Análise real/Equivalências entre corpos ordenados arquimedianos


Definição (partição)Editar

  é partição de   se,   e  , se  .

Definição (Seqüências de Cauchy)Editar

Uma seqüência   em   é dita de Cauchy se, dado   tal que, se   então  .

Definição (conjunto fechado em )Editar

Um conjunto   é dito fechado se o limite de toda sequência de pontos de   é ponto de F.

Definição (conjunto conexo)Editar

  é dito conexo se   e   são os únicos subconjuntos abertos e fechados de 

TeoremaEditar

Seja   um corpo ordenado arquimediano. Em   são equivalentes:


1[1'] Toda seqüência crescente [decrescente] limitada superiormente [inferiormente] de   é convergente;

2[2']) Todo subconjunto   não-vazio limitado superiormente [inferiormente] tem supremo [ínfimo];

3[3']) Seja   um conjunto fechado limitado superiormente [inferiormente], então,   tem máximo e mínimo;

4)  é conexo.

5) (Postulado de Dedekind) Dada uma partição   de , com  , para todo  , e  , isto é   é um corte de Dedekind, então, em   existe maior elemento, ou, em  , existe menor elemento.

6) (Propriedade dos intervalos encaixantes) Toda seqüência de intervalos encaixantes, fechados e limitados tem intersecção não-vazia. Isto é, seja   uma seqüência de intervalos, satisfazendo  , para todo  , então  .

7)  é seqüêncialmente completo, isto é, se (x_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma seqüência em   de Cauchy então (x_n) é convergente.

DemonstraçãoEditar

As equivalências   são evidentes e serão deixadas como exercício.

1)   2)

Seja A nas condições de 2), vamos mostrar que A tem supremo.

Como A  , podemos pegar  e como A é limitado superiormente, existe  majorante de A.

Seja  , se  for majorante de A, então definimos  , e   e caso   não seja majorante de A, definimos   e  .

Suponha que   e   estejam definidas,  , se   for majorante de A, então definimos  , e   e caso   não seja majorante de A, definimos   e  .

Definimos duas seqüências   e   que formam, respectivamente, uma seqüência monótona não-decrescente e uma seqüência monótona não-crescente. Claramente   é um limitante inferior de   e   é um limitante superior de  , e por '1), concluimos que ambas seqüências são convergentes.

Sejam   e  .

Suponha, por absurdo que  , então  , tomando  , como  , existe   tal que  . Portanto  , como  , definindo  , existe   tal que,  . Absurdo, pois isso contradiz nossa construção de   e  .

Por construção, temos   para todo   natural.