Análise real/Os números reais

Porque precisamos dos números reais

Este é um bom momento para justificar o tema da análise real, o que reduz essencialmente para justificar a necessidade de estudar $\mathbb {R}$ . Portanto, o que está faltando? Porque é preciso algo além dos racionais?

O primeiro sinal de problema é a raíz quadrada. Famoso dilema, ${\sqrt {(}}2)$ não é um racional - em outras palavras, não existe um número racional que ao quadrado dá $2$ (veja os exercícios). Este fato tem uma curiosa consequência - considere as seguintes funções: $f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} ;x\mapsto \left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{se }}x^{2}<2\\1&{\mbox{se }}x^{2}>2\\\end{matrix}}\right.$

É evidente que esta função tem um salto dramático em torno do racional $1,4$ , onde ele muda de repente, inicialmente sendo igual a zero e muda para ser igual a um. No entanto, é impossível estabelecer exatamente onde esse salto acontece. Qualquer número racional específico é seguro de um lado ou para o outro, esta função é contínua, de acordo com a definição usual de continuidade. Conceito que ficará claro num capítulo posterior.

É esta falha que os números reais são projetados para consertar. Vamos definir os números reais $\mathbb {R}$ para que não importe o quão hábil tentaremos ser, se uma função tem um "salto" da forma que $f$ faz, em seguida sempre seremos capaz de encontrar um número específico em que ela salta.

As seções seguintes descrevem as propriedades dos $\mathbb {R}$ , que tornam isso possível.

Diferentes perspectivas

A fim de provar alguma coisa sobre o números reais, precisamos saber quais são as suas propriedades. Existem duas abordagens diferentes para descrever essas propriedades - axiomática e construtiva.

Uma abordagem axiomática

Quando tomarmos uma abordagem axiomática, simplesmente faremos uma série de afirmações sobre $\mathbb {R}$ , e assumir que são titulares. As afirmações que fazemos são chamados axiomas- num contexto matemático este termo significa aproximadamente "pressuposto básico". A vantagem desta abordagem é que é exatamente claro o que temos de assumir para obter os resultados que desejamos, e, além disso, podemos proceder imediatamente a dedução desses resultados. A desvantagem desta abordagem é que ela pode não ser imediatamente evidente que qualquer objeto que satisfaça as propriedades que desejamos ainda existe!

Uma abordagem construtiva

Com uma abordagem construtiva, não estamos felizes simplesmente para assumir exatamente aquilo que queremos, mas sim tentarmos construir $\mathbb {R}$ de algo mais simples e, em seguida, provar que ela tem as propriedades que queremos. Desta forma, o que poderia ter sido axiomas tornam-se teoremas. Existem várias maneiras de fazer isso, a partir de $\mathbb {Q}$ e usando algum método para 'encher as lacunas entre as racionais'. Todos esses métodos são bastante complexos e serão adiadas até a próxima secção.

Os axiomas

Então, quais são esses axiomas que vamos precisar? A versão curta é dizer que $\mathbb {R}$ é um Corpo ordenado completo. Isto é, de fato, dizendo muitas coisas:

Que $\mathbb {R}$ é um corpo ordenado arquimediano.
Que $\mathbb {R}$ é completo e ordenado (Note que o significado da integralidade aqui não é exatamente o mesmo que o sentido comum no estudo dos conjuntos parcialmente ordenados).
Que as operações algébricas (adição e multiplicação) descritas pelo axiomas de corpo interagem com a ordenação na forma esperada.

Mais detalhadamente, afirmarmos o seguinte:

