A integral de Riemann têm como objetivo calcular a região limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta região através da divisão da mesma em retângulos.
Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos.
Propriedades de uma área no
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
Editar
Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
Por ser 0<y<f(x), temos que
f
(
x
)
>
0
;
∀
x
∈
R
{\displaystyle f(x)>0;\forall x\in \mathbb {R} }
.
Partição do domínio [a,b] Editar
Quando particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela com um pequeno erro. É claro que enquanto maior for a partição, menor será o erro.
(f,P) significa que a área relacionada a função f estará sendo particionada na partição P.
Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos
P
1
=
{
t
0
;
t
1
;
t
2
}
com
t
0
=
a
e
t
2
=
b
{\displaystyle P_{1}=\{t_{0};t_{1};t_{2}\}{\mbox{ com }}t_{0}=a{\mbox{ e }}t_{2}=b}
. Aqui estamos dividindo o intervalo [a,b] em
[
t
0
,
t
1
]
e
[
t
1
,
t
2
]
{\displaystyle [t_{0},t_{1}]{\mbox{ e }}[t_{1},t_{2}]}
Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)
Soma inferior e soma superior Editar
(A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a Sejam
m
=
inf
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
a
,
b
]
}
e
M
=
sup
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
a
,
b
]
}
{\displaystyle m={\mbox{inf}}\{f(x);x\in [a,b]\}{\mbox{ e }}M={\mbox{sup}}\{f(x);x\in [a,b]\}}
m
(
b
−
a
)
≤
M
(
b
−
a
)
{\displaystyle m(b-a)\leq M(b-a)}
. Tomando
P
0
=
{
a
,
b
}
temos
S
_
(
f
;
P
0
)
≤
S
¯
(
f
;
P
0
)
{\displaystyle P_{0}=\{a,b\}{\mbox{ temos }}{\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})}
(A2) Sejam
m
i
e
M
i
{\displaystyle m_{i}\;e\;M_{i}}
; menor e maior "altura" do retângulo de base
t
i
−
t
i
−
1
{\displaystyle t_{i}-t_{i-1}}
Podemos calcular a área da partição
P
1
{\displaystyle P_{1}}
da seguinte forma:
Por falta
A
(
f
a
l
t
a
)
=
m
1
(
t
1
−
t
0
)
+
m
2
(
t
2
−
t
1
)
=
S
_
(
f
;
P
1
)
{\displaystyle A(falta)=m_{1}(t_{1}-t_{0})+m_{2}(t_{2}-t_{1})={\underline {S}}(f;P_{1})}
conhecido como soma inferior
Onde
m
1
=
i
n
f
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
0
,
t
1
]
}
e
m
2
=
i
n
f
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
1
,
t
2
]
}
{\displaystyle m_{1}=inf\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}m_{2}=inf\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}}
Por sobra
A
(
s
o
b
r
a
)
=
M
1
(
t
1
−
t
0
)
+
M
2
(
t
2
−
t
1
)
=
S
¯
(
f
;
P
1
)
{\displaystyle A(sobra)=M_{1}(t_{1}-t_{0})+M_{2}(t_{2}-t_{1})={\overline {S}}(f;P_{1})}
conhecido como soma superior
Onde
M
1
=
s
u
p
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
0
,
t
1
]
}
e
M
2
=
s
u
p
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
1
,
t
2
]
}
{\displaystyle M_{1}=sup\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}M_{2}=sup\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}}
Como
m
1
≤
M
1
e
m
2
≤
M
2
{\displaystyle m_{1}\leq M_{1}{\mbox{ e }}m_{2}\leq M_{2}}
. Logo
S
_
(
f
;
P
1
)
≤
S
¯
(
f
;
P
1
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{1})}
(A3) Seja
m
(
b
−
a
)
=
m
(
t
2
−
t
0
)
. Tomando
t
1
∈
[
t
0
,
t
2
]
, temos
m
(
t
2
−
t
1
+
t
1
−
t
0
)
=
{\displaystyle m(b-a)=m(t_{2}-t_{0}){\mbox{. Tomando }}t_{1}\in [t_{0},t_{2}]{\mbox{, temos }}m(t_{2}-t_{1}+t_{1}-t_{0})=}
=
m
(
t
2
−
t
1
)
+
m
(
t
1
−
t
0
)
≤
m
2
(
t
2
−
t
1
)
+
m
1
(
t
1
−
t
0
)
⇒
S
_
(
f
;
P
0
)
≤
S
_
(
f
;
P
1
)
, pois
m
≤
m
1
e
m
≤
m
2
