x também será chamado de um ponto x .
Seja X um conjunto real, a vizinhança de um elemento x de X são todos os elementos y que estão próximo de x a um "raio"
ϵ
{\displaystyle \epsilon \;}
|
x
−
y
|
{\displaystyle |x-y|}
ϵ
{\displaystyle \epsilon \;}
V
ϵ
(
x
)
=
{
y
∈
R
;
|
x
−
y
|
<
ϵ
}
=
B
(
x
,
ϵ
)
=
(
x
−
ϵ
,
x
+
ϵ
)
=
{
y
∈
R
;
x
−
ϵ
<
y
<
x
+
ϵ
}
{\displaystyle V_{\epsilon }(x)=\{y\in \mathbb {R} ;|x-y|<\epsilon \}=B(x,\epsilon )=(x-\epsilon ,x+\epsilon )=\{y\in \mathbb {R} ;x-\epsilon <y<x+\epsilon \}}
⋂
∀
ϵ
>
0
V
ϵ
(
x
)
=
{
x
}
{\displaystyle \bigcap _{\forall \epsilon >0}V_{\epsilon }(x)=\{x\}}
Tome
x
,
y
∈
X
,
x
≠
y
⇒
∃
ϵ
>
0
;
V
ϵ
(
x
)
∩
V
ϵ
(
y
)
=
∅
{\displaystyle x,y\in X,x\neq y\Rightarrow \exists \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\cap V_{\epsilon }(y)=\emptyset }
editar
Tome
x
∈
X
,
δ
<
ϵ
⇒
V
δ
(
x
)
⊂
V
ϵ
(
x
)
{\displaystyle x\in X,\delta <\epsilon \Rightarrow V_{\delta }(x)\subset V_{\epsilon }(x)}
Tome
y
∈
V
δ
(
x
)
⇒
|
y
−
x
|
<
δ
{\displaystyle y\in V_{\delta }(x)\Rightarrow |y-x|<\delta }
δ
<
ϵ
⇒
|
y
−
x
|
<
δ
<
ϵ
⇒
y
∈
V
ϵ
(
x
)
{\displaystyle \delta <\epsilon \Rightarrow |y-x|<\delta <\epsilon \Rightarrow y\in V_{\epsilon }(x)}
Um ponto x é dito ponto interior de um conjunto
X
⊂
R
,
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} ,}
∃
V
ϵ
(
x
)
⊆
X
{\displaystyle \exists \;V_{\epsilon }(x)\subseteq X}
Usamos a notação
i
n
t
(
X
)
{\displaystyle int(X)\,}
X
{\displaystyle X\,}
X
f
i
n
i
t
o
⇒
i
n
t
(
X
)
=
∅
{\displaystyle Xfinito\Rightarrow int(X)=\emptyset }
i
n
t
(
Q
)
=
∅
{\displaystyle int(\mathbb {Q} )=\emptyset }
i
n
t
(
X
)
=
{
x
∈
X
;
V
ϵ
(
x
)
⊂
X
,
para algum
ϵ
>
0
}
{\displaystyle int(X)=\{x\in X;V_{\epsilon }(x)\subset X,{\mbox{ para algum }}\epsilon >0\}}
∃
V
ϵ
(
x
)
⊂
X
⇒
x
∈
i
n
t
(
X
)
{\displaystyle \exists V_{\epsilon }(x)\subset X\Rightarrow x\in int(X)}
Todo ponto x é um ponto interior de
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
Todo número real x com a < x < b é um ponto interior do intervalo aberto (a , b ). É fácil ver que nenhum outro ponto é ponto interior de (a , b ); por exemplo, a não é ponto interior de (a , b ) porque qualquer intervalo aberto em volta de a incluirá pontos menores que a .
Analogamente, os pontos interiores do intervalo fechado [a , b ] formam o intervalo aberto (a , b ).
Nenhum ponto é ponto interior de
N
,
{\displaystyle \mathbb {N} \,,}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} \,}
Q
.
{\displaystyle \mathbb {Q} \,.}
Fronteira de um conjunto
editar
Dado
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
X
{\displaystyle X\;}
X
e
R
−
X
{\displaystyle X{\mbox{ e }}\mathbb {R} -X\;}
∀
ϵ
>
0
,
V
ϵ
(
x
)
∩
X
≠
∅
e
V
ϵ
(
x
)
∩
R
−
X
≠
∅
⇒
x
∈
∂
X
{\displaystyle \forall \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\cap X\neq \varnothing {\mbox{ e }}V_{\epsilon }(x)\cap \mathbb {R} -X\neq \varnothing \Rightarrow x\in \partial X}
Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjunto
A
{\displaystyle A}
∂
A
{\displaystyle \partial A}
editar
Dizemos que um conjunto
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
conjunto aberto se todos seus pontos forem pontos interiores, ou seja:
∀
x
∈
X
,
∃
ϵ
>
0
;
V
ϵ
(
x
)
⊂
X
.
