Análise real/Seqüência de funções

Nesta seção, introduzimos um importante conceito da análise real, a ideia de sequência de funções. Uma sequência de funções em um domínio $D\,$ é definida com um conjunto $\{f_{i}\}\,$ de funções $f_{i}:D\to \mathbb {R} \,$ indexadas com um índice $i\,$. São exemplos de sequência de funções definidas em toda a reta ($D=\mathbb {R} \,$):

• $f_{i}(x)=ix^{2}\,$
• $f_{i}(x)={\frac {i}{i+x^{2}}}~~,i\geq 1\,$
• $f_{i}(x)={\frac {x}{i}}~~,i\geq 1\,$

O leitor deve observar que para cada ponto fixo no domínio $x_{0}\,$, uma sequência de funções define um sequência numérica:

$f_{i}(x_{0})\,$ define uma sequência numérica para cada $x_{0}\,$ fixo.

Sequência equilimitada

Uma sequência de funções $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }\,$ é dita equilimitada num conjunto $E\,$ se cada uma das funções está definida em $E\,$ e se existe uma constante $M\,$ tal que:

• $|f_{i}(x)|\leq M,~~\forall x\in E~~\forall i\geq 1\,$