Quando um conjunto
Y
{\displaystyle Y\;}
X
{\displaystyle X\;}
Y
⊂
X
{\displaystyle Y\subset X}
Ex:
X
=
{
x
∈
R
;
x
>
2
}
,
Y
=
{
y
∈
R
;
4
<
y
<
10
}
{\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} ;\;x>2\},Y=\{y\in \mathbb {R} ;\;4<y<10\}}
X
=
(
2
,
∞
)
,
Y
=
(
4
,
10
)
,
(
4
,
10
)
⊂
(
2
,
∞
)
logo
Y
⊂
X
{\displaystyle X=(2,\infty ),Y=(4,10),(4,10)\subset (2,\infty ){\mbox{ logo }}Y\subset X}
Y
{\displaystyle Y\;}
X
{\displaystyle X\;}
Y
{\displaystyle Y\;}
X
{\displaystyle X\;}
Mais formalmente, se
y
∈
Y
,
Y
⊂
X
⇒
y
∈
X
{\displaystyle y\in Y,Y\subset X\Rightarrow y\in X}
Y
⊂
X
⇔
X
⊃
Y
{\displaystyle Y\subset X\Leftrightarrow X\supset Y}
Consideremos os seguintes conjuntos
A
=
{
2
n
;
n
∈
N
}
,
B
=
{
4
n
;
n
∈
N
}
.
{\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \},B=\{4n;n\in \mathbb {N} \}.}
Provaremos que
B
⊂
A
.
{\displaystyle B\subset A.}
x
∈
B
,
{\displaystyle x\in B,}
x
=
4
n
para algum
n
∈
N
{\displaystyle x=4n{\mbox{ para algum }}n\in \mathbb {N} }
x
=
2
(
2
n
)
=
2
m
{\displaystyle x=2(2n)=2m}
m
=
2
n
∈
N
{\displaystyle m=2n\in \mathbb {N} }
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
Agora vejamos que
∃
x
∈
A
tal que
x
∈
B
;
tomamos
x
=
2
=
2
(
1
)
∈
A
{\displaystyle \exists x\in A{\mbox{ tal que }}x\in B;{\mbox{ tomamos }}x=2=2(1)\in A}
x
=
2
∈
B
{\displaystyle x=2\in B}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
2
=
4
n
{\displaystyle 2=4n}
n
=
1
/
2
{\displaystyle n=1/2}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
A
⊂
B
.
{\displaystyle A\subset B.}
Y
⊂
X
{\displaystyle Y\subset X}
Y
{\displaystyle Y\;}
X
{\displaystyle X\;}
Y
⊂
X
{\displaystyle Y\subset X}
Y
{\displaystyle Y\;}
está contido em
X
{\displaystyle X\;}
Podemos definir
Y
⊂
X
{\displaystyle Y\subset X}
Y
=
{
a
;
a
∈
X
e
a
s
a
t
i
s
f
a
z
a
p
r
o
p
r
i
e
d
a
d
e
P
1
}
{\displaystyle Y=\{a;a\in X\;e\;a\;satisfaz\;a\;propriedade\;P_{1}\}}
P
1
{\displaystyle P_{1}\;}
Y
{\displaystyle Y\;}
X
⇔
Y
≠
X
{\displaystyle X\Leftrightarrow Y\neq X}
Y
⊂
X
,
m
a
s
X
⊄
Y
{\displaystyle Y\subset X,mas\;X\not \subset Y}
O
∅
⊂
X
{\displaystyle \varnothing \subset X}
editar
Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é,
X
⊄
Y
{\displaystyle X\not \subset Y\;}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\;}
x
∉
Y
{\displaystyle x\not \in Y}
Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que
X
⊄
Y
{\displaystyle X\not \subset Y\;}
2
∈
X
{\displaystyle 2\in X\;}
2
∉
Y
{\displaystyle 2\not \in Y\;}
X
⊄
Y
{\displaystyle X\not \subset Y\;}
