Análise real/Variação total

OscilaçãoEditar

Seja   uma função real. Definimos a oscilação de   em um intervalo   contido em   como:

  •  

PropriedadesEditar

  • Se   é um função não decrescente, então:
 
  • Se   é um função não crescente, então:
 

Variação em uma partiçãoEditar

Seja   uma função real. Definimos a variação de   em um partição   de um intervalo   contido em   como:

  •  

PropriedadesEditar

1. Seja P uma partição cujos extremos são   and   e seja   uma função real definida em um domínio   então:

 
Demonstração

Imediato da definição.

2. Seja P uma partição cujos extremos são   and   e seja   uma função monótona definida em um domínio   então:

 
Demonstração

Considere, sem perda de generalidade, que   é uma função crescente, da definição de variação temos:

 

Como  , temos que  , logo:

 

3. Seja P uma partição cujos extremos são   and   e sejam   e   funções reais definidas em um domínio   então:

 
Demonstração
 


4. Seja P uma partição cujos extremos são   and   e   uma função real definida em um domínio   então, se P' é um refinamento de P

 
Demonstração

Sem perda de generalidade, considere que P' é um refinamento de P pela inclusão de um único ponto  . Como a seguinte desigualdade é válida:

 

o resultado segue.

Variação totalEditar

Seja   uma função real. Definimos a variação de   em um intervalo   contido em   como:

  •  

O supremo é tomado em  , o conjunto de todas as possíveis partições de  .

PropriedadesEditar

As seguintes propriedades são de demonstração imediata, aparir da definição de supremo e das propriedades já demonstradas para a variação em uma partição.

1. Se   é um função monótona, então:

 

2. Se   uma função real, então:

 , sempre que  .

3. Se   e   são funções reais, vale

 ,

4. Se   uma função real, então:

 ,

5. Se   uma função real, então:

 ,

Função de variação limitadaEditar

Diz-se que uma função real   é de variação limitada em um intervalo   se e somente se:

 

TeoremaEditar

Seja   uma função de classe  , então:

 
Demontração

Primeiro observamos que se   é uma partição do intervalo  , podemos escrever, usando o teorema do valor médio:

 

Da definição de variação total, podemos inferir a existência de uma seqüência de partições   tal que:

 

Como a variação não decresce com o refino da partição, pode supor que comprimento das partições   está convergindo para zero. Assim:

 

TeoremaEditar

Uma função é de variação limitada se e somente se pode ser escrita como a diferença de duas funções não decrescentes.

Demontração

a.Seja   uma função de variação limitada em  . Define-se a função   da seguinte forma:

 

Fixando um   é uma função não decrescente em  .

Agora define-se:

 .

É fácil ver que  . Resta-nos provar que tanto   como   são funções não decrescentes. Para tal, seja   e fazemos a seguinte estimativa:

 

Da penúltipla para a última linha usamos   e depois observamos que  .

A demontração sendo perfeitamente análoga para a função  , o resultado segue.

Existência de uma função contínua que não é de variação limitadaEditar

Considere a função:

 

Esta função não é de variação limitada no intervalo  . Para provar isso considere o seguintes pontos:

 

Assim

 

Portanto,