$\mathbb {R}$ é um corpo. Por isso, exigimos que as operações binárias adição (denotado $+$ ) e multiplicação(denotado $\times$ ) definida sobre $\mathbb {R}$ , e os elementos distintos $0$ e $1$ satisfazendo:
1. $(\mathbb {R} ,+,0)$ é um grupo comutativo, satisfazendo:
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x+y)+z=x+(y+z)$ (associatividade)
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} :x+y=y+x$ (comutatividade)
  3. $\forall x\in \mathbb {R} :x+0=x$ (identidade)
  4. $\forall x\in \mathbb {R} :\exists y\in \mathbb {R} :x+y=0$ (inverso)
2. $(\mathbb {R} \setminus \{0\},\times ,1)$ é um grupo comutativo, satisfazendo:
  1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$ (associatividade)
  2. $\forall x,y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=y\times x$ (comutatividade)
  3. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times 1=x$ (identidade)
  4. $\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:\exists y\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:x\times y=1$ (inverso)
3. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ (distributividade)
$\mathbb {R}$ é um conjunto totalmente ordenado. Por isto, exigimos uma relação (denotado por $\leq$ ) satisfazendo:
1. $\forall x\in \mathbb {R} :x\leq x$ (reflexividade)
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\mbox{ e }}y\leq z)\implies x\leq z$ (transitividade)
3. $\forall x,y\in \mathbb {R} :(x\leq y{\mbox{ e }}y\leq x)\implies x=y$ (anti-simetria)
4. $\forall x,y\in \mathbb {R} :{\mbox{temos}}(x\leq y){\mbox{ ou }}(y\leq x)$ (totalidade)
$\mathbb {R}$ é um corpo ordenado se o conjunto $\mathbb {R} ^{+}$ satisfaz as condições abaixo:
1. $\mathbb {R} ^{+}$ é fechado para a soma e para o produto
  - $\forall x,y\in \mathbb {R} ^{+}\Rightarrow x+y\in \mathbb {R} ^{+}$ e $x\times y\in \mathbb {R} ^{+}$ ;
2. Dado $x\in \mathbb {R}$ aplicamos a tricotomia:
  - $x=0$ ou $x\in \mathbb {R} ^{+}$ ou $-x\in \mathbb {R} ^{+}$
O Corpo com operações e ordem interagem de maneira esperada, satisfazendo:
1. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :x\leq y\implies (x+z)\leq (y+z)$
2. $\forall x,y,z\in \mathbb {R} :(x\leq y{\mbox{ e }}0\leq z)\implies (x\times z)\leq (y\times z)$

Esta é uma grande lista, e se não for utilizado para os axiomas matemáticos (ou mesmo se você estiver!) pode parecer um pouco assustador, especialmente desde que ainda tenha dado detalhes do que significa perfeição. Esta é uma das mais longas lista de axiomas, em qualquer região da matemática, mas se você analisar uma de cada vez, você vai descobrir que todos eles estabelecem coisas que você provavelmente já tomou conhecimento como "a forma como os números se comportam' sem um segundo pensamento.

Estes axiomas são tão exigentes que existe um sentido em que se especifiquem o número real precisamente. Em outras palavras $\mathbb {R}$ é somente o corpo ordenado completo.

Outras notações

Tendo definido essas operações e relações nos $\mathbb {R}$ , precisamos introduzir mais notações para melhor falar sobre elas. Esperamos que todas estas convenções devem ser familiares para você, mas é importante apresentar formalmente todas elas para evitar confusões na sequência de equívoco de notação:

