Análise real/Convergência pontual

O conceito de convergência de funções é fundamental para a análise real. O critério de convergência pontual, também chamado de convergência ponto a ponto ou convergência simples é um dos muitos critérios diferentes de convergências para uma família de funções.

DefiniçãoEditar

Seja   um conjunto e   uma seqüência de funções reais definidas no domínio  .

Diz que   converge quando existe uma função   tal que para cada ponto   a seqüência numérica   converge para  . Ou, na notação de limites:

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Equivalentemente, diz-se que   converge para   em   se para todo   e todo   existe um   tal que

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ExemplosEditar

Exemplo 1Editar

Seja a seguinte seqüência de funções:

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É fácil ver que:

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Exemplo 2Editar

Deve-se observar que o limite pontual de funções contínuas não é necessariamente uma função contínua. Um exemplo deste fenômeno pode ser observado na seguinte seqüência de funções:

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cujo limite é dado por:

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Exemplo 3Editar

Algumas seqüências de funções podem ter um comportamento bastante peculiar, como a seguinte:

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cujo limite é dado por:

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Exemplo 4Editar

Veja mais um exemplo peculiar de convergência:

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Ver tambémEditar