{\displaystyle =m(t_{2}-t_{1})+m(t_{1}-t_{0})\leq m_{2}(t_{2}-t_{1})+m_{1}(t_{1}-t_{0})\Rightarrow {\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\underline {S}}(f;P_{1}){\mbox{, pois }}m\leq m_{1}{\mbox{ e }}m\leq m_{2}}
(A4) o fato que
S
¯
(
f
;
P
1
)
≤
S
¯
(
f
;
P
0
)
{\displaystyle {\overline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})}
é análogo a (A3)
(A2),(A3)e(A4)
S
_
(
f
;
P
0
)
≤
S
_
(
f
;
P
1
)
≤
S
¯
(
f
;
P
1
)
≤
S
¯
(
f
;
P
0
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\underline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})}
. Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até
|
S
¯
(
f
;
P
∞
)
−
S
_
(
f
;
P
∞
)
|
<
ϵ
,
o
n
d
e
P
∞
{\displaystyle |{\overline {S}}(f;P_{\infty })-{\underline {S}}(f;P_{\infty })|<\epsilon ,onde\;P_{\infty }}
será para nós quando
lim
P
i
→
P
∞
|
t
i
−
t
i
−
1
|
=
0
{\displaystyle \lim _{P_{i}\to P_{\infty }}|t_{i}-t_{i-1}|=0}
. Então encontraremos a área da figura.
Relações entre partição e subpartição Editar
Lema 1 (refinando uma partição) Editar
Sejam
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
limitada e as partições
P
k
−
1
, Q cujo
Q
=
P
k
−
1
∪
{
c
}
{\displaystyle P_{k-1}{\mbox{, Q cujo }}Q=P_{k-1}\cup \{c\}}
S
_
(
f
;
P
k
−
1
)
≤
S
_
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
k
−
1
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{k-1})\leq {\underline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P_{k-1})}
.
Sejam
P
k
−
1
=
{
t
0
,
t
1
,
.
.
.
,
t
l
−
1
,
t
l
,
t
l
+
1
,
.
.
.
t
k
−
1
,
t
k
}
e
Q
=
P
k
−
1
∪
{
c
}
onde
c
∈
[
t
l
−
1
,
t
l
]
{\displaystyle P_{k-1}=\{t_{0},t_{1},...,t_{l-1},t_{l},t_{l+1},...t_{k-1},t_{k}\}{\mbox{ e }}Q=P_{k-1}\cup \{c\}{\mbox{ onde }}c\in [t_{l-1},t_{l}]}
S
_
(
f
;
P
k
−
1
)
=
∑
i
=
1
k
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
=
∑
i
=
1
l
−
1
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
+
m
l
(
t
l
−
t
l
−
1
)
+
∑
i
=
l
k
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{k-1})=\sum _{i=1}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})=\sum _{i=1}^{l-1}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m_{l}(t_{l}-t_{l-1})+\sum _{i=l}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})}
S
_
(
f
;
Q
)
=
∑
i
=
1
l
−
1
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
+
m
′
(
c
−
t
l
−
1
)
+
m
″
(
t
l
−
c
)
+
∑
i
=
l
k
m
i
(
t
i
−
t
i
−
1
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;Q)=\sum _{i=1}^{l-1}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m'(c-t_{l-1})+m''(t_{l}-c)+\sum _{i=l}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})}
Onde
m
′
=
i
n
f
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
t
l
−
1
,
c
]
}
e
m
″
=
i
n
f
{
f
(
x
)
;
x
∈
[
c
,
t
i
]
}
{\displaystyle m'=inf\{f(x);x\in [t_{l-1},c]\}{\mbox{ e }}m''=inf\{f(x);x\in [c,t_{i}]\}}
É verdade que
m
l
(
t
l
−
t
l
−
1
)
=
m
l
(
t
l
−
c
+
c
−
t
l
−
1
)
=
m
l
(
t
l
−
c
)
+
m
l
(
c
−
t
l
−
1
)
como
m
l
≤
m
′
e
m
l
≤
m
″
{\displaystyle m_{l}(t_{l}-t_{l-1})=m_{l}(t_{l}-c+c-t_{l-1})=m_{l}(t_{l}-c)+m_{l}(c-t_{l-1}){\mbox{ como }}m_{l}\leq m'{\mbox{ e }}m_{l}\leq m''}
. Então
S
_
(
f
;
P
k
−
1
)
≤
S
_
(
f
;
Q
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P_{k-1})\leq {\underline {S}}(f;Q)}
De forma análoga se demonstra que
S
¯
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
k
−
1
)
{\displaystyle {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P_{k-1})}
Sejam
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
limitada, quando se refina uma partição a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta
Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.
