Análise real/Integral de Riemann

A integral de Riemann têm como objetivo calcular a região limitada por funções limitadas em intervalos limitados. E calcularemos esta região através da divisão da mesma em retângulos.

• Já sabemos que a área de um retângulo de lados "a" e "b" é dado por A(Área) = ab. Agora basta saber como faremos a divisão de uma figura por retângulos.

Propriedades de uma área no $\mathbb {R} ^{2}$

• Se a área for limitada por [a,b]x[0,f(x)]. Então temos x=a; x=b; y=0; y=f(x) limitando nossa figura.
• Por ser 0<y<f(x), temos que $f(x)>0;\forall x\in \mathbb {R}$.

Partição do domínio [a,b]

• Quando particionamos a figura em retângulos, conseguimos calcular a área dela com um pequeno erro. É claro que enquanto maior for a partição, menor será o erro.
• (f,P) significa que a área relacionada a função f estará sendo particionada na partição P.
• Se tomarmos inicialmente o intervalo [a,b] e particionarmos uma vez, teremos $P_{1}=\{t_{0};t_{1};t_{2}\}{\mbox{ com }}t_{0}=a{\mbox{ e }}t_{2}=b$. Aqui estamos dividindo o intervalo [a,b] em $[t_{0},t_{1}]{\mbox{ e }}[t_{1},t_{2}]$
• Generalizando, podemos particionar o intervalo [a,b] quantas vezes quisermos.
• Estaremos trocando A(Área) por S(soma de áreas)

Soma inferior e soma superior

• (A1) Sejam m e M; menor e maior "altura" do retângulo de base b-a

Sejam $m={\mbox{inf}}\{f(x);x\in [a,b]\}{\mbox{ e }}M={\mbox{sup}}\{f(x);x\in [a,b]\}$

$m(b-a)\leq M(b-a)$. Tomando $P_{0}=\{a,b\}{\mbox{ temos }}{\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})$

• (A2) Sejam $m_{i}\;e\;M_{i}$; menor e maior "altura" do retângulo de base $t_{i}-t_{i-1}$

Podemos calcular a área da partição $P_{1}$ da seguinte forma:

Por falta $A(falta)=m_{1}(t_{1}-t_{0})+m_{2}(t_{2}-t_{1})={\underline {S}}(f;P_{1})$ conhecido como soma inferior

Onde $m_{1}=inf\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}m_{2}=inf\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}$

Por sobra $A(sobra)=M_{1}(t_{1}-t_{0})+M_{2}(t_{2}-t_{1})={\overline {S}}(f;P_{1})$ conhecido como soma superior

Onde $M_{1}=sup\{f(x);x\in [t_{0},t_{1}]\}{\mbox{ e }}M_{2}=sup\{f(x);x\in [t_{1},t_{2}]\}$

Como $m_{1}\leq M_{1}{\mbox{ e }}m_{2}\leq M_{2}$. Logo ${\underline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{1})$

• (A3) Seja $m(b-a)=m(t_{2}-t_{0}){\mbox{. Tomando }}t_{1}\in [t_{0},t_{2}]{\mbox{, temos }}m(t_{2}-t_{1}+t_{1}-t_{0})=$

$=m(t_{2}-t_{1})+m(t_{1}-t_{0})\leq m_{2}(t_{2}-t_{1})+m_{1}(t_{1}-t_{0})\Rightarrow {\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\underline {S}}(f;P_{1}){\mbox{, pois }}m\leq m_{1}{\mbox{ e }}m\leq m_{2}$

• (A4) o fato que ${\overline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})$ é análogo a (A3)
• (A2),(A3)e(A4) ${\underline {S}}(f;P_{0})\leq {\underline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{1})\leq {\overline {S}}(f;P_{0})$.

Pelo que vimos acima, quando acrescentamos um único ponto a partição inicial [a,b], a nossa soma inferior ficou maior, e nossa soma superior ficou menor. A nossa idéia então é fazer com que elas se aproximem o suficiente até $|{\overline {S}}(f;P_{\infty })-{\underline {S}}(f;P_{\infty })|<\epsilon ,onde\;P_{\infty }$ será para nós quando $\lim _{P_{i}\to P_{\infty }}|t_{i}-t_{i-1}|=0$. Então encontraremos a área da figura.

