Análise real/Subconjunto

Definição de SubconjuntoEditar

Quando um conjunto   é parte de uma certa coleção   dizemos que Y é subconjunto de X e escrevemos  .

  • Ex:  . Como  , isto é, todo elemento que pertence a  , pertence a  , por isso dizemos que   é subconjunto de  .
  • Mais formalmente, se  , também  

exemploEditar

Consideremos os seguintes conjuntos  

  • Provaremos que   De fato, seja   então  , sendo que pode ser escrito na forma  , onde claramente  , logo  
  • Agora vejamos que   provaremos que este não pertence a B. Assim usando o argumento do absurdo (ou contradição), isto é, suponhamos que   então existe   tal que  , porém esta igualdade somente é satisfeita se n for o número racional   o qual não pertence a  , fato que nos fornece uma contradição. Portanto  

Parte de um conjuntoEditar

  significa que todos os elementos de   estão em  .

  lê-se   está contido em  .
Podemos definir   como  , considerando que   não é uma das propriedades que definem os elementos de X.

Subconjunto próprioEditar

  é subconjunto próprio de   e  .

Conjunto vazioEditar

  • O  , isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

Quando que um conjunto não é um subconjuntoEditar

Para mostrar que X não seja subconjunto de Y, isto é,  , basta exibir um   e provar que  .

  • Exemplo: X é o conjunto dos naturais e Y é o conjunto dos naturais impares. Vamos mostrar que  . Segue que  , mas  . Logo  .