Vamos definir PA de forma diferente para ter o que precisamos:

Sequência estacionária

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Uma sequência estacionária é uma sequência numérica onde todos os seus termos são iguais.

  • Ex.  .
    • O primeiro termo é o primeiro "5". O enésimo termo também será "5".

Essa sequência ao ser estudada no ensino médio, ela é vista como progressão aritmética de razão zero. Vamos defini-la como sequência estacionária.

PA de ordem 1

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Vamos definir PA de ordem 1 como uma sequência não-estacionária, tal que a diferença dos seus termos seja uma sequência estacionária.

Vamos perceber que se a diferença for positiva, os termos são crescentes e se a diferença for negativa, os termos serão decrescentes. Como a diferença será constante, chamaremos a esse valor constante de razão.

  • Ex.   é uma sequência não estacionária, porque seus termos têm diferença constante de "5".

Sequência diferença

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Vamos definir o operador diferença   e a sequência diferença  .

  • Retomando o exemplo anterior  . Vamos definir  :
  •  .
  • Assim  

PA de ordem 3

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  • Vamos tomar   uma sequência cujo termo   é determinado por um polinômio  .
    • A sequência   não é uma sequência estacionária.
  • Vamos tomar a sequência diferença de  . Assim  
    • Vemos que   é diferente de  .
    • Logo   não é uma sequência estacionária.
    • Mas  
  • Vamos tomar a sequência diferença de  . Assim  
    • Vemos que   é diferente de  .
    • Logo   não é uma sequência estacionária.
    • Mas  
  • Vamos tomar a sequência diferença de  . Assim  
    • Vemos que   é igual de  .
    • Logo   é uma sequência estacionária.
    • Mas  
  • Como   é uma sequência estacionária, logo   é uma PA de ordem 1, logo   é uma PA de ordem 2, logo   é uma PA de ordem 3.
    • Percebemos que   sendo uma sequência estacionária, tem seu termo geral sendo um polinômio constante.
    • Percebemos que   é uma PA de ordem 1, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 1.
    • Percebemos que   é uma PA de ordem 2, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 2.
    • Percebemos que   é uma PA de ordem 3, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 3.

Somatório de uma PA

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O somatório dos termos de uma PA   de ordem 1, do primeiro ao enésimo-termo é dada por:  

  • Percebemos que   é um polinômio em n de grau 2.

Exemplo

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  •   é um polinômio em n de grau 3.
    • Vemos que  
    •  .
    •   é um polinômio em n de grau 4.
  •   é um polinômio em n de grau 2.
    • Vemos que  
    •  
    •  
    •   é um polinômio em n de grau 3.
  •  
    • Vemos que  
    •  
    •   é um polinômio em n de grau 2.
  •  
    • Vemos que   que é um polinômio de 1º grau.

grau e ordem de uma PA

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Uma sequência   é uma PA de ordem p se, e somente se,   é um polinômio de grau p.

  • Vamos fazer indução sobre p
  • Vamos mostrar que é válido para p=1
    • Tome   uma PA de ordem 1   que é um polinômio de grau 1
    • Tome   um polinômio de ordem 1   que nos diz que   é uma PA de ordem 1.
  • Vamos mostrar que é válido para p=2
    • Seja   uma PA de ordem 2   é uma PA de ordem 1, ou seja  
    • Assim   é um polinômio de grau 2, onde  
    • Como   que é um polinômio de grau 2
    • Tome   um polinômio de ordem 1   que nos diz que   é uma PA de ordem 1.