Continuidade captura a intuitiva imagem de uma função "sem oscilações bruscas ou saltos". Veremos alguns exemplos de funções descontínuas que ilustram o significado da definição. A idéia de funções contínuas é encontrada em várias áreas da matemática, além de análise real.
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Seja
A
⊆
R
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }
f
:
A
→
R
{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }
c
∈
A
{\displaystyle c\in A}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\;}
c
{\displaystyle c\;}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0\,}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
x
∈
A
,
|
x
−
x
0
|
<
δ
⇒
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
<
ϵ
{\displaystyle x\in A,|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon }
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Seja
A
⊂
D
⊆
R
{\displaystyle A\subset D\subseteq \mathbb {R} }
f
:
A
→
R
{\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }
c
∈
A
{\displaystyle c\in A}
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A\;}
f
{\displaystyle f}
c
{\displaystyle c\;}
c
∈
A
{\displaystyle c\in A}
Dizemos que
f
{\displaystyle f\;}
A
{\displaystyle A}
Se
A
{\displaystyle A\;}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
f
(
c
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)}
A função identidade
f
(
x
)
=
x
{\displaystyle f(x)=x}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
δ
=
ϵ
{\displaystyle \delta =\epsilon }
|
x
−
x
0
|
<
δ
=
ϵ
{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta =\epsilon }
A função quadrado
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
Demonstração
Dado
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
|
x
2
−
(
x
0
)
2
|
=
|
x
+
x
0
|
|
x
−
x
0
|
{\displaystyle |x^{2}-(x_{0})^{2}|=|x+x_{0}||x-x_{0}|}
Como estamos trabalhando com
x
{\displaystyle x}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
|
x
+
x
0
|
<
C
{\displaystyle |x+x_{0}|<C}
C
{\displaystyle C}
Definindo
δ
=
ϵ
/
C
{\displaystyle \delta =\epsilon /C}
|
x
−
x
0
|
<
δ
⇒
|
x
−
x
0
|
<
ϵ
/
C
⇒
|
x
+
x
0
|
|
x
−
x
0
|
<
C
|
x
−
x
0
|
<
ϵ
{\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |x-x_{0}|<\epsilon /C\Rightarrow |x+x_{0}||x-x_{0}|<C|x-x_{0}|<\epsilon }
Portanto
f
{\displaystyle f}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
A função
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x)=x^{n}\,}
n . Demonstração
Fixemos um ponto
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} \,}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0\,}
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
=
x
n
−
x
0
n
=
(
x
−
x
0
)
∑
k
=
0
n
−
1
x
k
x
0
n
−
k
−
1
{\displaystyle f(x)-f(x_{0})=x^{n}-x_{0}^{n}=(x-x_{0})\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}x_{0}^{n-k-1}}
Definamos, agora,
δ
=
min
[
ε
n
(
|
x
0
|
+
1
)
n
−
1
,
1
]
{\displaystyle \delta =\min \left[{\frac {\varepsilon }{n(|x_{0}|+1)^{n-1}}},1\right]}
Por definição,
δ
≤
1
{\displaystyle \delta \leq 1\,}
|
x
−
x
0
|
<
δ
{\displaystyle \left|x-x_{0}\right|<\delta \,}
|
x
|
=
|
x
0
+
(
x
−
x
0
)
|
≤
|
x
0
|
+
|
x
−
x
0
|
≤
|
x
0
|
+
δ
≤
|
x
0
|
+
1
{\displaystyle |x|=|x_{0}+(x-x_{0})|\leq |x_{0}|+|x-x_{0}|\leq |x_{0}|+\delta \leq |x_{0}|+1\,}
