Análise real/Unicidade dos números reais
Existem várias maneira de construir o conjunto dos números reais, portanto é importante é descobrir se diferentes maneiras de construir os números reais poderiam resultar em conjuntos com propriedades distintas. Como veremos a seguir, construir os reais usando cortes de Dedeking resultará em um conjunto que será, em essência, o mesmo conjuntos dos reais construídos usando sequências de Cauchy.
Se pensarmos estritamente, as várias maneira de construir os números reais de fato criam conjuntos muito estranhos e diferentes em sua estrutura, mas isto é irrelevante, pois o importante é o que podemos fazer com os números reais e não o que eles de fato são.
Como veremos a seguir, é que dois corpos ordenados completos arquimedianos, são iguais, a menos de um isomorfismo. Ou em linguagem mais coloquial, se tivermos dois existe isomorfismo entre eles, isto é, ambos possuem as mesmas propriedades.
Definição (isomorfismo entre corpos ordenados)
editarDizemos que é um isomorfismo entre corpos ordenados se:
- ;
- ;
- , com ;
- , isto é, é injetiva;
- , ou seja, é sobrejetiva.
Proposição
editarSe são corpos ordenados completos, então existe um isomorfismo entre eles.
Demonstração
editarA demonstração NÃO ESTÁ pronta, tenham paciência.
A maneira mais simples de provar que existe um isomorfismo é construir uma função entre os corpos e e então provar que essa função é um isomorfismo.
Vamos começar definindo uma função auxiliar. Sabemos que são corpos, então existe e , nada mais natural que definirmos:
Seja definida da seguinte maneira:
E por indução, para cada , temos:
Se , então sabemos que , pois como , então .
Portanto podemos definir:
.
Desta forma a função mapeia em .
Vamos mostrar que é um isomorfismo de corpos ordenados de em
- preserva a soma:
Por definição, temos , para todo n natural.
Suponha que , para todo tal que .
, pela hipótese de indução.
- preserva o produto:
- preserva a ordem:
- é injetora:
- é sobrejetora;
Seja definida da seguinte maneira:
Para cada , sejam, . Como , podemos definir
Agora vamos provar que é de fato um isomorfismo de corpos ordenados.
- preserva a soma:
- preserva o produto:
- preserva a ordem:
- é injetora:
- é sobrejetora;
Dado