Análise real/Convergência uniforme


A convergência uniforme é um conceito mais forte que o de convergêcia pontual.

DefiniçãoEditar

Uma seqüência de funções   definida em um conjunto   é dita convergir uniformemente se existe uma função   tal que:

Para todo  , existe um   tal que:
 

Observe que a desigualdade é válida para todo ponto do domínio.

Comparação entre convergência uniforme e convergência pontualEditar

Como comparação, uma sequência de funções   converge pontualmente para uma função   se, e somente se:

 

A sequência converge uniformemente quando:

 

Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada   e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada   um N que se aplica a todo x.

ExemplosEditar

Exemplo 1Editar

Considere a seqüência:

 

A convergência uniforme é válida com  .

Exemplo em que a convergência uniforme falha na presença de convergência pontualEditar

Considere o conjunto   e a seguinte seqüência de funções definidas em  :

  •  

Observa-se que para cada   fixo   converge para 0 mas a convergência não é uniforme pois para cada n e cada   existe um x suficiente próximo à origem tal que:

  •  

Convergência uniforme preserva continuidadeEditar

Teorema Seja   uma seqüência de funções contínuas definidas um conjunto  . Suponha que   converge uniformemente para uma função   então f é uma função contínua.

Demonstração Seja   e  , devemos mostrar que existe um   tal que:

  •  

Da convergência uniforme, temos a existência de um N tal que

  •  

Da continuidade de  , temos que existe um   tal que:

  •  

Agora, basta estimar usando a desigualdade triangular:

  •  

E das desigualdades   e  , vale que se  :

  •  

Convergência uniforme e a integraçãoEditar

Teorema Seja   uma seqüência de funções integráveis a Riemann convergindo uniformemente para uma função  , então   é integrável a Riemann e vale a igualdade:

  •  

Demonstração Da definição de convergência uniforma, para todo  , exite um   tal que:

 

Como   é integrável, vale que:

 

Assim, valem as desigualdades:

 
 

E, portanto:

 

Tomando o limite  , temos:

 

Como   é arbitrário e a integral superior é sempre maior ou igual à integral inferior vale a igualdade:

 

E o resultado segue.