{\displaystyle \forall \;x\in X,\exists \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\subset X.}
∀
x
∈
X
,
∃
ϵ
;
V
ϵ
(
x
)
⊂
X
⇒
X
{\displaystyle \forall x\in X,\exists \epsilon \;;V_{\epsilon }(x)\subset X\Rightarrow X}
Dizemos que um conjunto
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
não é conjunto aberto se
∃
x
∈
X
;
∀
ϵ
>
0
;
V
ϵ
(
x
)
⊄
X
.
{\displaystyle \exists \;x\in X;\forall \;\epsilon >0;V_{\epsilon }(x)\not \subset X.}
Um conjunto é aberto se
A
∩
∂
A
=
∅
{\displaystyle A\cap \partial A=\varnothing }
O intervalo aberto
(
a
,
b
)
⊂
R
,
{\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} ,}
a
<
b
{\displaystyle a<b\;}
x
∈
(
a
,
b
)
,
{\displaystyle x\in (a,b),}
ϵ
=
m
i
n
{
x
−
a
,
b
−
x
}
,
{\displaystyle \epsilon =min\{x-a,b-x\}\;,}
(
x
−
ϵ
,
x
+
ϵ
)
⊂
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle (x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,b).}
[
a
,
b
)
⊂
R
,
{\displaystyle [a,b)\subset \mathbb {R} ,}
a
<
b
{\displaystyle a<b\;}
ϵ
>
0
,
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
⊄
[
a
,
b
)
.
{\displaystyle \epsilon >0,(a-\epsilon ,a+\epsilon )\not \subset [a,b).}
(
a
,
∞
)
⊂
R
,
{\displaystyle (a,\infty )\subset \mathbb {R} ,}
x
∈
(
a
,
∞
)
,
{\displaystyle x\in (a,\infty ),}
ϵ
=
x
−
a
,
{\displaystyle \epsilon =x-a,\;}
(
x
−
ϵ
,
x
+
ϵ
)
⊂
(
a
,
∞
)
.
{\displaystyle (x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,\infty ).}
(
−
∞
,
b
)
⊂
R
,
{\displaystyle (-\infty ,b)\subset \mathbb {R} ,}
x
∈
(
−
∞
,
b
)
,
{\displaystyle x\in (-\infty ,b),}
ϵ
=
b
−
x
,
{\displaystyle \epsilon =b-x,\;}
(
x
−
ϵ
,
x
+
ϵ
)
⊂
(
−
∞
,
b
)
.
{\displaystyle (x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (-\infty ,b).}
Propriedades dos conjuntos abertos
editar
Os conjuntos
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∅
{\displaystyle \emptyset \,}
A união de uma família arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto.
A intersecção de uma família finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Demonstração 1. Imediato da definição.
2.Seja
{
O
λ
}
{\displaystyle \{O_{\lambda }\}\,}
λ
∈
Λ
{\displaystyle \lambda \in \Lambda \,}
O
=
⋃
λ
∈
Λ
O
λ
.
{\displaystyle O=\bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\,.}
Então se
x
∈
O
,
{\displaystyle x\in O\,,}
λ
′
∈
Λ
{\displaystyle \lambda '\in \Lambda \,}
x
∈
O
λ
′
.
{\displaystyle x\in O_{\lambda '}\,.}
Como
O
λ
′
{\displaystyle O_{\lambda '}\,}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)\,}
a
<
b
{\displaystyle a<b\,}
x
∈
(
a
,
b
)
⊆
O
λ
′
{\displaystyle x\in (a,b)\subseteq O_{\lambda '}\,}
Como
O
λ
′
⊆
⋃
λ
∈
Λ
O
λ
,
{\displaystyle O_{\lambda '}\subseteq \bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\,,}
x
∈
(
a
,
b
)
⊆
O
{\displaystyle x\in (a,b)\subseteq O\,}
E portanto
O
{\displaystyle O\,}
3.Seja
{
O
k
}
k
=
1
n
{\displaystyle \{O_{k}\}_{k=1}^{n}}
O
=
⋂
k
=
1
n
O
k
{\displaystyle O=\bigcap _{k=1}^{n}O_{k}\,}
x
∈
O
.
{\displaystyle x\in O\,.}
x
∈
O
k
,
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle x\in O_{k},k=1,\ldots ,n\,}
O
k
{\displaystyle O_{k}\,}
(
a
k
,
b
k
)
{\displaystyle (a_{k},b_{k})\,}
x
∈
(
a
k
,
b
k
)
⊆
O
k
{\displaystyle x\in (a_{k},b_{k})\subseteq O_{k}\,}
Naturalmente vale que
a
k
<
x
<
b
k
.
{\displaystyle a_{k}<x<b_{k}\,.}
a
=
max
{
a
k
}
k
=
1
n
b
=
min
{
b
k
}
k
=
1
n
{\displaystyle a=\max\{a_{k}\}_{k=1}^{n}\quad b=\min\{b_{k}\}_{k=1}^{n}\,}
É fácil ver que
a
<
x
<
b
{\displaystyle a<x<b\,}
x
∈
(
a
,
b
)
⊆
O
k
,
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle x\in (a,b)\subseteq O_{k},k=1,\ldots ,n\,}
e portanto:
x
∈
(
a
,
b
)
⊆
O
.
