Vamos definir PA de forma diferente para ter o que precisamos:
Uma sequência estacionária é uma sequência numérica onde todos os seus termos são iguais.
Ex.
(
a
n
)
=
(
5
,
5
,
5
,
5
,
5
,
5
,
5
)
{\displaystyle (a_{n})=(5,5,5,5,5,5,5)}
.
O primeiro termo é o primeiro "5". O enésimo termo também será "5".
Essa sequência ao ser estudada no ensino médio, ela é vista como progressão aritmética de razão zero. Vamos defini-la como sequência estacionária.
Vamos definir PA de ordem 1 como uma sequência não-estacionária, tal que a diferença dos seus termos seja uma sequência estacionária.
Vamos perceber que se a diferença for positiva, os termos são crescentes e se a diferença for negativa, os termos serão decrescentes.
Como a diferença será constante, chamaremos a esse valor constante de razão.
Ex.
(
b
n
)
=
(
2
,
7
,
12
,
17
,
.
.
.
)
{\displaystyle (b_{n})=(2,7,12,17,...)}
é uma sequência não estacionária, porque seus termos têm diferença constante de "5".
Vamos definir o operador diferença
Δ
b
n
=
b
n
+
1
−
b
n
{\displaystyle \Delta b_{n}=b_{n+1}-b_{n}}
e a sequência diferença
(
a
n
)
=
(
Δ
b
n
)
=
(
Δ
b
1
,
Δ
b
2
,
.
.
.
)
{\displaystyle (a_{n})=(\Delta b_{n})=(\Delta b_{1},\Delta b_{2},...)}
.
Retomando o exemplo anterior
(
b
n
)
=
(
2
,
7
,
12
,
17
,
.
.
.
)
{\displaystyle (b_{n})=(2,7,12,17,...)}
. Vamos definir
a
n
{\displaystyle a_{n}}
:
Δ
b
1
=
b
2
−
b
1
=
7
−
2
=
5
;
Δ
b
2
=
b
3
−
b
2
=
12
−
7
=
5
{\displaystyle \Delta b_{1}=b_{2}-b_{1}=7-2=5;\Delta b_{2}=b_{3}-b_{2}=12-7=5}
.
Assim
(
a
n
)
=
(
5
,
5
,
5
,
.
.
.
)
{\displaystyle (a_{n})=(5,5,5,...)}
Vamos tomar
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
uma sequência cujo termo
a
n
{\displaystyle a_{n}}
é determinado por um polinômio
a
n
=
n
3
−
n
{\displaystyle a_{n}=n^{3}-n}
.
A sequência
(
a
n
)
=
(
0
,
6
,
24
,
60
,
120
,
210
,
.
.
.
)
{\displaystyle (a_{n})=(0,6,24,60,120,210,...)}
não é uma sequência estacionária.
Vamos tomar a sequência diferença de
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
. Assim
Δ
(
a
n
)
=
(
6
,
18
,
36
,
60
,
90
,
.
.
.
)
{\displaystyle \Delta (a_{n})=(6,18,36,60,90,...)}
Vemos que
Δ
a
1
=
a
2
−
a
1
=
6
−
0
=
6
{\displaystyle \Delta a_{1}=a_{2}-a_{1}=6-0=6}
é diferente de
Δ
a
2
=
a
3
−
a
2
=
24
−
6
=
18
{\displaystyle \Delta a_{2}=a_{3}-a_{2}=24-6=18}
.
Logo
(
Δ
(
a
n
)
)
{\displaystyle (\Delta (a_{n}))}
não é uma sequência estacionária.
Mas
Δ
(
a
n
)
=
a
n
+
1
−
a
n
=
(
n
+
1
)
3
−
(
n
+
1
)
−
(
n
3
−
n
)
=
n
3
+
3
n
2
+
3
n
+
1
−
n
−
1
−
n
3
+
n
⇒
Δ
a
n
=
3
n
2
+
3
n
{\displaystyle \Delta (a_{n})=a_{n+1}-a_{n}=(n+1)^{3}-(n+1)-(n^{3}-n)=n^{3}+3n^{2}+3n+1-n-1-n^{3}+n\Rightarrow \Delta a_{n}=3n^{2}+3n}
Vamos tomar a sequência diferença de
(
Δ
a
n
)
{\displaystyle (\Delta a_{n})}
. Assim
Δ
2
(
a
n
)
=
(
12
,
18
,
24
,
30
,
.
.
.
)
{\displaystyle \Delta ^{2}(a_{n})=(12,18,24,30,...)}
Vemos que
Δ
2
a
1
=
Δ
a
2
−
Δ
a
1
=
18
−
6
=
12
{\displaystyle \Delta ^{2}a_{1}=\Delta a_{2}-\Delta a_{1}=18-6=12}
é diferente de
Δ
2
a
2
=
Δ
a
3
−
Δ
a
2
=
36
−
18
=
18
{\displaystyle \Delta ^{2}a_{2}=\Delta a_{3}-\Delta a_{2}=36-18=18}
.
Logo
Δ
2
(
a
n
)
{\displaystyle \Delta ^{2}(a_{n})}
não é uma sequência estacionária.
Mas
Δ
2
(
a
n
)
=
a
n
+
1
−
a
n
=
3
(
n
+
1
)
2
+
3
(
n
+
1
)
−
(
3
n
2
+
3
n
)
=
3
n
2
+
6
n
+
3
+
3
n
+
3
−
3
n
2
−
3
n
⇒
Δ
2
a
n
=
+
6
n
+
6
{\displaystyle \Delta ^{2}(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}=3(n+1)^{2}+3(n+1)-(3n^{2}+3n)=3n^{2}+6n+3+3n+3-3n^{2}-3n\Rightarrow \Delta ^{2}a_{n}=+6n+6}
Vamos tomar a sequência diferença de
(
Δ
2
a
n
)
{\displaystyle (\Delta ^{2}a_{n})}
. Assim
Δ
3
(
a
n
)
=
(
6
,
6
,
6
,
6
,
.
