Análise real/Continuidade


Agora que definimos o limite de uma função, estamos prontos para definir o que significa para uma função ser contínua. A noção de Continuidade captura a intuitiva imagem de uma função "sem oscilações bruscas ou saltos". Veremos alguns exemplos de funções descontínuas que ilustram o significado da definição. A idéia de funções contínuas é encontrada em várias áreas da matemática, além de análise real.

Definição (Continuidade em um Ponto)Editar

Seja  ;  ;  ; Dizemos que   é contínua em   se, e somente se, para todo  , existe um   tal que:

  •  

Definição (Continuidade em um Conjunto)Editar

Seja  ;  ;  ;. Dizemos que   é contínua em   se   é contínua em  , para todo  .

Dizemos que   em si é contínua, se esta condição vale para todos os pontos em  .

Se   é uma união de intervalos, a declaração é equivalente a dizer que  .

ExemplosEditar

  • A função identidade   é contínua em toda a reta. De fato, dado   e   real, tomando  , temos que, se  .
  • A função quadrado   também é contínua em toda a reta.

Demonstração

Dado  , e   real, temos

 .

Como estamos trabalhando com   próximo de  , temos

 , para algum   real.

Definindo  , se

 .

Portanto   é contínua em  , para todo   real.

  • A função   é contínua em toda a reta para qualquer natural n.

Demonstração

Fixemos um ponto   e  , e procedemos com a fatoração da potência:

 

Definamos, agora,

 

Por definição,  , portanto, se  , temos:

 

Assim:

 

Proposição (Operações com funções Contínuas)Editar

Sejam   funções contínuas e   um número real, então valem as seguintes propriedades:

  •   é contínua;
  •   é contínua;
  •   é contínua;
  •   é contínua em todos os pontos onde   não se anula.

DescontinuidadeEditar

Podemos usar limites seqüenciais para provar que funções são descontínuas da seguinte forma:

  •   é descontínua em   se, e somente se, houver duas seqüências   e   tal que  .

ComposiçãoEditar

Outro resultado que nos permitirá construir muitos exemplos de funções contínuas é que qualquer composição de funções contínuas em si é contínuo:

TeoremaEditar

Se   e   são contínuas, então a composição   é contínua sobre A.

ProvaEditar

Seja  ;  .

Uma vez que f é contínua,  .

Desde que g é contínua,  .

Assim  , por isso   é contínua sobre A.


O Teorema do Valor IntermediárioEditar

Este é o grande teorema sobre continuidade. Basicamente ele diz que funções contínuas não tem interrupções bruscas ou saltos.

Teorema (do Valor Intermediário)Editar

Seja f(x) uma função contínua. Se   e  , então  .

ProvaEditar

Seja  , e seja  .

Seja  . Pela continuidade,  .

Se f(c) < m, então  , por isso  . Mas então  , o que implica que c não é um limite superior para S, uma contradição.

Se f(c) > m, desde então  ,  . Mas desde que  , por isso   = m, o que implica que  , uma contradição.  

Iremos provar agora o Teorema Mínimo-Máximo, que é um outro resultado importante que está relacionada com a continuidade. Essencialmente, ela diz que qualquer imagem contínua de um intervalo fechado é limitada, e também que ele atinge esses limites.

Teorema Mínimo-MáximoEditar

Seja   contínuo

Então
(i)  é limitado

(ii)Se   são respectivamente o limite superior e inferior do  , então existem   tais que  

ProvaEditar

(i)Suponhamos que, se possível   é ilimitado.

Seja  . Em seguida,   é ilimitado em pelo menos um dos intervalos fechados   e   (para outra,   seria ilimitada sobre   contradizendo a hipótese). Chamar este intervalo  .

Similarmente, partindo   em dois intervalos fechados e deixar   ser um dos quais   é ilimitado.

Assim sendo, temos uma seqüência de intervalos fechados adjacentes   tais que   é ilimitada sobre cada um deles.

Sabemos que a intersecção de uma seqüência de intervalos fechados adjacentes é não vazio. Daí, seja  

Como   é contínua em  , existe   tal que   Mas, por definição, existe sempre   tal que  , contradizendo a hipótese de que   é ilimitado sobre  . Assim,   é limitada sobre  

(ii) Considere-se, se possível,   mas  .

Considere a função  . Pela propriedade algébricas de continuidade,   é contínuo. No entanto,   sendo um ponto relativo de  ,   é ilimitado sobre  , contradizendo (i). Daí,  . Da mesma forma, podemos mostrar que  .

Uso GeralEditar

Como se referiu, a ideia de funções contínuas é utilizado em várias áreas da matemática, mais notavelmente na Topologia. A caracterização diferente de continuidade é útil em tais situações.

TeoremaEditar

Seja  
Seja  

  é contínua em   se, e somente se, para cada vizinhança aberta   de  , existe uma vizinhança aberta   de   tal que  

Deve ser mencionado aqui que o termo "Conjunto aberto" pode ser definido em geral muito mais do que o conjunto de definições reais ou mesmo espaços métricos, e daí a utilidade desta caracterização.

Continuidade uniformeEditar

Seja  
Seja  

Dizemos que   é uniformemente contínua sobre   se, e somente se, para cada   existe   tal que, se   e   então  

Ver tambémEditar

Continudade no wiki em inglês