Ao invés de escrever $\times$ de multiplicação, podemos simplesmente denotá-la por justaposição. Em outras palavras, é escrever $xy$ para denotar $x\times y$ .
Uma vez que tanto multiplicação e a adição são associativas, omitiremos os desnecessários parênteses quando vários números são adicionados ou multiplicados. Em outras palavras, em vez de escrever $(x+y)+z$ ou $x+(y+z)$ , que são iguais, nós simplesmente escreveremos $x+y+z$ para indicar seu valor comum.
Para colocar parênteses em uma expressão, por convenção, a multiplicação tem maior precedência que a adição. Assim, por exemplo, a expressão $x+yz$ deve ser interpretada como $x+(yz)$ , ao invés de $(x+y)z$ .
O número $x+y$ é chamado a soma de $x$ e $y$ .
O número $xy$ é chamado o produto de $x$ e $y$ .
O inverso aditivo de $x$ é escrito como $-x$ , e chamado o negativo ou negativo de $x$ . Então, $x+(-x)=0$ .
O inverso multiplicativo de $x$ é escrito como $x^{-1}$ , e chamado o recíproco, ou simplesmente o inverso de $x$ . Então, $x(x^{-1})=1$ .
Definimos a operação binária de subtração como se segue: $\forall x,y\in \mathbb {R}$ , definimos $x-y=x+(-y)$ . O número $x-y$ é chamado a diferença de $x$ e $y$ .
Subtração tem a mesma precedência que a adição (menos superior que a multiplicação), e quando as duas operações estão mixadas sem os parênteses, Esquerda-associatividade está implícita. Por exemplo, $a+b-c-d+e$ deverá ser interpretada como $(((a+b)-c)-d)+e$ .
Definimos a operação binária de divisão como se segue: $\forall x,y\in \mathbb {R}$ , com $y\not =0$ , definimos $x/y=x(y^{-1})$ . O número $x/y$ é chamado o quociente de $x$ e $y$ , e também é denotado ${\frac {x}{y}}$ .
A divisão tem uma precedência bastante superior que da adição ou subtração, mas não existe uma simples convenção sobre como deve ser mixado a multiplicação e a divisão. Usando a notação ${\frac {x}{y}}$ , em vez da notação $x/y$ contribui para evitar confusões.
Definimos a operação binária de exponenciação como se segue: $\forall x\in \mathbb {R}$ e $n\in \mathbb {N} _{0}$ , definimos $x^{n}$ Recursivamente por $x^{0}=1$ e $x^{n+1}=(x^{n})x$ . Então para $n\in \mathbb {Z}$ , com $n<0$ , definimos $x^{n}=(x^{-1})^{-n}$ .
A exponenciação têm uma precedência bastante superior que qualquer de divisão, multiplicação, adição e subtração. Por exemplo, $ab^{2}+d^{3}$ deverá ser interpretado como $(a(b^{2}))+(d^{3})$ .
Escrevemos $x\geq y$ para significar que $y\leq x$ .
Escrevemos $x<y$ para significar que $x\leq y$ e $x\not =y$ .
Escrevemos $x>y$ para significar que $y<x$ .
Para abreviar uma coleção de equações ou inequações, podem ser contribuídos juntos. Por exemplo, a expressão $a\leq b=c=d<e$ deverá ser interpretada como $a\leq b$ e $b=c$ e $c=d$ e $d<e$ .
Dizemos que $x$ é positivo significando $x>0$ .
Dizemos que $x$ é negativo significando $x<0$ .
Dizemos que $x$ é não-positivo significando $x\leq 0$ .
Dizemos que $x$ é não-negativo significando $x\geq 0$ .
Também introduzimos a notação comum para diversas variedades de subconjuntos dos $\mathbb {R}$ . Todos estes subconjuntos são chamados intervalos:
- $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$ (chamado de intervalo fechado de $a$ até $b$ ).
- $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$ (chamado de intervalo aberto de $a$ até $b$ )
- $[a,b)=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$
- $(a,b]=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$
  - $[a,a]=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq a\}$ chamado de intervalo degenerado, pois o único elemento do conjunto é o próprio a
- Em todos casos, $a$ é chamado o limite inferior do intervalo, e $b$ é chamado de limite superior.
- Uma exclusão do limite inferior (nos casos 2 e 4) podem ser substituídos por $-\infty$ para indicar que não existe restrição inferior. Por exemplo $(-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} :x\leq b\}$ .
- Similarmente, uma exclusão do limite superior (nos casos 2 e 3) podem ser substituídos por $\infty$ . Por exemplo, $(-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$ .
- Alguns intervalos específicos que aparecem frequentemente são os intervalos unitários fechados, ou seja intervalos unitários, que é $[0,1]$ , e ${\mathbb {R} }^{+}=(0,\infty )$ , os números reais positivos .

Todo corpo ordenado é infinito e têm "característica zero", ou seja, ${\begin{matrix}\underbrace {1+1+\cdots +1} \\quantas-vezes-quisermos\end{matrix}}\not =0$

Teorema (valor absoluto)

Sejam x,a elementos de um corpo ordenado $\mathbb {R}$ . As seguintes afirmações são equivalentes:

$-a\leq x\leq a$ ;
$x\leq a$ e $-x\leq a$ ;
$|x|\leq a$ ;

Corolário (distância restrita)

Dados $a,b,x\in \mathbb {R}$ tem-se $|x-a|\leq b\Leftrightarrow a-b\leq x\leq a+b$

Prova

Definição (Ponto em um intervalo)

$x\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )\Leftrightarrow a-\epsilon <x<a+\epsilon \Leftrightarrow |x-a|<\epsilon$

Teorema (Relações com módulo)

$\forall x,y,z\in \mathbb {R}$ temos

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ ;
$\|xy|=\|x\|\|y\|$
$\|x\|-\|y\|\leq |\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|$
$\|x-z\|\leq \|x-y\|+\|y-z\|$

Prova

.
.
b) $\|x\|=\|x-y+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|$ e $\|y\|=\|y-x+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|$ , logo $|\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|$
.