{\displaystyle x\in (a,b)\subseteq O\,.}
O que completa a demonstração.
Seja
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
(1) X é aberto.
(2) Todo ponto de X é ponto interior.
(3) X é uma vizinhança de seus pontos. Vamos mostrar que
(
1
)
⇒
(
2
)
⇒
(
3
)
⇒
(
1
)
.
{\displaystyle (1)\Rightarrow (2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (1).}
Assumindo (1), Seja
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\;}
∃
ϵ
>
0
,
V
ϵ
(
x
)
⊂
X
{\displaystyle \exists \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\subset X}
Seja agora (2) verdadeiro. Se
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\;}
∃
ϵ
>
0
,
V
ϵ
(
x
)
⊂
X
{\displaystyle \exists \;\epsilon >0,V_{\epsilon }(x)\subset X}
Finalmente, assumindo (3), tome para cada
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\;}
I
x
⊂
B
{\displaystyle I_{x}\subset B}
x
∈
I
x
{\displaystyle x\in I_{x}}
Então
X
=
⋃
x
∈
B
I
x
{\displaystyle X=\bigcup _{x\in B}I_{x}}
Ponto aderente de um conjunto é definido como todo ponto a que é limite de uma sequência de pontos xn ∈ X ⊂
R
.
{\displaystyle \mathbb {R} .}
Todo ponto a de um conjunto
X
{\displaystyle X\,}
x
n
=
a
.
{\displaystyle x_{n}=a\,.}
Um ponto aderente pode não pertencer ao conjunto, por exemplo, o conjunto
X
:=
{
1
/
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle X:=\left\{1/n\right\}_{n=1}^{\infty }\,}
0 como ponto aderente, mas 0 não pertence a X . valor de aderência de uma sequência é um ponto aderente do conjunto
{
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
,
.
.
.
}
.
{\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\}.}
O único valor de aderência de
{
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
,
.
.
.
}
∪
{
a
=
lim
x
n
}
{\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{n},...\}\cup \{a=\lim x_{n}\}}
a . As seguintes afirmações são equivalentes:
a
{\displaystyle a}
X
{\displaystyle X}
Para todo
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \epsilon >0\,,}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\,}
|
x
−
a
|
≤
ε
{\displaystyle \left|x-a\right|\leq \varepsilon }
B
(
a
,
ϵ
)
∩
X
≠
∅
{\displaystyle B(a,\epsilon )\cap X\not =\varnothing \,}
ϵ
>
0
;
{\displaystyle \epsilon >0\,;}
1 →2 : Se a é um ponto aderente de X , por definição, existe um sequência
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X\,}
x
n
→
a
.
{\displaystyle x_{n}\to a.}
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \epsilon >0\,,}
x
k
{\displaystyle x_{k}\,}
|
x
k
−
a
|
≤
ε
.
{\displaystyle \left|x_{k}-a\right|\leq \varepsilon .}
x
k
∈
X
,
{\displaystyle x_{k}\in X\,,}
x
=
x
k
{\displaystyle x=x_{k}\,}
2 →3 :Suponha que
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\,}
|
x
−
a
|
≤
ε
.
{\displaystyle \left|x-a\right|\leq \varepsilon \,.}
B
(
a
,
ϵ
)
=
{
x
∈
R
:
|
x
−
a
|
<
ϵ
}
,
{\displaystyle B(a,\epsilon )=\left\{x\in \mathbb {R} :|x-a|<\epsilon \right\},}
x
∈
B
(
a
,
ϵ
)
{\displaystyle x\in B(a,\epsilon )\,}
3 →1 :Defina a sequência
x
n
,
{\displaystyle x_{n}\,,}
x
n
∈
B
(
a
,
1
/
n
)
∩
X
.
{\displaystyle x_{n}\in B(a,1/n)\cap X\,.}
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X\,}
|
x
n
−
a
|
<
1
/
n
,
{\displaystyle \left|x_{n}-a\right|<1/n\,,}
x
n
→
a
{\displaystyle x_{n}\to a\,}
Define-se o fecho de um conjunto X como o conjunto dos pontos aderentes de X e denota-se por
X
¯
:
{\displaystyle {\bar {X}}:}
X
¯
:=
{
a
∈
R
:
∀
ϵ
>
0.
