Análise real/Equivalências entre corpos ordenados arquimedianos

Definição (partição)

$(A_{1},A_{2},...,A_{n})$ é partição de $\Omega$ se, $\Omega =\displaystyle \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}$ e $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ , se $i\not =j$ .

Definição (Seqüências de Cauchy)

Uma seqüência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ em $\mathbb {K}$ é dita de Cauchy se, dado $\epsilon >0,\ \exists n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que, se $n,m>n_{0}$ então $|x_{n}-x_{m}|<\epsilon$ .

Definição (conjunto fechado em $\mathbb {K}$ )

Um conjunto $F\subset \mathbb {K}$ é dito fechado se o limite de toda sequência de pontos de $F$ é ponto de F.

Definição (conjunto conexo)

$\mathbb {K}$ é dito conexo se $\mathbb {K}$ e $\emptyset$ são os únicos subconjuntos abertos e fechados de $\mathbb {K}$

Teorema

Seja $\mathbb {K}$ um corpo ordenado arquimediano. Em $\mathbb {K}$ são equivalentes:

1[1'] Toda seqüência crescente [decrescente] limitada superiormente [inferiormente] de $\mathbb {K}$ é convergente;

2[2']) Todo subconjunto $A\subset \mathbb {K}$ não-vazio limitado superiormente [inferiormente] tem supremo [ínfimo];

3[3']) Seja $F\subset \mathbb {K}$ um conjunto fechado limitado superiormente [inferiormente], então, $F$ tem máximo e mínimo;

4) $\mathbb {K}$ é conexo.

5) (Postulado de Dedekind) Dada uma partição $(A,B)$ de $\mathbb {K}$ , com $a<b$ , para todo $a\in A$ , e $b\in B$ , isto é $(A,B)$ é um corte de Dedekind, então, em $A$ existe maior elemento, ou, em $B$ , existe menor elemento.

6) (Propriedade dos intervalos encaixantes) Toda seqüência de intervalos encaixantes, fechados e limitados tem intersecção não-vazia. Isto é, seja $([a_{n},b_{n}])_{n\in \mathbb {N} }$ uma seqüência de intervalos, satisfazendo $[a_{n+2},b_{n+2}]\subset [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_{n},b_{n}]\subset ...\subset [a_{1},b_{1}]\subset [a_{0},b_{0}]$ , para todo $n\in \mathbb {N}$ , então $\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }[a_{n},b_{n}]\not =\emptyset$ .

7) $\mathbb {K}$ é seqüêncialmente completo, isto é, se (x_n)_{n \in \mathbb{N}} é uma seqüência em $\mathbb {K}$ de Cauchy então (x_n) é convergente.

Demonstração

As equivalências $N\Leftrightarrow N'$ são evidentes e serão deixadas como exercício.

1) $\Rightarrow$ 2)

Seja A nas condições de 2), vamos mostrar que A tem supremo.

Como A $\not =\emptyset$ , podemos pegar $a_{0}\in A$ e como A é limitado superiormente, existe $b_{0}\in \mathbb {K}$ majorante de A.

Seja $c_{1}=(a_{0}+b_{0})/2$ , se $c_{1}$ for majorante de A, então definimos $b_{1}=c_{1}$ , e $a_{1}=a_{0}$ e caso $c_{0}$ não seja majorante de A, definimos $a_{1}=c_{1}$ e $b_{1}=b_{0}$ .

Suponha que $a_{k-1}$ e $b_{k-1}$ estejam definidas, $c_{k}=(a_{k-1}+b_{k-1})/2$ , se $c_{k}$ for majorante de A, então definimos $b_{k}=c_{k}$ , e $a_{k}=a_{k-1}$ e caso $c_{k}$ não seja majorante de A, definimos $a_{k}=c_{k}$ e $b_{k}=b_{k-1}$ .

Definimos duas seqüências $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ e $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ que formam, respectivamente, uma seqüência monótona não-decrescente e uma seqüência monótona não-crescente. Claramente $a_{0}$ é um limitante inferior de $(b_{n})$ e $b_{0}$ é um limitante superior de $(a_{n})$ , e por '1), concluimos que ambas seqüências são convergentes.

Sejam $a=\lim a_{n}$ e $b=\lim b_{n}$ .

Suponha, por absurdo que $a>b$ , então $a-b>0$ , tomando $\epsilon =a-b$ , como $(a_{n})\rightarrow$ , existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $a-\epsilon <a_{n_{0}}<a+\epsilon \Rightarrow a-(a-b)<a_{n_{0}}<a+(a-b)\Rightarrow b<a_{n_{0}}$ . Portanto $b-a_{n_{0}}>0$ , como $(b_{n})\rightarrow b$ , definindo $\epsilon '=b-a_{n_{0}}$ , existe $n_{1}\in \mathbb {N}$ tal que, $b-\epsilon <b_{n_{1}}<b+\epsilon \Rightarrow b-(b-a_{n_{0}})<b_{n_{1}}<b+(b-a_{n_{0}})\Rightarrow a_{n_{0}}<b_{n_{1}}$ . Absurdo, pois isso contradiz nossa construção de $(a_{n})$ e $(b_{n})$ .