Alguns resultados simples

Neste ponto, há um grande número de resultados muito simples que podemos deduzir sobre estas operações a partir dos axiomas. Algumas destas são definidas e outras delas têm provas. As restantes provas devem ser considerados exercícios de manipular axiomas. O objetivo destes resultados é que nos permitam efetuar qualquer manipulação, que pensamos é "obviamente verdade", devido à nossa experiência de trabalhar com números. Salvo quantificados, o seguinte deveria realizar para todos.

$0$ é a única identidade aditiva.

Prova: Suponha que

x

é uma identidade aditiva, então

x=x+0=0

.

\Box

$1$ é a única identidade multiplicativa.

Ambas inversas aditivas e multiplicativas são únicas. Mais formamente: Se ambos $x+y=0$ e $x+z=0$ então $y=z$ ; e se ambos $xy=1$ e $xz=1$ então $y=z$ (De modo que a notação $-x$ e $x^{-1}$ fazem sentido).

Prova: Para o caso de adição: Temos

x+y=0

e

x+z=0

, de modo que acrescentando

y

a esta última equação, temos

(x+z)+y=0+y

, mas, em seguida, por comutatividade e associatividade deduzimos que

(x+y)+z=0+y

, E por outro lado pressupomos que

0+z=y+0

e, em seguida, pela identidade do outro lado

z=y

.

\Box

$-(-x)=x$

$\forall x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:(x^{-1})^{-1}=x$

$0\times x=0$

$0$ não têm inverso multiplicativo (pois divisão por $0$ não faz sentido)

$\forall n,m\in \mathbb {Z} :x^{n}x^{m}=x^{n+m}$

$\forall n,m\in \mathbb {Z} :(x^{n})^{m}=x^{nm}$

$x>y\iff \neg x\leq y$ (Aqui $\neg$ é a negação da lógica, então $\neg x\leq y$ (Significa que "não é o caso que $x\leq y$ ".)

Prova: Primeiro consideramos as implicações

\implies

. Supomos

x>y

. Por definição, isto significa que

x\not =y

e

y<x

. Se fosse verdade que

x\leq y

então pela anti-simetria teríamos

x=y

, o que é impossivel. Logo

\neg x\leq y

.

Inversamente, suponha que

\neg x\leq y

. Primeiro, se tivéssemos

x=y

, em seguida, por reflexividade

x\leq y

, o que é impossível, por isso, na realidade

x\not =y

. Em segundo lugar, pela totalidade deduzimos que

y\leq x

. Estas duas condições são exatamente aqueles exigidos para

x>y

.

\Box

$x<y\iff \neg x\geq y$

$x$ é um não-positivo se e somente se $x$ é um não positivo

$x$ é um não-negativo se e somente se $x$ é um não negativo

Se $x$ é ambos não-positivo e não-negativo então $x=0$

$x$ é ambos não positivo e negativo

$x\geq 0\iff -x\leq 0$

Prova: Suponha

x\geq 0

. Por um dos axiomas chegamos que

x+(-x)\geq 0+(-x)

. Pelo inverso aditivo dá

0\geq 0+(-x)

e, em seguida, pela identidade aditiva

0\geq -x

, como exigido.

A implicação converge que sigamos similarmente.

\Box

$(x\leq y{\mbox{ e }}z\leq 0)\implies xz\geq yz$

$\forall x\in \mathbb {R} :x^{2}\geq 0$

Prova: Por totalidade da ordem, temos que

x\geq 0

ou

x\leq 0

. No primeiro caso podemos aplicar os axiomas que ligam a ordem de multiplicação diretamente para

0\leq x

e deduzimos que

0\leq x^{2}

. Neste último caso, se aplicar o último resultado desta lista para

0\leq x

e obtemos

x^{2}\geq 0

.