B
(
a
,
ϵ
)
∩
X
≠
∅
}
{\displaystyle {\bar {X}}:=\left\{a\in \mathbb {R} :\forall \epsilon >0.B(a,\epsilon )\cap X\not =\varnothing \right\}}
Os fechos de
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
∅
{\displaystyle \varnothing \,}
O fecho do conjunto {1, 1/2, 1/3, ...} é o conjunto {0, 1, 1/2, 1/3, ...}
Como cada número irracional pode ser arredondado com a precisão que se queira por números racionais, existe, para todo
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \,}
q
i
{\displaystyle q_{i}\,}
x . Ou seja, o fecho de
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} \,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
Uma sequência de números naturais (ou inteiros) só será convergente se ela for constante a partir de algum índice. Portanto, uma sequência de números naturais (ou inteiros), se converge, converge para um número natural (resp. inteiro). Ou seja, os fechos de
N
{\displaystyle \mathbb {N} \,}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} \,}
O fecho de qualquer intervalo (a , b ), (a , b ], [a , b ) ou [a , b ], em que a < b , é o intervalo fechado [a , b ]. É fácil ver que nenhum ponto x < a e nenhum ponto x > b pode ser ponto aderente; então basta provar que a é um ponto aderente de (a , b ) (os demais casos são similares). Mas isto equivale a dizer que existe uma sequência com elementos em (a , b ) que converge para a . Tomando-se a sequência a + 1, a + 1/2, a + 1/3, ..., é fácil ver que esta sequência converge para a . Então, por definição, para ε = b - a > 0, existe N tal que se n > N , então |a - (a + 1/n )| < ε . Reescrevendo, temos que para n > N , 1/n < b - a , ou seja, a + 1/n < b . Como a + 1/n > a , temos que
a
+
1
/
n
∈
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle a+1/n\in (a,b)\,.}
a , b ) dada por a + 1/N , a + 1/(N + 1), a + 1/(N + 2), ... é uma sequência de elementos de (a , b ) que converge para a .
editar
Um conjunto
X
{\displaystyle X\,}
conjunto fechado se e somente ele é igual ao seu fecho:
X
=
X
¯
{\displaystyle X={\bar {X}}\,}
São fechados:
R
,
{\displaystyle \mathbb {R} \,,}
∅
,
{\displaystyle \varnothing \,,}
N
,
{\displaystyle \mathbb {N} \,,}
Z
,
[
a
,
b
]
,
[
a
,
∞
)
,
(
−
∞
,
b
]
{\displaystyle \mathbb {Z} \,,[a,b],[a,\infty ),(-\infty ,b]}
Não são fechados:
Q
,
R
−
Q
,
(
a
,
b
)
,
(
a
,
b
]
,
[
a
,
b
)
{\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} -\mathbb {Q} ,(a,b),(a,b],[a,b)}
Um conjunto é fechado se, e somente se, seu complementar for um conjunto aberto. De fato, este é talvez o principal teorema sobre conjuntos fechados. Nos estudos mais avançados da chamada "topologia geral", os fechados são usualmente definidos através desta caracterização.
a. Suponha que X seja um conjunto fechado e O seja o complementar de X nos reais:
O
=
R
∖
X
{\displaystyle O=\mathbb {R} \backslash X\,}
Suponha por absurdo que
O
{\displaystyle O\,}
x
∈
O
{\displaystyle x\in O\,}
∀
ϵ
>
0
;
B
(
x
,
ϵ
)
⊈
O
{\displaystyle \forall \epsilon >0;B(x,\epsilon )\nsubseteq O\,}
Como
O
∪
X
=
R
{\displaystyle O\cup X=\mathbb {R} \,}
B
(
x
,
ϵ
)
⊈
O
⟹
B
(
x
,
ϵ
)
∪
X
≠
∅
{\displaystyle B(x,\epsilon )\nsubseteq O\Longrightarrow B(x,\epsilon )\cup X\neq \emptyset \,}
Esta propriedade implica que
x
∈
X
¯
{\displaystyle x\in {\bar {X}}\,}
X é fechado,
x
∈
X
,
{\displaystyle x\in X\,,}
x
∈
O
{\displaystyle x\in O\,}
O
=
R
∖
X
.
{\displaystyle O=\mathbb {R} \backslash X\,.}
b. Suponha que X seja o complementar nos reais de um conjunto aberto O :
X
=
R
∖
O
{\displaystyle X=\mathbb {R} \backslash O\,}
Suponha a existência de uma sequência
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X\,}
lim
n
→
∞
x
n
=
x
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\,}
Queremos mostrar que
x
∈
X
.
{\displaystyle x\in X\,.}
x
∉
X
,
{\displaystyle x\notin X\,,}
x
∈
O
.
{\displaystyle x\in O\,.}
O é aberto, exite uma bola
B
(
x
,
ϵ
)
⊆
O
.
{\displaystyle B(x,\epsilon )\subseteq O\,.}
x
N
{\displaystyle x_{N}\,}
|
x
N
−
x
|
<
ϵ
.
{\displaystyle \left|x_{N}-x\right|<\epsilon \,.}
x
N
∈
B
(
x
,
ϵ
)
⊆
O
,
{\displaystyle x_{N}\in B(x,\epsilon )\subseteq O\,,}
x
N
∈
X
.
{\displaystyle x_{N}\in X\,.}
Propriedades dos conjuntos fechados
editar
Os conjuntos
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
∅
{\displaystyle \emptyset \,}
A intersecção de uma família arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado.
A união de uma família finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Demonstração 1.