Relações entre partição e subpartição

Lema 1 (refinando uma partição)

Sejam $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ limitada e as partições $P_{k-1}{\mbox{, Q cujo }}Q=P_{k-1}\cup \{c\}$

${\underline {S}}(f;P_{k-1})\leq {\underline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P_{k-1})$.

Demonstração

Sejam $P_{k-1}=\{t_{0},t_{1},...,t_{l-1},t_{l},t_{l+1},...t_{k-1},t_{k}\}{\mbox{ e }}Q=P_{k-1}\cup \{c\}{\mbox{ onde }}c\in [t_{l-1},t_{l}]$

• ${\underline {S}}(f;P_{k-1})=\sum _{i=1}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})=\sum _{i=1}^{l-1}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m_{l}(t_{l}-t_{l-1})+\sum _{i=l}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})$
• ${\underline {S}}(f;Q)=\sum _{i=1}^{l-1}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})+m'(c-t_{l-1})+m''(t_{l}-c)+\sum _{i=l}^{k}m_{i}(t_{i}-t_{i-1})$
  • Onde $m'=inf\{f(x);x\in [t_{l-1},c]\}{\mbox{ e }}m''=inf\{f(x);x\in [c,t_{i}]\}$
• É verdade que $m_{l}(t_{l}-t_{l-1})=m_{l}(t_{l}-c+c-t_{l-1})=m_{l}(t_{l}-c)+m_{l}(c-t_{l-1}){\mbox{ como }}m_{l}\leq m'{\mbox{ e }}m_{l}\leq m''$. Então ${\underline {S}}(f;P_{k-1})\leq {\underline {S}}(f;Q)$
• De forma análoga se demonstra que ${\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P_{k-1})$

Teorema 1

Sejam $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ limitada, quando se refina uma partição a soma inferior não diminui e a soma superior não aumenta

Demonstração

Pelo Lema 1, Q é uma refinação da partição P.

Corolário

Sejam $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ limitada, e as partições P e Q, onde ${\underline {S}}(f;P)\leq {\overline {S}}(f;Q)$.

Demonstração

Refinando P nos pontos de Q, e refinando Q nos pontos de P teremos ${\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;P\cup Q){\mbox{ e }}{\overline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P)$. Como ${\underline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P\cup Q)\Rightarrow {\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P\cup Q)\leq {\overline {S}}(f;P)$.

Integral inferior e integral superior

Seja $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} {\mbox{ limitada e }}P^{*}$ todas as partições de [a,b]

• ${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)\,dx={\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P^{*})$ é a integral inferior de f
• ${\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)\,dx={\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P^{*})$ é a integral superior de f

Pelo Lema 1 ${\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P^{*})\leq {\overline {S}}(f;P^{*})$.

Logo ${\underline {S}}(f;P^{*})\leq {\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx\leq {\overline {S}}(f;P^{*})$.

Lema 2 (soma conservada no refinamento)

Seja $c\in ]a,b[$ e $Q^{*}$ são todas as partição de [a,b] que contém c. Assim $Q^{*}=P^{*}\cup \{c\}$, então ${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx,{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$ são únicos.

Demonstração

• Em particular $Q\subset Q^{*}$, ou seja, tomemos uma partição que contém {c}

Seja $P=Q\setminus {c}$; onde $P\subset P^{*}$.

Pelo Lema 1 ${\underline {S}}(f;P)\leq {\underline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;Q)\leq {\overline {S}}(f;P)$.

• olhemos para o fato que A' = {cota inferior de Q} e B' = {cota superior de Q}; A = {cota inferior de P} e B = {cota superior de P}

$A\subset A'\Rightarrow se\;a\in A\;e\;a'\in A',logo\;a\leq a'$

sup A = sup A', pois $c\in ]a,b[$

$B\subset B'\Rightarrow se\;b\in B\;e\;b'\in B',logo\;b\leq b'$

inf B = inf B', pois $c\in ]a,b[$

• ${\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;P)={\mbox{ sup }}{\underline {S}}(f;Q)\leq {\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;Q)={\mbox{ inf }}{\overline {S}}(f;P)$.

Lema 3

Sejam A, B subconjuntos não vazios e limitados dos reais. (a) => (b)

• (a) Se $A=\{a\in A\},B=\{b\in B\}$, então $A+B=\{a+b;a\in A,b\in B\}$
• (b) inf(A+B) = inf A + inf B ; sup(A+B) = sup A + Sup B

Demonstração

• Dado $a\in A,b\in B,temos\;a\geq infA,b\geq infB\Rightarrow a+b\geq infA+infB$.

