Análise real/Indução(Problemas)

Exemplo 1

Mostrar que, para todo $n\in \mathbb {N} ,4^{n}+6n-1$ é divisível por 9.

Prova:

• Mostrar que é válido para n = 1, $4^{1}+6\cdot 1-1=4+6-1=9$ e 9 é divisível por 9.
• Supor válido para n = k, ou seja, $4^{k}+6\cdot k-1=9t$, para algum t natural. Também $4^{k}=9t-6\cdot k+1$
• Mostrar válido para n = k+1, ou seja, $4^{k+1}+6\cdot (k+1)-1=9t'$, para algum $t'$ natural.
  • $4^{k+1}+6\cdot (k+1)-1=_{1}4\cdot 4^{k}+6k+6-1=_{2}4\cdot (9t+1-6k)+6k+5=_{3}36t+4-24k+6k+5=_{4}36t-18k+9=_{5}9\cdot (4t-2k+1)$
  • onde a igualdade 1 é pela propriedade de potência, a igualdade 2 é pela hipótese de indução, as igualdades 3 e 5 pela propriedade distributiva e a igualdade 4 pela soma dos termos.