∅
{\displaystyle \emptyset \,}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
Seja X um subconjunto dos números reais. Dizemos que um ponto x pertencente aos reais é um ponto de acumulação se existe uma sequência
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X\,}
diferentes de x convergindo para x .
É claro da definição que todo ponto de acumulação é também um ponto de aderência. Deve-se observar que nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação. Por exemplo o conjunto
X
=
{
0
}
{\displaystyle X=\{0\}\;}
x
n
=
0
{\displaystyle x_{n}=0\,}
X diferentes de 0 convergindo para 0 .
x é ponto de acumulação se,
∀
ϵ
>
0
,
X
∩
(
x
−
ϵ
,
x
+
ϵ
)
≠
{
x
}
.
{\displaystyle \forall \epsilon >0,X\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\neq \{x\}.}
x é ponto de acumulação se,
∀
ϵ
>
0
;
∃
y
∈
X
;
0
<
|
y
−
x
|
<
ϵ
{\displaystyle \forall \epsilon >0;\exists y\in X;0<|y-x|<\epsilon }
X' é o conjunto chamado derivado , onde seus elementos são os pontos de acumulação de X, assim:
X
′
=
{
x
∈
R
;
∀
ϵ
>
0
,
X
∩
(
x
−
ϵ
,
x
+
ϵ
)
≠
{
x
}
}
=
{
x
∈
R
;
∀
ϵ
>
0
;
∃
y
∈
X
;
0
<
|
y
−
x
|
<
ϵ
}
{\displaystyle X'=\{x\in \mathbb {R} ;\forall \epsilon >0,X\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\neq \{x\}\}=\{x\in \mathbb {R} ;\forall \epsilon >0;\exists y\in X;0<|y-x|<\epsilon \}}
Define-se como ponto isolado de um conjunto X , um elemento
x
∈
X
{\displaystyle x\in X\,}
Diz-se que
X
{\displaystyle X\,}
conjunto discreto se todos os seus pontos forem isolados. O conjunto dos números naturais é um exemplo de conjunto discreto nos reais.
editar
Seja
X
⊂
R
{\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
|
X
|
≤
|
N
|
{\displaystyle |X|\leq |\mathbb {N} |}
Uma vez que os pontos de
X
{\displaystyle X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
δ
x
>
0
{\displaystyle \delta _{x}>0}
B
δ
x
(
x
)
∩
X
=
{
x
}
{\displaystyle B_{\delta _{x}}(x)\cap X=\{x\}}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
B
δ
x
2
(
x
)
∩
Q
≠
∅
{\displaystyle B_{\frac {\delta _{x}}{2}}(x)\cap \mathbb {Q} \neq \emptyset }
Fixemos para cada
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
q
x
∈
B
δ
x
2
(
x
)
∩
Q
{\displaystyle q_{x}\in B_{\frac {\delta _{x}}{2}}(x)\cap \mathbb {Q} }
ϕ
:
X
→
Q
{\displaystyle \phi :X\to \mathbb {Q} }
ϕ
(
x
)
=
q
x
{\displaystyle \phi (x)=q_{x}}
ϕ
(
x
)
=
q
=
ϕ
(
y
)
{\displaystyle \phi (x)=q=\phi (y)}
d
(
x
,
q
)
<
δ
x
2
{\displaystyle d(x,q)<{\frac {\delta _{x}}{2}}}
d
(
y
,
q
)
<
δ
y
2
{\displaystyle d(y,q)<{\frac {\delta _{y}}{2}}}
δ
=
max
(
δ
x
,
δ
y
)
{\displaystyle \delta =\max(\delta _{x},\delta _{y})}
d
(
x
,
y
)
<
d
(
x
,
q
)
+
d
(
q
,
y
)
<
δ
x
2
+
δ
y
2
<
δ
{\displaystyle d(x,y)<d(x,q)+d(q,y)<{\frac {\delta _{x}}{2}}+{\frac {\delta _{y}}{2}}<\delta }
x
∈
B
δ
(
y
)
∩
X
⊂
B
δ
y
(
y
)
∩
X
=
{
y
}
{\displaystyle x\in B_{\delta }(y)\cap X\subset B_{\delta _{y}}(y)\cap X=\{y\}}
y
∈
B
δ
(
x
)
∩
X
⊂
B
δ
x
(
x
)
∩
X
=
{
x
}
{\displaystyle y\in B_{\delta }(x)\cap X\subset B_{\delta _{x}}(x)\cap X=\{x\}}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
Uma vez que
ϕ
:
X
→
Q
{\displaystyle \phi :X\to \mathbb {Q} }
|
X
|
≤
|
Q
|
=
|
N
|
{\displaystyle |X|\leq |\mathbb {Q} |=|\mathbb {N} |}
X
{\displaystyle X}
Note que a mesma demonstração continua válida para espaços métricos que satisfazem o 3º axioma de enumerabilidade.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
editar
Seja
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
