Análise real/Desigualdade

Teorema (Desigualdade de Bernouli)Editar

Em todo corpo ordenado K, se   e  , vale  

Prova 1(indução sobre n)Editar

  • Mostrar válido para n=1
    •  
  • Supor válido para n=k
    •  
  • Mostrar válido para n= k+1
    • De   multiplicamos   por ambos os membros pois  .
      • Logo   (porque k x2 é não-negativo).
    • E finalmente  

Prova 2(binômio de newton)Editar

 .

  • Devemos mostrar que  
    • Como   é verdade.
  • Assim   é verdade para  
    • como é válido para n = 1, basta mostrar que é válido para n = 2 que será válido para todo n natural
      •   verdade
  • portanto é válido para todo n natural

ExemploEditar

Mostrar que  .

Prova:

  • Mostrar que a desigualdade é válida para quando n = 1:  
  • Suponha ser válido para quando n = k:  
  • Mostrar ser válido para quando n=k+1, isto é,  
    • Pela hipótese temos que  , onde  , pois k é um número natural.
    •  .
    • Vamos verificar que  
    •  

Exemplo 3Editar

 Use o teorema da indução com 1 deslocado para provar que  
  • Prova: Tome  
  • Vamos fazer por indução sobre n, que será válido para  
  • Temos que mostrar que vale para quando  .
  • Suponha que seja válido para quando  
  • Vamos mostrar que é válido para quando  
    •  
    • a igualdade 1 é pelo quadrado da soma, a desigualdade 2 é pela hipótese de indução, a desigualdade 3 é pelo teorema anterior, a igualdade 4 é pela distributiva e a igualdade 5 é pela propriedade de potencia.

Exemplo 4Editar

Prove que   é decrescente a partir do terceiro termo.
Vamos provar a desigualdade por indução sobre n, que é válido para  . Tome  
  • vamos mostrar que é válido para  .
  • suponhamos que é válido para  .
  • Observação:  .
  • Vamos mostrar que é válido para  .
    •  
    • a igualdade 1 é pelo inverso multiplicativo, a desigualdade 2 é pela observação acima e pela hipótese de indução e a igualdade 3 é pelo inverso multiplicativo.

aEditar

  é decrescente a partir do terceiro termo, ou seja,  .
Prova:
  • Vamos provar por indução sobre n:  .
  • Mostrar que é válido para n=3:  .
  • Supor válido para n=k:  .
  • Provar válido para n=k+1:  .
    • Pelo axioma anterior é verdade que  
    •