Assim:
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
=
|
(
x
−
x
0
)
∑
k
=
0
n
−
1
x
k
x
0
n
−
k
−
1
|
≤
δ
∑
k
=
0
n
−
1
|
x
k
|
⋅
|
x
0
|
n
−
k
−
1
≤
ε
{\displaystyle \left|f(x)-f(x_{0})\right|=\left|(x-x_{0})\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}x_{0}^{n-k-1}\right|\leq \delta \sum _{k=0}^{n-1}|x^{k}|\cdot |x_{0}|^{n-k-1}\leq \varepsilon }
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Outro resultado que nos permitirá construir muitos exemplos de funções contínuas é que qualquer composição de funções contínuas em si é contínuo:
Se
f
:
B
→
R
{\displaystyle f:B\rightarrow \mathbb {R} }
g
:
A
↦
B
{\displaystyle g:A\mapsto B}
(
f
∘
g
)
(
x
)
=
f
(
g
(
x
)
)
{\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}
Seja
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
c
∈
A
{\displaystyle c\in A}
Uma vez que f é contínua,
∃
δ
1
>
0
:
|
x
−
c
|
<
δ
1
⟹
|
f
(
x
)
−
f
(
c
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \exists \delta _{1}>0:|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\epsilon }
Desde que g é contínua,
∃
δ
2
>
0
:
|
x
−
c
|
<
δ
2
⟹
|
g
(
x
)
−
g
(
c
)
|
<
δ
1
{\displaystyle \exists \delta _{2}>0:|x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\delta _{1}}
Assim
|
x
−
c
|
<
δ
2
⟹
|
g
(
x
)
−
g
(
c
)
|
<
δ
1
⟹
|
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
c
)
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |x-c|<\delta _{2}\implies |g(x)-g(c)|<\delta _{1}\implies |f(g(x))-f(g(c))|<\epsilon }
(
f
∘
g
)
(
x
)
{\displaystyle (f\circ g)(x)}
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Este é o grande teorema sobre continuidade. Basicamente ele diz que funções contínuas não tem interrupções bruscas ou saltos.
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Seja f(x) uma função contínua. Se
a
<
b
{\displaystyle a<b\;}
f
(
a
)
<
m
<
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)<m<f(b)\;}
∃
c
∈
(
a
,
b
)
:
f
(
c
)
=
M
{\displaystyle \exists c\in (a,b):f(c)=M}
Seja
S
=
{
x
∈
(
a
,
b
)
:
f
(
x
)
<
m
}
{\displaystyle S=\{x\in (a,b):f(x)<m\}}
c
=
sup
S
{\displaystyle c=\sup S}
Seja
ϵ
=
|
f
(
c
)
−
m
|
{\displaystyle \epsilon =|f(c)-m|}
∃
δ
:
|
x
−
c
|
<
δ
⟹
|
f
(
x
)
−
f
(
c
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \exists \delta :|x-c|<\delta \implies |f(x)-f(c)|<\epsilon }
Se f(c) < m, então
|
f
(
c
+
δ
2
)
−
f
(
c
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |f(c+{\frac {\delta }{2}})-f(c)|<\epsilon }
f
(
c
+
δ
2
)
<
f
(
c
)
+
ϵ
=
m
{\displaystyle f(c+{\frac {\delta }{2}})<f(c)+\epsilon =m}
c
+
δ
2
∈
S
{\displaystyle c+{\frac {\delta }{2}}\in S}
Se f(c) > m, desde então
c
=
sup
S
{\displaystyle c=\sup S}
∃
x
:
x
∈
S
,
c
>
x
>
c
−
δ
{\displaystyle \exists x:x\in S,c>x>c-\delta }
|
x
−
c
|
<
δ
,
|
f
(
x
)
−
f
(
c
)
|
<
ϵ
{\displaystyle |x-c|<\delta ,\;|f(x)-f(c)|<\epsilon }
f
(
x
)
>
f
(
c
)
−
ϵ
{\displaystyle f(x)>f(c)-\epsilon }
x
∉
S
{\displaystyle x\notin S}
◻
{\displaystyle \Box }
Iremos provar agora o Teorema Mínimo-Máximo, que é um outro resultado importante que está relacionada com a continuidade. Essencialmente, ela diz que qualquer imagem contínua de um intervalo fechado é limitada, e também que ele atinge esses limites.