Como X é um conjunto limitado, existe um intervalo finito
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]\,}
X
⊂
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle X\subset [a,b]\,.}
M
1
,
{\displaystyle M_{1}\,,}
M
1
:=
a
+
b
2
{\displaystyle M_{1}:={\frac {a+b}{2}}\,}
como
X
=
(
X
∩
[
a
,
M
1
]
)
∪
(
X
∩
[
M
1
,
b
]
)
{\displaystyle X=\left(X\cap [a,M_{1}]\right)\cup \left(X\cap [M_{1},b]\right)}
X é um conjunto com infinitos pontos, podemos inferir que
(
X
∩
[
a
,
M
1
]
)
{\displaystyle \left(X\cap [a,M_{1}]\right)}
(
X
∩
[
M
1
,
b
]
)
{\displaystyle \left(X\cap [M_{1},b]\right)}
:
a
1
=
M
1
,
b
1
=
b
,
se
(
X
∩
[
M
1
,
b
]
)
for infinito;
a
1
=
a
,
b
1
=
M
1
,
c.c.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}a_{1}=M_{1},&b_{1}=b,&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{1},b]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{1}=a,&b_{1}=M_{1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}}
E define-se
X
1
:=
X
∩
[
a
1
,
b
1
]
,
{\displaystyle X_{1}:=X\cap [a_{1},b_{1}]\,,}
X
1
{\displaystyle X_{1}\,}
M
n
+
1
:=
a
n
+
b
n
2
:
{\displaystyle M_{n+1}:={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\,:}
a
n
+
1
=
M
n
+
1
,
b
n
+
1
=
b
n
,
se
(
X
∩
[
M
n
+
1
,
b
n
]
)
for infinito;
a
n
+
1
=
a
n
,
b
n
+
1
=
M
n
+
1
,
c.c.
{\displaystyle {\begin{array}{lll}a_{n+1}=M_{n+1},&b_{n+1}=b_{n},&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{n+1},b_{n}]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{n+1}=a_{n},&b_{n+1}=M_{n+1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}}
e, finalmente,
X
n
+
1
:=
X
n
∩
[
a
n
+
1
,
b
n
+
1
]
,
{\displaystyle X_{n+1}:=X_{n}\cap [a_{n+1},b_{n+1}]\,,}
a
n
{\displaystyle a_{n}\,}
b e a sequência
b
n
{\displaystyle b_{n}\,}
a . Daí, podemos inferir a existência dos limites:
lim
n
→
∞
a
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\,}
lim
n
→
∞
b
n
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\,.}
Como
b
n
−
a
n
=
b
−
a
2
n
,
{\displaystyle b_{n}-a_{n}={\frac {b-a}{2^{n}}}\,,}
lim
n
→
∞
a
n
=
lim
n
→
∞
b
n
=:
x
∗
.
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=:x^{*}\,.}
Vamos mostrar agora que
x
∗
{\displaystyle x^{*}\,}
X . Para isso, devemos mostrar que para todo
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0\,}
B
(
x
∗
,
ϵ
)
∩
X
{\displaystyle B(x^{*},\epsilon )\cap X}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0\,}
n tal que:
b
n
−
a
n
<
ϵ
{\displaystyle b_{n}-a_{n}<\epsilon \,}
Como
x
∈
[
a
n
,
b
n
]
,
{\displaystyle x\in [a_{n},b_{n}]\,,}
[
a
n
,
b
n
]
⊆
B
(
x
∗
,
ε
)
.
{\displaystyle [a_{n},b_{n}]\subseteq B(x^{*},\varepsilon )\,.}
B
(
x
∗
,
ϵ
)
∩
X
⊇
[
a
b
,
b
n
]
∩
X
=
X
n
.
{\displaystyle B(x^{*},\epsilon )\cap X\supseteq [a_{b},b_{n}]\cap X=X_{n}.}
X
n
{\displaystyle X_{n}\,}
x
∗
{\displaystyle x^{*}\,}
X , o que completa a demonstração.
Uma aplicação versão ligeiramente modificada e muito útil do teorema de Bolzano-Weierstrass é a seguinte:
Todo sequência limitada de números reais admite uma sub-sequência convergente.
editar
Se
F
n
{\displaystyle F_{n}\,}
F
n
+
1
⊆
F
n
,
{\displaystyle F_{n+1}\subseteq F_{n}\,,}
⋂
n
=
1
∞
F
n
≠
∅
;
{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}\neq \emptyset \,;}
Como cada
F
n
{\displaystyle F_{n}\,}
x
n
{\displaystyle x_{n}\,}
x
n
∈
F
n
{\displaystyle x_{n}\in F_{n}\,}
Do fato de os conjuntos
F
n
{\displaystyle F_{n}\,}
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}\,}
x
∗
.