Assim inf A + inf B é uma cota inferior de A+B,

• Dado $\epsilon >0,\exists a'\in A,b'\in B;a'<infA+{\epsilon \over 2},b'<infB+{\epsilon \over 2}\Rightarrow a'+b'<infA+infB+\epsilon$

portanto inf A + inf B é o ínfimo do conjunto A + B

• o sup se mostra analogamente

Corolário

Sejam $f,g:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ limitadas. Então

• (a) $sup(f+g)\leq sup(f)+sup(g)$
• (b) $inf(f+g)\geq inf(f)+inf(g)$

Demonstração

Se $A=f([a,b]),\;B=g([a,b])$, então $C=\{f(x)+g(x);x\in [a,b]\}\subset A+B$

pelo teorema $inf(A+B)\leq inf(C)\leq sup(C)\leq sup(A+B)$ e pelo lema 3 temos

(a) $sup(f+g)=sup(C)\leq sup(A+B)=sup(A)+sup(B)=sup(f)+sup(g)$

(b) $inf(f+g)=inf(C)\geq inf(A+B)=inf(A)+inf(B)=inf(f)+inf(g)$

Teorema 2

Sejam $c\in [a,b],f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ limitada, então

• (a)${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx={\underline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\underline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx$
• (b)${\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx={\overline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\overline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx$

Demonstração

• (a)Sejam $A=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}$
  • $A+B=\{{\underline {S}}(f/[a,c],P)+{\underline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\underline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}$
    • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
      • ${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx=sup(A+B)=sup(A)+sup(B)={\underline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\underline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx$
• (b)Sejam $A=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P);\forall P\subset P^{*}\},B=\{{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}$
  • $A+B=\{{\overline {S}}(f/[a,c],P)+{\overline {S}}(f/[c,b],P);\forall P\subset P^{*}\}=\{{\overline {S}}(f/[a,b],Q);\forall Q\subset Q^{*}\}$
    • pelo lema 2 e pelo lema 3 temos
      • ${\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx=inf(A+B)=inf(A)+inf(B)={\overline {\int }}_{a}^{c}f(x)dx+{\overline {\int }}_{c}^{b}f(x)dx$

Lema 4

Seja $A'\subset \mathbb {R}$ e $A=\{x\in A';M\leq x\leq N\};A\cap [M,N]\neq \emptyset$; Dado $c\in \mathbb {R}$ temos:

• (a)Se c> 0, então $c\cdot A=\{c.x\in A';c\cdot M\leq c\cdot x\leq c\cdot N\}$
  • Assim: $sup(c\cdot A)=c\cdot sup(A)\;e\;inf(c\cdot A)=c\cdot inf(A)$
• (b)Se c< 0, então $c\cdot A=\{c.x\in A';c\cdot M\geq c\cdot x\geq c\cdot N\}$
  • Assim: $sup(c\cdot A)=c\cdot inf(A)\;e\;inf(c\cdot A)=c\cdot sup(A)$

Demonstração

• (a)$sup(c\cdot A)=c\cdot N=c\cdot sup(A)$

$inf(c\cdot A)=c\cdot M=c\cdot inf(A)$

• (b)$sup(c\cdot A)=c\cdot M=c\cdot inf(A)$

$inf(c\cdot A)=c\cdot N=c\cdot sup(A)$

Teorema 3

Sejam $f,g:[a,b]\mapsto$

• (a) ${\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\underline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx\leq {\underline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx\leq {\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx+{\overline {\int }}_{a}^{b}g(x)dx$
• (b)
  • c>0
    • ${\underline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$
    • ${\overline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$
  • c<0
    • ${\underline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\overline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$
    • ${\overline {\int }}_{a}^{b}c\cdot f(x)dx=c{\underline {\int }}_{a}^{b}f(x)dx$
• (c) $Sef(x)<g(x)\forall ~x\in [a,b]$, então
  • \underline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \underline {\int}_{a}^{b} g(x)dx
  • \overline {\int}_{a}^{b} f(x)dx \le \overline {\int}_{a}^{b} g(x)dx

Funções integráveis

Seja $f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$