Análise real/Unicidade dos números reais
Existem várias maneira de construir o conjunto dos números reais, portanto é importante é descobrir se diferentes maneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos com propriedades distintas. Como veremos a seguir, construir os reais usando cortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, em essência, o mesmo conjuntos dos reais construídos usando sequências de Cauchy.
Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e diferentes em sua estrutura, mas isto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.
Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são iguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois existe isomorfismo entre eles, isto é, ambos possuem as mesmas propriedades.
Definição (isomorfismo entre corpos ordenados) editar
Dizemos que é um isomorfismo entre corpos ordenados se:
- ;
- ;
- , com ;
- , isto é, é injetiva;
- , ou seja, é sobrejetiva.
Proposição editar
Se são corpos ordenados completos, então existe um isomorfismo entre eles.
Demonstração editar
A demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.
A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função entre os corpos e e então provar que essa função é um isomorfismo.
Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que são corpos, então existe e , nada mais natural que definirmos:
Seja definida da seguinte maneira:
E por indução, para cada , temos:
Se , então sabemos que , pois como , então .
Portanto podemos definir:
.
Desta forma a função mapeia em .
Vamos mostrar que é um isomorfismo de corpos ordenados de em
- preserva a soma:
Por definição, temos , para todo n natural.
Suponha que , para todo tal que .
, pela hipótese de indução.
- preserva o produto:
- preserva a ordem:
- é injetora:
- é sobrejetora;
Seja definida da seguinte maneira:
Para cada , sejam, . Como , podemos definir
Agora vamos provar que é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.
- preserva a soma:
- preserva o produto:
- preserva a ordem:
- é injetora:
- é sobrejetora;
Dado