Seja
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
Então
f
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f([a,b])}
(ii)Se
M
,
m
{\displaystyle M,m}
f
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f([a,b])}
c
,
d
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle c,d\in [a,b]}
f
(
c
)
=
M
,
f
(
d
)
=
m
{\displaystyle f(c)=M,f(d)=m}
(i)Suponhamos que, se possível
f
{\displaystyle f}
Seja
x
1
=
a
+
b
2
{\displaystyle x_{1}={\tfrac {a+b}{2}}}
f
{\displaystyle f\;}
[
a
,
x
1
]
{\displaystyle [a,x_{1}]}
[
x
1
,
b
]
{\displaystyle [x_{1},b]\;}
f
{\displaystyle f\;}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
I
1
{\displaystyle I_{1}}
Similarmente, partindo
I
1
{\displaystyle I_{1}}
I
2
{\displaystyle I_{2}}
f
{\displaystyle f}
Assim sendo, temos uma seqüência de intervalos fechados adjacentes
[
a
,
b
]
⊇
I
1
⊇
I
2
⊇
…
{\displaystyle [a,b]\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots }
f
{\displaystyle f\;}
Sabemos que a intersecção de uma seqüência de intervalos fechados adjacentes é não vazio. Daí, seja
x
0
∈
I
1
∩
I
2
∩
…
{\displaystyle x_{0}\in I_{1}\cap I_{2}\cap \ldots }
Como
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\;}
x
=
x
0
{\displaystyle x=x_{0}}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
x
∈
V
δ
(
x
0
)
⟹
f
(
x
)
∈
(
f
(
x
0
)
−
1
,
f
(
x
0
)
+
1
)
{\displaystyle x\in V_{\delta }(x_{0})\implies f(x)\in (f(x_{0})-1,f(x_{0})+1)}
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
I
k
⊆
V
δ
(
x
0
)
{\displaystyle I_{k}\subseteq V_{\delta }(x_{0})}
f
{\displaystyle f\;}
I
k
{\displaystyle I_{k}}
f
{\displaystyle f\;}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
(ii) Considere-se, se possível,
M
=
sup
(
f
(
[
a
,
b
]
)
)
{\displaystyle M=\sup(f([a,b]))}
M
∉
f
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle M\notin f([a,b])}
Considere a função
g
(
x
)
=
1
M
−
f
(
x
)
{\displaystyle g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}}
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }
M
{\displaystyle M\;}
f
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f([a,b])}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)\;}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
M
∈
f
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle M\in f([a,b])}
m
∈
f
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle m\in f([a,b])}
![{\displaystyle \delta =\min \left[{\frac {\varepsilon }{n(|x_{0}|+1)^{n-1}}},1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1785b342b1250566988eab7bb9d44eec9f55c6f)
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle f([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8bf1526030f5a9f1564d4ef14c5d63350dfe9a)
![{\displaystyle c,d\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3242edd84bb073a138a9bbf3f4fcf83b3b5d57a5)
![{\displaystyle [a,x_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2c07161cd155ac8fb5c82f6469286c13d767f0)
![{\displaystyle [x_{1},b]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29711d889d131a26b8ecea2e3ff4f05fe4cb64c2)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [a,b]\supseteq I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92c5a4800dc5943971991e4310fc0b72b29caf1)
![{\displaystyle M=\sup(f([a,b]))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b5aaf4fcb954ca3ba533d8a4adc92d7ed45f79)
![{\displaystyle M\notin f([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3187955833d418a916915b080e19758eb4ae3cac)
![{\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b1d5103d0e36767a27715bcfc57137119294aad)
![{\displaystyle M\in f([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ced025dd0e7b847c4c052fbd5065682e11b2dce)
![{\displaystyle m\in f([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5faae378c13613eee594978619f5754e437720e)
