Análise real/Completude

CompletudeEditar

Os números racionais   satisfazem todos os axiomas de Corpo Arquimediano, detalhadas no capítulo anterior. Por isso, se quisermos justificar a necessidade dos números reais então claramente precisamos de algo a mais. Este "algo mais" é a completude. Existem várias maneiras equivalentes de descrever essa completude, mas a maioria deles exige de nós conhecer um pouco sobre sequências, que nós não introduziremos até o próximo capítulo, portanto, de momento, só podemos dar uma definição.

Intuitivamente, é fácil ver que   tem "buracos", por exemplo, podemos dividir   em duas partes, a primeira formada pelos números que são negativos ou cujo quadrado é menor que 2, e a segunda formada pelos números positivos cujo quadrado é maior que 2. Como a raiz quadrada de dois não é um número racional, vemos que esta divisão de   foi feita de forma que todos os números da primeira metade são menores que todos os números da segunda metade, mas não ficou nenhum número separando as duas.

Se lembrarmos dos axiomas da geometria, um deles diz que "um ponto divide uma reta em duas partes". Podemos pegar este axioma e virá-lo ao avesso, ou seja, "se uma reta está dividida em duas partes, então tem um ponto separando as duas". Note que   pode ser dividido em duas partes sem que haja um "ponto" (um número racional) no meio.

Em  , sempre que for feita uma divisão em duas partes, de modo que todos os números da primeira parte sejam menores que os números da segunda parte, então tem que existir um número real no meio, separando as duas partes; este número pertence ou à primeira parte, ou à segunda.

Cota SuperiorEditar

Seja   Dizemos   é uma cota superior para   se

 

Por exemplo,   é uma cota superior para   assim como   mas   não é, porque   e   Um conjunto com uma cota superior   é dito ser limitado superiormente por  .

Supremo e ÍnfimoEditar

Dizemos que   é o extremo superior ou supremo de   se   é a menor das cotas superiores de   e   é qualquer extremo superior para   então   Mais formalmente:

 

Do mesmo modo, dizemos que   é cota inferior para   se

 

E dizemos que   é a maior das cotas inferiores ou ínfimo de   se:

 

É fácil ver que o supremo (ou ínfimo), se existem, devem ser únicos. Se existem, o supremo e ínfimo de um conjunto   são indicadas   e   respectivamente.

O axioma completudeEditar

Agora estamos finalmente prontos para indicar o último axioma, que é de completude:

  • Se   é não-vazio e tem uma cota superior, então   tem o menor das cotas superiores.
  • Se   é não-vazio e tem uma cota inferior, então   tem a maior das cotas inferiores.

É de salientar, neste ponto, a fim de evitar possíveis confusões que, geralmente, nos estudo dos conjuntos ordenados, a definição de completude, é que cada subconjunto tem a menor cota superior, e não há qualquer condição de que seja não-vazio ou limitado superiormente. No entanto, nós, realmente, desejamos impor estas duas condições neste caso.

Podemos também trocar têm uma cota superior por é limitado superiormente e têm uma cota inferior por é limitado inferiormente.

Outros axiomas de completudeEditar

Existem outros maneiras equivalentes de definir o axioma completude, mas envolvem sequências, então devemos falar sobre elas depois de discutido esse tema. Por causa da existência dessas outras formas, esse axioma é algumas vezes chamado de axioma do menor das cotas superiores.

CompletudeEditar

O significade de completeness: é um axioma relacionado com supremo e ínfimo. Que busca uma 'completude' nesses conceitos.

Propriedades de supremo e ínfimoEditar

Nós estaremos fazendo muito trabalho com a Menor das cotas superiores, por isso será importante saber como usá-los de forma eficiente nas provas. Aqui estão algumas definições e propriedades que são úteis a este respeito:

Unicidade do supremo, isto é, da menor das cotas superioresEditar

Todo conjunto não vazio que é limitado superiormente têm um único menor das cotas superiores, ou supremo (dito  ).

