O conceito de convergência de funções é fundamental para a análise real. O critério de convergência pontual , também chamado de convergência ponto a ponto ou convergência simples é um dos muitos critérios diferentes de convergências para uma família de funções.
Seja
D
∈
R
{\displaystyle D\in \mathbb {R} }
f
n
:
D
→
R
{\displaystyle f_{n}:D\to \mathbb {R} \,}
D
{\displaystyle D\,}
Diz que
{
f
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,}
f
:
D
→
R
{\displaystyle f:D\to \mathbb {R} \,}
x
∈
D
{\displaystyle x\in D\,}
f
n
(
x
)
{\displaystyle f_{n}(x)\,}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)\,}
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
=
f
(
x
)
,
∀
x
∈
D
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x),~~\forall x\in D\,}
Equivalentemente, diz-se que
{
f
n
}
{\displaystyle \{f_{n}\}\,}
f
{\displaystyle f\,}
D
{\displaystyle D\,}
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0\,}
x
∈
D
{\displaystyle x\in D\,}
N
{\displaystyle N\,}
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
<
ε
,
∀
n
≥
N
{\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,~~\forall n\geq N\,}
Seja a seguinte seqüência de funções:
f
n
(
x
)
=
x
n
,
x
∈
R
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{n}},~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,}
É fácil ver que:
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}
Deve-se observar que o limite pontual de funções contínuas não é necessariamente uma função contínua. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado na seguinte seqüência de funções:
f
n
(
x
)
=
1
1
+
|
x
|
n
,
x
∈
R
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{1+|x|^{n}}},~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,}
cujo limite é dado por:
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
=
{
1
,
|
x
|
<
1
1
/
2
,
|
x
|
=
1
0
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&|x|<1\\1/2,&|x|=1\\0,&|x|>1\end{array}}\right.}
Algumas seqüências de funções podem ter um comportamento bastante peculiar, como a seguinte:
f
n
(
x
)
=
cos
2
n
(
m
!
π
x
)
x
∈
R
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle f_{n}(x)=\cos ^{2n}(m!\pi x)~x\in \mathbb {R} ,~~n=1,2,3,\ldots \,}
cujo limite é dado por:
lim
n
→
∞
f
n
(
x
)
=
{
1
,
m
!
x
∈
Z
0
,
c.c.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}1,&m!x\in \mathbb {Z} \\0,&{\hbox{c.c.}}\end{array}}\right.}
Veja mais um exemplo peculiar de convergência:
f
n
(
x
)
=
{
0
,
x
<
n
1
,
x
≥
n
{\displaystyle f_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{rl}0,x<n\\1,x\geq n\end{array}}\right.}
