Análise real/Convergência uniforme

A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de convergêcia pontual.

Definição

Uma seqüência de funções $\{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }\,$ definida em um conjunto $D\,$ é dita convergir uniformemente se existe uma função $f:D\to \mathbb {R} \,$ tal que:

Para todo $\varepsilon >0\,$, existe um $N\,$ tal que:
$\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,\forall x\in D~~\forall n\geq N\,$

Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.

Comparação entre convergência uniforme e convergência pontual

Como comparação, uma sequência de funções $f_{n}(x):S\rightarrow \mathbb {R} \,$ converge pontualmente para uma função $f:S\rightarrow \mathbb {R} \,$ se, e somente se:

$\forall \epsilon >0,\ \forall x\in S\ \exists N\in \mathbb {N} \ t.q.\ \forall n>N\ \Rightarrow \ |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \,$

A sequência converge uniformemente quando:

$\forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in S\ t.q.\ \forall n>N\ \Rightarrow \ |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \,$

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada $\epsilon \,$ e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada $\epsilon \,$ um N que se aplica a todo x.

Exemplos

Exemplo 1

Considere a seqüência:

$f_{n}(x)={\frac {1}{n}}\,$

A convergência uniforme é válida com $N>{\frac {1}{\varepsilon }}\,$.

Exemplo em que a convergência uniforme falha na presença de convergência pontual

Considere o conjunto $D:=\{x\in \mathbb {R} :x>0\,$ e a seguinte seqüência de funções definidas em $D\,$:

• $f_{n}(x)={\frac {1}{nx}}\,$

Observa-se que para cada $x\,$ fixo $f_{n}(x)\,$ converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada $\varepsilon$ existe um x suficiente próximo à origem tal que:

• $|f_{n}(x)-0|\geq \varepsilon \,$

Convergência uniforme preserva continuidade

Teorema Seja $f_{n}(x)\,$ uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto $D\in \mathbb {R} \,$. Suponha que $f_{n}\,$ converge uniformemente para uma função $f(x)\,$ então f é uma função contínua.

Demonstração Seja $\varepsilon >0\,$ e $x_{0}\in D\,$, devemos mostrar que existe um $\delta >0\,$ tal que:

• $|x_{0}-x|<\delta \Longrightarrow \left|f(x_{0})-f(x)\right|\leq \varepsilon$

Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que

• $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|\leq \varepsilon /3,n\geq N\quad (1)$

Da continuidade de $f_{N}\,$, temos que existe um $\delta >0\,$ tal que:

• $|x_{0}-x|<\delta \Longrightarrow \left|f_{N}(x_{0})-f_{N}(x)\right|\leq \varepsilon /3\quad (2)$

Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:

• $\Longrightarrow \left|f(x_{0})-f(x)\right|\leq \left|f(x_{0})-f_{N}(x_{0})\right|+\left|f_{N}(x_{0})-f_{N}(x)\right|+\left|f_{N}(x)-f(x)\right|$

E das desigualdades $(1)\,$ e $(2)\,$, vale que se $|x_{0}-x|<\delta \,$:

• $\left|f(x_{0})-f(x)\right|\leq \varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$

Convergência uniforme e a integração

Teorema Seja $f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} \,$ uma seqüência de funções integráveis a Riemann convergindo uniformemente para uma função $f:[a,b]\to \mathbb {R} \,$, então $f\,$ é integrável a Riemann e vale a igualdade:

• $\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx\,$

Demonstração Da definição de convergência uniforma, para todo $\varepsilon >0\,$, exite um $N\,$ tal que:

$f_{n}(x)-\varepsilon \leq f(x)\leq f_{n}(x)+\varepsilon ,~~\forall n\geq N\,$

Como $f_{n}\,$ é integrável, vale que:

${\overline {\int _{a}^{b}}}f_{n}(x)dx={\underline {\int _{a}^{b}}}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx$

Assim, valem as desigualdades:

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}\left(f_{n}(x)+\varepsilon \right)dx=\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx+(b-a)\varepsilon$

${\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx\geq {\underline {\int _{a}^{b}}}\left(f_{n}(x)-\varepsilon \right)dx=\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx-(b-a)\varepsilon$

E, portanto:

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx-(b-a)\varepsilon \leq \int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx+(b-a)\varepsilon$

Tomando o limite $n\to \infty \,$, temos:

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx-(b-a)\varepsilon \leq \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx+(b-a)\varepsilon$

Como $\varepsilon >0\,$ é arbitrário e a integral superior é sempre maior ou igual à integral inferior vale a igualdade:

${\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx={\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)dx$

E o resultado segue.