{\displaystyle x^{*}\,.}
De
F
k
⊆
F
n
{\displaystyle F_{k}\subseteq F_{n}\,}
k
≥
n
,
{\displaystyle k\geq n\,,}
{
x
n
}
n
=
k
∞
⊆
F
k
{\displaystyle \{x_{n}\}_{n=k}^{\infty }\subseteq F_{k}\,}
x
∗
∈
F
k
{\displaystyle x^{*}\in F_{k}\,}
k . Daí temos que o limite
x
∗
∈
⋂
n
=
1
∞
F
n
{\displaystyle x^{*}\in \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}\,}
editar
A distância de um conjunto até um ponto é um importante conceito na análise e permite uma nova caracterização para os pontos do fecho de um conjunto: um ponto
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \,}
S
¯
{\displaystyle {\overline {S}}\,}
S
{\displaystyle S\,}
S
{\displaystyle S\,}
x
{\displaystyle x\,}
Definimos a distância entre um conjunto
S
⊆
R
{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} \,}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \,}
S e o ponto x .
dist
(
S
,
x
)
:=
inf
y
∈
S
|
x
−
y
|
{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x):=\inf _{y\in S}|x-y|\,}
dist
(
S
,
x
)
>
0
⟹
x
∉
S
{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x)>0\Longrightarrow x\notin S\,}
dist
(
S
,
x
)
=
dist
(
S
¯
,
x
)
{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x)={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,}
x
∈
S
¯
⟺
dist
(
S
,
x
)
=
0
;
{\displaystyle x\in {\overline {S}}\Longleftrightarrow {\hbox{dist}}(S,x)=0\,;}
1. Se
dist
(
S
,
x
)
>
0
,
{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x)>0\,,}
y
∈
S
{\displaystyle y\in S\,}
|
x
−
y
|
≥
dist
(
S
,
x
)
>
0
⟹
x
≠
y
{\displaystyle |x-y|\geq {\hbox{dist}}(S,x)>0\Longrightarrow x\neq y\,}
e o resultado segue.
2. Do fato que
S
⊆
S
¯
{\displaystyle S\subseteq {\overline {S}}\,}
dist
(
S
,
x
)
≥
dist
(
S
¯
,
x
)
{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x)\geq {\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,}
Para provar a desiguldade inversa, fixe um ponto
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} \,}
δ
:=
dist
(
S
¯
,
x
)
{\displaystyle \delta :={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,}
Da definição de ínfimo, podemos construir a sequência
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}\,}
y
n
∈
S
¯
e
|
y
n
−
x
|
<
δ
+
1
/
n
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle y_{n}\in {\overline {S}}{\hbox{ e }}|y_{n}-x|<\delta +1/n,~~n=1,2,3,\ldots \,}
Como
y
n
∈
S
¯
,
{\displaystyle y_{n}\in {\overline {S}}\,,}
z
n
{\displaystyle z_{n}\,}
z
n
∈
S
e
|
z
n
−
y
n
|
<
1
/
n
{\displaystyle z_{n}\in S{\hbox{ e }}|z_{n}-y_{n}|<1/n\,}
Da desigualdade triangular, temos:
|
z
n
−
x
|
≤
|
z
n
−
y
n
|
+
|
y
n
−
x
|
<
δ
+
2
/
n
{\displaystyle |z_{n}-x|\leq |z_{n}-y_{n}|+|y_{n}-x|<\delta +2/n\,}
Agora, basta estimar:
dist
(
S
,
x
)
≤
inf
n
=
1
∞
|
z
n
−
x
|
=
δ
=
dist
(
S
¯
,
x
)
{\displaystyle {\hbox{dist}}(S,x)\leq \inf _{n=1}^{\infty }|z_{n}-x|=\delta ={\hbox{dist}}({\overline {S}},x)\,}
E o resultado segue.
3. Resta-nos demonstrar que se
F
{\displaystyle F\,}
dist
(
F
,
x
)
=
0
⟹
x
∈
F
{\displaystyle {\hbox{dist}}(F,x)=0\Longrightarrow x\in F\,}
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}\,}
y
n
∈
S
¯
e
|
y
n
−
x
|
<
1
/
n
,
n
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle y_{n}\in {\overline {S}}{\hbox{ e }}|y_{n}-x|<1/n,~~n=1,2,3,\ldots \,}
Da definição de limite, temos que:
lim
n
→
∞
y
n
=
x
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=x\,}
Como
F
{\displaystyle F\,}
x
{\displaystyle x\,}
{
y
n
}
{\displaystyle \{y_{n}\}\,}
F
.
{\displaystyle F\,.}
Um conjunto é dito compacto se toda sequência contida em X possui uma sub-sequência que converge para algum ponto de X .
editar
a. Suponha que X não seja um conjunto fechado, então, por definição, existe uma sequência
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X\,}
x
∉
X
{\displaystyle x\notin X\,}
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}\,}
x , portanto, nenhuma subsequência de
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}}
X , logo X não pode ser compacto.
b. Suponha que X não seja um conjunto limitado. Então por definição, é possível construir uma sequência
x
n
∈
X
{\displaystyle x_{n}\in X\,}
|
x
n
|
>
n
.