Sejam
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
limitada, e as partições P e Q, onde
S
_
(
f
;
P
)
≤
S
¯
(
f
;
Q
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P)\leq {\overline {S}}(f;Q)}
.
Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos
S
_
(
f
;
P
)
≤
S
_
(
f
;
P
∪
Q
)
e
S
¯
(
f
;
P
∪
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;P\cup Q){\mbox{ e }}{\overline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P)}
. Como
S
_
(
f
;
P
∪
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
∪
Q
)
⇒
S
_
(
f
;
P
)
≤
S
_
(
f
;
P
∪
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
∪
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P\cup Q)\Rightarrow {\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P)}
.
Integral inferior e integral superior Editar
Seja
f
:
[
a
,
b
]
→
R
limitada e
P
∗
{\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} {\mbox{ limitada e }}P^{*}}
todas as partições de [a,b]
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
=
sup
S
_
(
f
;
P
∗
)
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)\,dx={\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P^{*})}
é a integral inferior de f
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
=
inf
S
¯
(
f
;
P
∗
)
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)\,dx={\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P^{*})}
é a integral superior de fPelo Lema 1
S
_
(
f
;
P
∗
)
≤
sup
S
_
(
f
;
P
∗
)
≤
inf
S
¯
(
f
;
P
∗
)
≤
S
¯
(
f
;
P
∗
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P^{*})\leq {\overline {S}}(f;P^{*})}
.
Logo
S
_
(
f
;
P
∗
)
≤
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
S
¯
(
f
;
P
∗
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx\leq {\overline {S}}(f;P^{*})}
. Lema 2 (soma conservada no refinamento) Editar
Seja
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle c\in ]a,b[}
e
Q
∗
{\displaystyle Q^{*}}
são todas as partição de [a,b] que contém c. Assim
Q
∗
=
P
∗
∪
{
c
}
{\displaystyle Q^{*}=P^{*}\cup \{c\}}
, então
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
,
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx,{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
são únicos.
Em particular
Q
⊂
Q
∗
{\displaystyle Q\subset Q^{*}}
, ou seja, tomemos uma partição que contém {c} Seja
P
=
Q
∖
c
{\displaystyle P=Q\setminus {c}}
; onde
P
⊂
P
∗
{\displaystyle P\subset P^{*}}
.
Pelo Lema 1
S
_
(
f
;
P
)
≤
S
_
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
Q
)
≤
S
¯
(
f
;
P
)
{\displaystyle {\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P)}
. olhemos para o fato que A' = {cota inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {cota inferior de P} e B = {cota superior de P}
A
⊂
A
′
⇒
s
e
a
∈
A
e
a
′
∈
A
′
,
l
o
g
o
a
≤
a
′
{\displaystyle A\subset A'\Rightarrow se\;a\in A\;e\;a'\in A',logo\;a\leq a'}
sup A = sup A', pois
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle c\in ]a,b[}
B
⊂
B
′
⇒
s
e
b
∈
B
e
b
′
∈
B
′
,
l
o
g
o
b
≤
b
′
{\displaystyle B\subset B'\Rightarrow se\;b\in B\;e\;b'\in B',logo\;b\leq b'}
inf B = inf B', pois
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle c\in ]a,b[}
sup
S
_
(
f
;
P
)
=
sup
S
_
(
f
;
Q
)
≤
inf
S
¯
(
f
;
Q
)
=
inf
S
¯
(
f
;
P
)
{\displaystyle {\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P)={\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;Q)\leq {\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;Q)={\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P)}
.
Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais. (a) => (b)
(a) Se
A
=
{
a
∈
A
}
,
B
=
{
b
∈
B
}
{\displaystyle A=\{a\in A\},B=\{b\in B\}}
, então
A
+
B
=
{
a
+
b
;
a
∈
A
,
b
∈
B
}
{\displaystyle A+B=\{a+b;a\in A,b\in B\}}
(b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B
Dado
a
∈
A
,
b
∈
B
,
t
e
m
o
s
a
≥
i
n
f
A
,
b
≥
i
n
f
B
⇒
a
+
b
≥
i
n
f
A
+
i
n
f
B
{\displaystyle a\in A,b\in B,temos\;a\geq infA,b\geq infB\Rightarrow a+b\geq infA+infB}
. Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B, Dado
ϵ
>
0
,
∃
a
′
∈
A
,
b
′
∈
B
;
a
′
<
i
n
f
A
+
ϵ
2
,
b
′
<
i
n
f
B
+
ϵ
2
⇒
a
′
+
b
′
<
i
n
f
A
+
i
n
f
B
+
ϵ
{\displaystyle \epsilon >0,\exists a'\in A,b'\in B;a'<infA+{\epsilon \over 2},b'<infB+{\epsilon \over 2}\Rightarrow a'+b'<infA+infB+\epsilon }
portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B o sup se mostra analogamente
Sejam
f
,
g
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle f,g:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
limitadas. Então
(a)
s
u
p
(
f
+
g
)
≤
s
u
p
(
f
)
+
s
u
p
(
g
)
{\displaystyle sup(f+g)\leq sup(f)+sup(g)}
(b)
i
n
f
(
f
+
g
)
≥
i
n
f
(
f
)
+
i
n
f
(
g
)
{\displaystyle inf(f+g)\geq inf(f)+inf(g)}
Se
A
=
f
(
[
a
,
b
]
)
,
B
=
g
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle A=f([a,b]),\;B=g([a,b])}
, então
C
=
{
f
(
x
)
+
g
(
x
)
;
x
∈
[
a
,
b
]
}
⊂
A
+
B
{\displaystyle C=\{f(x)+g(x);x\in [a,b]\}\subset A+B}
pelo teorema
i
n
f
(
A
+
B
)
≤
i
n
f
(
C
)
≤
s
u
p
(
C
)
≤
s
u
p
(
A
+
B
)
{\displaystyle inf(A+B)\leq inf(C)\leq sup(C)\leq sup(A+B)}
e pelo lema 3 temos
(a)
s
u
p
(
f
+
g
)
=
s
u
p
(
C
)
≤
s
u
p
(
A
+
B
)
=
s
u
p
(
A
)
+
s
u
p
(
B
)
=
s
u
p
(
f
)
+
s
u
p
(
g
)
{\displaystyle sup(f+g)=sup(C)\leq sup(A+B)=sup(A)+sup(B)=sup(f)+sup(g)}
(b)
i
n
f
(
f
+
g
)
=
i
n
f
(
C
)
≥
i
n
f
(
A
+
B
)
=
i
n
f
(
A
)
+
i
n
f
(
B
)
=
i
n
f
(
f
)
+
i
n
f
(
g
)
{\displaystyle inf(f+g)=inf(C)\geq inf(A+B)=inf(A)+inf(B)=inf(f)+inf(g)}
Sejam
c
∈
[
a
,
b
]
,
f
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle c\in [a,b],f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
limitada, então
(a)
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
_
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
_
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx={\underline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\underline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx}
(b)
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
¯
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
¯
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx={\overline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\overline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx}
(a)Sejam
A
=
{
S
_
(
f
/
[
a
,
c
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
,
B
=
{
S
_
(
f
/
[
c
,
b
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
{\displaystyle A=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}}
A
+
B
=
{
S
_
(
f
/
[
a
,
c
]
,
P
)
+
S
_
(
f
/
[
c
,
b
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
=
{
S
_
(
f
/
[
a
,
b
]
,
Q
)
;
∀
Q
⊂
Q
∗
}
{\displaystyle A+B=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P)+{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\underline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}}
pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
=
s
u
p
(
A
+
B
)
=
s
u
p
(
A
)
+
s
u
p
(
B
)
=
∫
_
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
_
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx=sup(A+B)=sup(A)+sup(B)={\underline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\underline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx}
(b)Sejam
A
=
{
S
¯
(
f
/
[
a
,
c
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