\Box

$1>0$ e $-1<0$

Aplicações

Embora possa ser dito que a totalidade deste livro é dedicada aos estudos de aplicações de completude, em particular, existem algumas aplicações simples que podemos dar facilmente quais fornecem uma indicação quanto ao modo como a completude resolve os problemas com os reais descritos acima.

Teorema (Raíz quadrada)

Seja $x\in \mathbb {R}$ é não-negativo. Então $x$ têm uma única raíz quadrada não-negativa, denotado ${\sqrt {x}}$ , que satisfaz $({\sqrt {x}})^{2}=x$ .

Prova

Tratamos apenas com o caso $x\geq 1$ . O caso $x\in [0,1)$ é deixado como exercício.

Primeiro, notamos que quando $y,z\in \mathbb {R}$ são não-negativos, $y<z\implies y^{2}<z^{2}$ (Na terminologia iremos Introduzir mais tarde, dizendo que a função $y\mapsto y^{2}$ é estritamente crescente). Isso deixa claro que só pode haver uma raiz quadrada de $x$ , e assim ele continua a encontrar um.

Seja $S=\{y\in \mathbb {R} :y^{2}\leq x\}$ . Pretendemos aplicar o axioma do menor das cotas superiores para $S$ , por isso temos de mostrar que é não-vazio e limitada superiormente.

Este $S$ é não-vazio é claro, desde que $1\in S$ .

Além disso, $x$ por si só é uma cota superior para $S$ , uma vez que se $y>x\geq 1$ , então $y^{2}>y$ , de modo que $y^{2}>x$ , e portanto $y\not \in S$ .

Colocando estes fatos juntos, pelo axioma do menor da costas superiores, deduzimos que $S$ tem o menor das cotas superiores, ao qual chamamos $s$ . Queremos mostrar que $s$ é a raiz quadrada de $x$ que queremos.

Certamente $s$ é positivo, uma vez que $1\in S$ e assim $s\geq 1$ . Em particular, podemos dividir por $s$ .

Para mostrar que $s^{2}=x$ , eliminamos as possibilidades que $s^{2}>x$ , e que $s^{2}<x$ .

Suponha que $s^{2}>x$ . Seja $t=s-{\frac {s^{2}-x}{2s}}$ . Então:

$t^{2}=s^{2}-(s^{2}-x)+{\frac {(s^{2}-x)^{2}}{4s^{2}}}=x+{\frac {(s^{2}-x)^{2}}{4s^{2}}}>x$

Então $t$ é na verdade uma cota superior para $S$ , mas isso é impossível, uma vez que $t<s$ e $s$ é a menor das cotas superiores para $S$ .

Assim concluímos que $s^{2}\leq x$ .

Agora suponha que $s^{2}<x$ . Seja $t=s+{\frac {x-s^{2}}{2s}}$ . De maneira similar ao de acima, deduzimos que $t^{2}<x$ , de modo $t\in S$ , mas isso é impossível uma vez que $t>s$ e $s$ é uma cota superior para $S$ .

Assim concluímos que $s^{2}\geq x$ , e assim $s^{2}=x$ , conforme exigido. $\Box$

Este argumento pode parecer excessivamente complexo (especialmente porque alguns detalhes são deixados como exercícios) e, na verdade, há um sentido no qual ele é, e desejamos ter a possibilidade de apresentar um argumento muito esmerador mais tarde. No entanto, não é suficiente para mostrar que nós podemos encontrar uma raiz quadrada de 2, e assim evitar o problema imediato com os racionais colocados no início desta seção. Para mostrar que não mais construção elaborada dará origem ao mesmo problema terá que esperar até que chegar o estudo de continuidade.

Propriedade de Arquimedes

Se x é um real positivo e y um real qualquer, então existe um natural n tal que nx > y

Exemplo:

a) $\forall x\in \mathbb {R} :\exists n\in \mathbb {N} :n>x$
b) $\forall x\in \mathbb {R} ^{+}:\exists n\in \mathbb {N} :{\frac {1}{n}}<x$

Prova

a) Suponha que a afirmação não é verdadeira, então temos a negação, ao qual se afirma:

$\exists \;x\in \mathbb {R} ;\forall \;n\in \mathbb {N} \;onde\;n\leq x$

Mas essa é, precisamente, a afirmação de que $\mathbb {N}$ é limitada superiormente. Certamente, ele é não-vazio, para que possamos aplicar o axioma da completude, obtendo o menor das cotas superiores para $\mathbb {N}$ . A este menor das cotas superiores chamamos $l\;$ .

