Análise real/Números racionais


Grupo Aditivo dos Inteiros (Z,+)Editar

O conjunto dos inteiros e a operação de adição formam um grupo e a multiplicação carece de inversas. Se permitirmos que a multiplicação e a adição operem nos nós poderemos definir um conjunto onde todo elemento, exceto o zero, tem um inverso multiplicativo. Este é o conjunto de números racionais.

Números RacionaisEditar

A próxima extensão padrão adiciona a possibilidade de quocientes ou divisão, e dá-nos os números racionais(ou apenas racionais)   Que inclui o inverso multiplicativo de   da forma   frações como a   bem como produtos dos dois conjuntos a partir de   como   Os racionais nos permitem usar precisão arbitrária, e eles são suficientes para medição.

Os números racionais podem ser construídos a partir dos inteiros como classe de equivalência de pares ordenados (a, b) de inteiros, com b ≠ 0, tal que (a, b) e (c, d) são equivalentes quando ad = bc usando a definição de multiplicação de inteiros. Estes pares ordenados são, é claro, comumente escritos   Pode-se definir adição como (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd) e multiplicação como (a, b) . (c, d) = (ac, bd); todos usando a definição de adição e multiplicação de inteiros.

Esta construção dos racionais a partir dos inteiros é denominada construção do corpo de frações de um anel; nem todos anéis podem ter um corpo de frações, mas uma classe especial de anéis, os domínios de integridade, podem. Entre os domínios de integridade estão os inteiros e o anel dos polinômios com coeficientes em um corpo ou domínio de integridade.


Ver tambémEditar