,
B
=
{
S
¯
(
f
/
[
c
,
b
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
{\displaystyle A=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}}
A
+
B
=
{
S
¯
(
f
/
[
a
,
c
]
,
P
)
+
S
¯
(
f
/
[
c
,
b
]
,
P
)
;
∀
P
⊂
P
∗
}
=
{
S
¯
(
f
/
[
a
,
b
]
,
Q
)
;
∀
Q
⊂
Q
∗
}
{\displaystyle A+B=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P)+{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\overline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}}
pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
=
i
n
f
(
A
+
B
)
=
i
n
f
(
A
)
+
i
n
f
(
B
)
=
∫
¯
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
¯
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx=inf(A+B)=inf(A)+inf(B)={\overline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\overline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx}
Seja
A
′
⊂
R
{\displaystyle A'\subset \mathbb {R} }
e
A
=
{
x
∈
A
′
;
M
≤
x
≤
N
}
;
A
∩
[
M
,
N
]
≠
∅
{\displaystyle A=\{x\in A';M\leq x\leq N\};A\cap [M,N]\neq \emptyset }
; Dado
c
∈
R
{\displaystyle c\in \mathbb {R} }
temos:
(a)Se c> 0, então
c
⋅
A
=
{
c
.
x
∈
A
′
;
c
⋅
M
≤
c
⋅
x
≤
c
⋅
N
}
{\displaystyle c\cdot A=\{c.x\in A';c\cdot M\leq c\cdot x\leq c\cdot N\}}
Assim:
s
u
p
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
s
u
p
(
A
)
e
i
n
f
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
i
n
f
(
A
)
{\displaystyle sup(c\cdot A)=c\cdot sup(A)\;e\;inf(c\cdot A)=c\cdot inf(A)}
(b)Se c< 0, então
c
⋅
A
=
{
c
.
x
∈
A
′
;
c
⋅
M
≥
c
⋅
x
≥
c
⋅
N
}
{\displaystyle c\cdot A=\{c.x\in A';c\cdot M\geq c\cdot x\geq c\cdot N\}}
Assim:
s
u
p
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
i
n
f
(
A
)
e
i
n
f
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
s
u
p
(
A
)
{\displaystyle sup(c\cdot A)=c\cdot inf(A)\;e\;inf(c\cdot A)=c\cdot sup(A)}
(a)
s
u
p
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
N
=
c
⋅
s
u
p
(
A
)
{\displaystyle sup(c\cdot A)=c\cdot N=c\cdot sup(A)}
i
n
f
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
M
=
c
⋅
i
n
f
(
A
)
{\displaystyle inf(c\cdot A)=c\cdot M=c\cdot inf(A)}
(b)
s
u
p
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
M
=
c
⋅
i
n
f
(
A
)
{\displaystyle sup(c\cdot A)=c\cdot M=c\cdot inf(A)}
i
n
f
(
c
⋅
A
)
=
c
⋅
N
=
c
⋅
s
u
p
(
A
)
{\displaystyle inf(c\cdot A)=c\cdot N=c\cdot sup(A)}
Sejam
f
,
g
:
[
a
,
b
]
↦
{\displaystyle f,g:[a,b]\mapsto }
(a)
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
_
a
b
g
(
x
)
d
x
≤
∫
_
a
b
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
d
x
≤
∫
¯
a
b
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
d
x
≤
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
¯
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\underline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx\leq {\underline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\overline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx}
(b)
c>0
∫
_
a
b
c
⋅
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
∫
¯
a
b
c
⋅
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
c<0
∫
_
a
b
c
⋅
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
¯
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\underline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
∫
¯
a
b
c
⋅
f
(
x
)
d
x
=
c
∫
_
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\overline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx}
(c)
S
e
f
(
x
)
<
g
(
x
)
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle Sef(x)<g(x)\forall ~x\in [a,b]}
, então
\underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
\overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
Funções integráveis Editar
Seja
f
:
[
a
,
b
]
↦
R
{\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} }
Demonstrações Editar