.
.
)
{\displaystyle \Delta ^{3}(a_{n})=(6,6,6,6,...)}
Vemos que
Δ
3
a
1
=
Δ
2
a
2
−
Δ
2
a
1
=
18
−
12
=
6
{\displaystyle \Delta ^{3}a_{1}=\Delta ^{2}a_{2}-\Delta ^{2}a_{1}=18-12=6}
é igual de
Δ
3
a
2
=
Δ
2
a
3
−
Δ
2
a
2
=
24
−
18
=
6
{\displaystyle \Delta ^{3}a_{2}=\Delta ^{2}a_{3}-\Delta ^{2}a_{2}=24-18=6}
.
Logo
Δ
3
(
a
n
)
{\displaystyle \Delta ^{3}(a_{n})}
é uma sequência estacionária.
Mas
Δ
3
(
a
n
)
=
a
n
+
1
−
a
n
=
6
(
n
+
1
)
+
6
−
(
6
n
+
6
)
=
6
n
+
6
+
6
−
6
n
−
6
⇒
Δ
3
a
n
=
6
{\displaystyle \Delta ^{3}(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}=6(n+1)+6-(6n+6)=6n+6+6-6n-6\Rightarrow \Delta ^{3}a_{n}=6}
Como
(
Δ
3
a
n
)
{\displaystyle (\Delta ^{3}a_{n})}
é uma sequência estacionária, logo
(
Δ
2
a
n
)
{\displaystyle (\Delta ^{2}a_{n})}
é uma PA de ordem 1, logo
(
Δ
a
n
)
{\displaystyle (\Delta a_{n})}
é uma PA de ordem 2, logo
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
é uma PA de ordem 3.
Percebemos que
(
Δ
3
a
n
)
{\displaystyle (\Delta ^{3}a_{n})}
sendo uma sequência estacionária, tem seu termo geral sendo um polinômio constante.
Percebemos que
(
Δ
2
a
n
)
{\displaystyle (\Delta ^{2}a_{n})}
é uma PA de ordem 1, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 1.
Percebemos que
(
Δ
a
n
)
{\displaystyle (\Delta a_{n})}
é uma PA de ordem 2, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 2.
Percebemos que
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
é uma PA de ordem 3, tem seu termo geral sendo um polinômio de grau 3.
Uma sequência
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
é uma PA de ordem p se, e somente se,
a
n
{\displaystyle a_{n}}
é um polinômio de grau p.
Vamos fazer indução sobre p
Vamos mostrar que é válido para p=1
Tome
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
uma PA de ordem 1
⇒
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
r
=
r
n
+
a
1
−
r
{\displaystyle \Rightarrow a_{n}=a_{1}+(n-1)r=rn+a_{1}-r}
que é um polinômio de grau 1
Tome
a
n
=
a
n
+
b
{\displaystyle a_{n}=an+b}
um polinômio de ordem 1
⇒
(
a
n
)
=
(
a
+
b
,
2
a
+
b
,
.
.
.
)
⇒
Δ
(
a
n
)
=
(
a
,
a
,
.
.
.
)
{\displaystyle \Rightarrow (a_{n})=(a+b,2a+b,...)\Rightarrow \Delta (a_{n})=(a,a,...)}
que nos diz que
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
é uma PA de ordem 1.
Vamos mostrar que é válido para p=2
Seja
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
uma PA de ordem 2
⇒
(
Δ
a
n
)
{\displaystyle \Rightarrow (\Delta a_{n})}
é uma PA de ordem 1, ou seja
Δ
a
n
=
Δ
a
1
+
(
n
−
1
)
r
{\displaystyle \Delta a_{n}=\Delta a_{1}+(n-1)r}
Assim
∑
Δ
a
n
{\displaystyle \sum \Delta a_{n}}
é um polinômio de grau 2, onde
∑
Δ
a
n
=
Δ
a
1
+
Δ
a
2
+
.
.
.
+
Δ
a
n
=
(
a
2
−
a
1
)
+
(
a
3
−
a
2
)
+
.
.
.
+
(
a
n
+
1
−
a
n
)
=
a
n
+
1
−
a
1
{\displaystyle \sum \Delta a_{n}=\Delta a_{1}+\Delta a_{2}+...+\Delta a_{n}=(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+...+(a_{n+1}-a_{n})=a_{n+1}-a_{1}}
Como
∑
Δ
a
n
=
n
(
Δ
a
1
+
Δ
a
n
)
2
=
n
(
2
Δ
a
1
+
(
n
−
1
)
r
)
2
{\displaystyle \sum \Delta a_{n}={n(\Delta a_{1}+\Delta a_{n}) \over 2}={n(2\Delta a_{1}+(n-1)r) \over 2}}
que é um polinômio de grau 2
Tome
a
n
=
a
n
+
b
{\displaystyle a_{n}=an+b}
um polinômio de ordem 1
⇒
(
a
n
)
=
(
a
+
b
,
2
a
+
b
,
.
.
.
)
⇒
Δ
(
a
n
)
=
(
a
,
a
,
.
.
.
)
{\displaystyle \Rightarrow (a_{n})=(a+b,2a+b,...)\Rightarrow \Delta (a_{n})=(a,a,...)}
que nos diz que
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})}
é uma PA de ordem 1.