Uma vez que $l\;$ é o menor das cotas superiores, sabemos que $l-1\;$ não é uma cota superior e, assim, $\exists \;n\in \mathbb {N} ;n>l-1$ . Mas então, $n+1>l:$ , e $n+1\in \mathbb {N}$ logo chegamos a uma contradição: que $l\;$ não é uma cota superior para $\mathbb {N}$ depois de tudo.

Assim, a nossa suposição era falsa, e (a) está provado.

b)Tome $x\in \mathbb {R} ^{+}$ . Certamente $x\not =0$ , para que possamos inverter $x\;$ obteremos $x^{-1}\in \mathbb {R} ^{+}$ . Aplicando parte (a) $x^{-1}\;$ , podemos encontrar $n\in \mathbb {N}$ com $n>x^{-1}\;$ e, em seguida, invertendo esta desigualdade, deduzindo ${\frac {1}{n}}<x$ , conforme exigido. $\Box$

Proposições num Corpo Ordenado

Num corpo ordenado T. Seja $a,b\in T,a>0$ , as seguintes afirmações são equivalentes:

$\mathbb {N} \subset T$ , então T é ilimitado superiormente
$\exists n\in \mathbb {N}$ tal que $n\cdot a>b$ ;
$\exists n\in \mathbb {N}$ tal que $0<{1 \over n}<a$

Prova

Corpo Arquimediano (definições)

Definição 1 - Se num corpo ordenado K é valido as afirmações do teorema acima, ele é chamado Corpo Ordenado Arquimediano
Definição 2 - Um Corpo Ordenado K é completo quando todo subconjunto não-vazio $X\subset K$ que for limitado superiormente, possui supremo em K

Conjunto Denso em $\mathbb {R}$

Um conjunto $X\;$ é chamado denso em $\mathbb {R}$ quando todo intervalo aberto $(a,b)\subset \mathbb {R}$ , possui algum ponto de $X\;$ . Ou seja, $\forall a,b\in \mathbb {R}$ com $a<b,\;\exists x\in X$ tal que $a<x<b\;$

numa linguagem mais formal:

$Seja\;X\subset \mathbb {R} .\;Se\;(a,b)\cap X\neq \varnothing ,\;\forall \;a,b\in \mathbb {R}$ , então $X\;$ é $denso\;em\;\mathbb {R}$

Corolário (Densidade dos racionais e dos irracionais)

Se $x<y\;$ então $(x,y)\;$ contêm ambos um números racional e um número irracional.

Prova

Para encontrar um racional em $(x,y)\;$ , que se aplica o axioma de Arquimedes (b) para $y-x,\exists n\in \mathbb {N}$ tal que ${\frac {1}{n}}<y-x$ . Assim $1<yn-xn\;$ , de modo que $xn<yn-1\;$ .

Aplicando o axioma de arquimedes (a) para $y+1\;$ teremos um $N\in \mathbb {N}$ satisfazendo $N>yn+2\;$ .

Agora escolha o menor $m\in \mathbb {N}$ satisfazendo $N-m<yn\;$ . Pelo de cima, $m\geq 2$ , e então, uma vez que $m\;$ é minimo, sabemos que:

$N-(m-1)\geq yn$

$N-m\geq yn-1$

Colocando este juntamente com o fato que $xn<yn-1\;$ deduzido do acima, temos:

$N-m>xn\;$

Assim, em resumo, temos $yn>N-m>xn\;$ , de modo que $y>{\frac {N-m}{n}}>x$ , e temos encontrado o número racional que queremos .

Para encontrar um número irracional, usaremos o que acabamos de deduzir do primeiro racional encontrado $q\in (x+{\sqrt {2}},y+{\sqrt {2}})$ , de modo que $q-{\sqrt {2}}\in (x,y)$ . Além disso, $q-{\sqrt {2}}$ deve ser irracional, pois se ele for um racional, então teríamos também $q-(q-{\sqrt {2}})={\sqrt {2}}$ racional, e sabemos que ele não é. $\Box$