConjunto dos naturais
editarO Conjunto
Conjunto dos inteiros
editarO Conjunto
Conjunto dos racionais
editarO Conjunto
Conjunto dos iracionais
editar
Conjunto dos reais
editarO Conjunto dos reais são todos os números racionais e os irracionais.
- (visto como subconjunto dos complexos)
Conjunto dos complexos
editarO Conjunto
Conjunto definido através de propriedades
editar
- Exemplo:
- O exemplo anterior deve ser escrito assim:
Conjunto vazio
editarUm conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo . Mas é mais conhecido como conjunto vazio. Podemos dizer que é um conjunto que não possui elemento. Na prática é um conjunto definidos por propriedades, mas que elemento nenhum satisfaz as propriedades desse conjunto.
- exemplo: seja natural positivo e seja inteiro negativo . Vamos tomar elementos que estão no conjunto A e estão no conjunto B . Logo C é vazio, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.
- A maneira matemática formal de escrever o que foi enunciado no exemplo anterior: . Vamos tomar . Logo , pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.
Conjuntos Ordenados
editarUm Conjunto ordenado é um grupo de objetos com um sentido definido de quem é maior. Para dar uma definição abstrata de ordem, iremos dar alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar algumas relações básicas. Nosso primeiro e mais importante conjunto é o conjunto dos números naturais.
Números Naturais
editarO conjunto dos números naturais (Alguns autores tomam — quando nós desejarmos nos referir a esse conjunto, usaremos ). O conjunto dos números naturais são todos os números que usamos para contar. Este conjunto é definido por propriedades. A primeira propriedade do conjunto dos números naturais é que têm uma relação de equivalência satisfazendo as relações de equivalência seguintes:
- Reflexividade
- Qualquer que seja
- Simétrico
- Qualquer que seja ;
- Transitividade
- Qualquer que seja se e , então ;
Estes termos afirmativos matemáticos podem ser escritos de uma maneira menos rigorosa.
- A primeira relação simplesmente significa que qualquer número natural é igual a si mesmo.
- A segunda relação significa que igualdade vale para qualquer ordem que você disser.
- A última relação diz que quando dois números naturais são iguais e um destes é igual a outro então todos os três são iguais.
Associados com essas relações de equivalência está uma ordem significando que os axiomas adicionais são satisfeitos:
- Tricotomia
- Qualquer que seja , um e somente um, destes abaixo é verdadeiro:
- A notação significa que ou , e a notação significa que ou .
- Qualquer que seja , um e somente um, destes abaixo é verdadeiro:
- Transitividade de < and >.
- Qualquer que seja , se e , então .
- Qualquer que seja , se e , então .
Tricotomia significa que qualquer dois números naturais tomados, ou eles são iguais ou um deles é maior que o outro. Transitividade diz que, se existe um terceiro número que é maior que o maior de dois primeiros, então ele é maior que o menor deles. Com isto nós temos uma definição concisa de que temos uma ordem para nossos números. Finalmente os números naturais têm uma operação de associatividade chamada adição. O conjunto e as operações de adição satisfazem o seguinte axioma:
- Fechamento
- Qualquer que seja .
- Comutatividade
- Qualquer que seja .
- Associatividade
- Qualquer que seja .
- Significa que podemos escrever sem ambiguidade
- Compatibilidade com ordem
- Qualquer que seja
Significa que se adicionarmos dois naturais o resultado é um natural. A ordem na qual adicionamos não é importante e se eu adicionar dois naturais a soma é tão grande se somar de outro modo.
Multiplicação
editar- Fechamento
- Qualquer que seja .
- Identidade
- Qualquer que seja .
- Commutatividade
- Qualquer que seja .
- Associatividade
- Qualquer que seja ,
- significa que podemos escrever ambiguosamente .
- Distributividade
- Qualquer que seja .
- Compatibilidade com ordernados
- Qualquer que seja .