Análise real/Integral de Riemann

A integral de Riemann têm como objetivo calcular a região limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta região através da divisão da mesma em retângulos.

  • Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos.
Integral numericky obd.svg

Propriedades de uma área no Editar

  • Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
  • Por ser 0<y<f(x), temos que  .

Partição do domínio [a,b]Editar

  • Quando particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela com um pequeno erro. É claro que enquanto maior for a partição, menor será o erro.
  • (f,P) significa que a área relacionada a função f estará sendo particionada na partição P.
  • Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos  . Aqui estamos dividindo o intervalo [a,b] em  
  • Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
  • Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)

Soma inferior e soma superiorEditar

  • (A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a
Sejam  
 . Tomando  
  • (A2) Sejam  ; menor e maior "altura" do retângulo de base  
Podemos calcular a área da partição   da seguinte forma:
Por falta   conhecido como soma inferior
Onde  
Por sobra   conhecido como soma superior
Onde  
Como  . Logo  
  • (A3) Seja  

 

  • (A4) o fato que   é análogo a (A3)
  • (A2),(A3)e(A4)  .

Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até   será para nós quando  . Então encontraremos a área da figura.

Relações entre partição e subpartiçãoEditar

Lema 1 (refinando uma partição)Editar

Sejam   limitada e as partições  

 .
DemonstraçãoEditar

Sejam  

  •  
  •  
    • Onde  
  • É verdade que  . Então  
  • De forma análoga se demonstra que  

Teorema 1Editar

Sejam   limitada, quando se refina uma partição a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta

DemonstraçãoEditar

Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.

CorolárioEditar

Sejam   limitada, e as partições P e Q, onde  .

DemonstraçãoEditar

Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos  . Como  .

Integral inferior e integral superiorEditar

Seja   todas as partições de [a,b]

  •   é a integral inferior de f
  •   é a integral superior de f

Pelo Lema 1  .

Logo  .

Lema 2 (soma conservada no refinamento)Editar

Seja   e   são todas as partição de [a,b] que contém c. Assim  , então   são únicos.

DemonstraçãoEditar

  • Em particular  , ou seja, tomemos uma partição que contém {c}
Seja  ; onde  .
Pelo Lema 1  .
  • olhemos para o fato que A' = {cota inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {cota inferior de P} e B = {cota superior de P}
 
sup A = sup A', pois  
 
inf B = inf B', pois  
  •  .

Lema 3Editar

Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais. (a) => (b)

  • (a) Se  , então  
  • (b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B

DemonstraçãoEditar

  • Dado  .
Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B,
  • Dado  
portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B
  • o sup se mostra analogamente

CorolárioEditar

Sejam   limitadas. Então

  • (a)  
  • (b)  

DemonstraçãoEditar

Se  , então  

pelo teorema   e pelo lema 3 temos
(a)  
(b)  

Teorema 2Editar

Sejam   limitada, então

  • (a) 
  • (b) 

DemonstraçãoEditar

  • (a)Sejam  
    •  
      • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
        •  
  • (b)Sejam  
    •  
      • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
        •  

Lema 4Editar

Seja   e  ; Dado   temos:

  • (a)Se c> 0, então  
    • Assim:  
  • (b)Se c< 0, então  
    • Assim:  

DemonstraçãoEditar

  • (a) 
 
  • (b) 
 

Teorema 3Editar

Sejam  

  • (a)  
  • (b)
    • c>0
      •  
      •  
    • c<0
      •  
      •  
  • (c)  , então
    • \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
    • \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx

DemonstraçãoEditar

Funções integráveisEditar

Seja  

Lema 5Editar

DemonstraçõesEditar