Análise real/Unicidade dos números reais


Existem várias maneira de construir o conjunto dos números reais, portanto é importante é descobrir se diferentes maneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos com propriedades distintas. Como veremos a seguir, construir os reais usando cortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, em essência, o mesmo conjuntos dos reais construídos usando sequências de Cauchy.

Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e diferentes em sua estrutura, mas isto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.

Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são iguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois existe isomorfismo entre eles, isto é, ambos possuem as mesmas propriedades.

Definição (isomorfismo entre corpos ordenados)Editar

Dizemos que   é um isomorfismo entre corpos ordenados se:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  , com  ;
  4.  , isto é,   é injetiva;
  5.  , ou seja, é sobrejetiva.

ProposiçãoEditar

Se   são corpos ordenados completos, então existe um isomorfismo entre eles.

DemonstraçãoEditar

A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.


A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função   entre os corpos   e   e então provar que essa função é um isomorfismo.


Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que   são corpos, então existe   e  , nada mais natural que definirmos:

Seja   definida da seguinte maneira:  

 

E por indução, para cada  , temos:

 

 


Se  , então sabemos que  , pois como  , então  .

Portanto podemos definir:

 .

Desta forma a função   mapeia   em  .


Vamos mostrar que   é um isomorfismo de corpos ordenados de   em  

  •   preserva a soma:

Por definição, temos  , para todo n natural.

Suponha que  , para todo   tal que  .

 , pela hipótese de indução.

  •   preserva o produto:
  •   preserva a ordem:
  •   é injetora:
  •   é sobrejetora;


Seja   definida da seguinte maneira:

Para cada  , sejam,  . Como  , podemos definir  


Agora vamos provar que   é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.

  •   preserva a soma:
  •   preserva o produto:
  •   preserva a ordem:
  •   é injetora:
  •   é sobrejetora;

Dado