ProvaEditar

Sejam   e   duas menores cotas superiores de um conjunto  

Se   então   é uma cota superior para     não pode ser a menor das cotas superiores. Assim   Similarmente,   Assim   então   pode ter somente uma menor das cotas superiores.

Unicidade do infímo, isto é, da maior das cotas inferioresEditar

Todo conjunto não vazio S que é limitado inferiormente têm um único maior das cotas inferiores, ou ínfimo (dito  ).

ProvaEditar

Seja S não-vazio e limitado inferiormente. Seja  

Como S é não-vazio,   Assim   então T é não-vazio.

Como S é limitado inferiormente,  

Então  

Logo T é limitado superiormente por -M, e portanto T têm a menor das cotas superiores,  

Como     é uma cota inferior para S.

Seja   uma cota inferior para S.

Logo   então   é uma cota superior para T.

Como   é a menor cota superior para T,   e assim  

Assim toda cota inferior para S é menor ou igual a  

Ou seja,   é a maior cota inferior para S.

A unicidade segue similarmente ao da maior das cotas superiores.

Teorema (Ordenação dos Sups e Infs)Editar

Se   onde S é não-vazio e T é limitado, então  

ProvaEditar

Como S é não-vazio, ele contêm um elemento x. Por definição,   e   então  

Como T é limitado superiormente, ele têm a maior das cotas superiores,  

Como t é em particular uma cota superior para T,   Como    

Logo   é uma cota superior para S, Então   existe e por definição  

Similarmente,  

Propriedade do supremo e ínfimoEditar

 

  • supremo
  1.  
  2.  
  • ínfimo
  1.  
  2.  

Existência de um elemento tão próximo do supremo quanto queremosEditar

Seja   não vazio e limitado superiormente por  . Para qualquer   dado, deve existir pelo menos um   tal que  .

ProvaEditar

Qualquer que seja   devemos ter que  . Somando   dos dois lados da inequação, teremos que  . Como M é o supremo de X, logo   não pode ser o supremo de X. Assim deve existir   tal que  . Como  , temos que  . Juntando as duas desigualdades, temos que  .

Dois conjuntos de cotasEditar

Dois conjuntos,  , não vazios, são de cotas quando:

  • qualquer elemento de X é cota inferior(ou superior) de Y e
  • qualquer elemento de Y é cota superior(ou inferior) de X.

Consequência de dois conjuntos serem de cotasEditar

Sejam  , conjuntos não-vazios, tal que,   temos que:

  • X é limitado superiormente
  • Y é limitado inferiormente
  •  .

provaEditar

  • Tome   de forma arbitrária. Por hipótese,  . Assim y é uma cota superior de X. Logo X é limitado superiormente por y. Pelo axioma do supremo, existe o sup X e é único. Tome  . Como M é a menor das cotas superiores de X e y é uma cota superior de X, logo  .
  • Como y foi escolhido de maneira arbitrária, temos que  . Assim M é uma cota inferior de Y. Assim Y é limitado inferiormente por M, pelo axioma de ínfimo, existe o inf Y e é único. Tome  .
  • Como N é a maior das cotas inferiores e M é uma cota inferior, logo  .

Caso particular: IgualdadeEditar

Sejam  , conjuntos não-vazios, sendo X limitado superiormente e Y limitado inferiormente. Suponha ainda que  . Se   tais que  , então  

provaEditar

  • Sejam  . Suponha por contradição que  . Pela lei da tricotomia  .
  • Suponha que  . Pela definição de supremo e ínfimo,   e  . Pela transitividade da inequação temos que  
  • Assim  . (1)
  • Como   pela propriedade arquimediana, existe   tal que  .
  • Por hipótese temos que   tais que  . Pela transitividade da inequação  . (2)
  • Perceba que (1) e (2) se contradizem, logo foi um absurdo considerar que M<N.
  • Analogamente será um absurdo considerar que N<M.
  • Portanto M=N.

Ver tambémEditar