{\displaystyle |x_{n}|>n\,.}
X não pode ser compacto.
editar
Suponha que X é fechado e limitado e seja
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}\,}
X . A sequência
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}\,}
x
∗
,
{\displaystyle x^{*}\,,}
X é fechado,
x
∗
∈
X
,
{\displaystyle x^{*}\in X\,,}
Compacidade no sentido de Heine-Borel
editar
Seja
X
{\displaystyle X\,}
{
O
λ
}
{\displaystyle \{O_{\lambda }\}\,}
O
λ
{\displaystyle O_{\lambda }\,}
λ
∈
Λ
.
{\displaystyle \lambda \in \Lambda \,.}
{
O
λ
}
{\displaystyle \{O_{\lambda }\}\,}
cobertura de
X
{\displaystyle X\,}
⋃
λ
∈
Λ
O
λ
⊇
X
{\displaystyle \bigcup _{\lambda \in \Lambda }O_{\lambda }\supseteq X\,}
A família de abertos
{
O
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{O_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\,}
O
n
=
(
−
n
,
n
)
{\displaystyle O_{n}=(-n,n)\,}
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
A família de abertos
{
O
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \left\{O_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\,}
O
n
=
(
1
−
1
/
n
,
1
+
1
/
n
)
{\displaystyle O_{n}=(1-1/n,1+1/n)\,}
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle (0,1)\,.}
A família de abertos
{
O
λ
}
{\displaystyle \left\{O_{\lambda }\right\}\,}
O
λ
=
(
−
λ
,
λ
)
,
{\displaystyle O_{\lambda }=(-\lambda ,\lambda )\,,}
λ
{\displaystyle \lambda \,}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)\,}
(
−
1
,
1
)
.
{\displaystyle (-1,1)\,.}
Seja
{
O
λ
}
,
λ
∈
Λ
{\displaystyle \{O_{\lambda }\},~~\lambda \in \Lambda \,}
cobertura de
X
{\displaystyle X\,}
Γ
⊆
Λ
.
{\displaystyle \Gamma \subseteq \Lambda \,.}
{
O
γ
}
,
γ
∈
Γ
{\displaystyle \{O_{\gamma }\},~~\gamma \in \Gamma \,}
{
O
λ
}
,
λ
∈
Λ
{\displaystyle \{O_{\lambda }\},~~\lambda \in \Lambda \,}
{
O
γ
}
,
γ
∈
Γ
{\displaystyle \{O_{\gamma }\},~~\gamma \in \Gamma \,}
X .
Um conjunto é compacto se e somente se possui a propriedade de Heine-Borel:
Toda cobertura de abertos admite uma subcobertura finita. Demonstração Começamos demonstrando o seguinte lema:
Lema
Se um conjunto K possui a propriedade de Heine-Borel e
x
∉
K
,
{\displaystyle x\notin K\,,}
dist
(
K
,
x
)
>
0
;
{\displaystyle {\hbox{dist}}(K,x)>0\,;}
Define-se:
r
(
y
)
=
|
x
∗
−
y
|
2
,
∀
y
∈
R
n
{\displaystyle r(y)={\frac {|x^{*}-y|}{2}},\forall y\in \mathbb {R} ^{n}}
É claro que
r
(
y
)
>
0
{\displaystyle r(y)>0\,}
y
{\displaystyle y\,}
K
.
{\displaystyle K\,.}
Agora constróem-se os abertos:
O
y
=
B
(
y
,
r
(
y
)
)
,
∀
y
∈
K
,
{\displaystyle O_{y}=B(y,r(y)),\forall y\in K,}
r
(
y
)
{\displaystyle r(y)\,}
Eles formam uma cobertura para
K
:
{\displaystyle K:}
K
=
⋃
y
∈
K
{
y
}
⊇
⋃
y
∈
K
O
y
{\displaystyle K=\bigcup _{y\in K}\{y\}\supseteq \bigcup _{y\in K}O_{y}}
Usando a propriedade de Heine-Borel, estabelecemos a existência de um conjunto finito de pontos
y
1
,
y
2
,
…
,
y
n
∈
K
{\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\in K\,}
K
⊆
⋃
k
=
1
n
O
y
k
{\displaystyle K\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}}
Da simples definição de
O
y
,
{\displaystyle O_{y}\,,}
y
∗
{\displaystyle y^{*}\,}
r
(
y
)
:
{\displaystyle r(y)\,:}
O
y
⋂
B
(
x
∗
,
r
(
y
)
)
=
B
(
y
,
r
(
y
)
)
⋂
B
(
x
∗
,
r
(
y
)
)
=
∅
{\displaystyle O_{y}\bigcap B(x^{*},r(y))=B(y,r(y))\bigcap B(x^{*},r(y))=\emptyset }
Define-se:
δ
=
min
k
=
1
n
r
(
y
k
)
{\displaystyle \delta =\min _{k=1}^{n}r(y_{k})\,}
temos:
O
y
k
⋂
B
(
x
∗
,
δ
)
=
B
(
y
k
,
r
(
y
k
)
)
⋂
B
(
x
∗
,
δ
)
⊆
B
(
y
k
,
r
(
y
k
)
)
⋂
B
(
x
∗
,
r
(
y
k
)
)
=
∅
,
∀
k
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle O_{y_{k}}\bigcap B(x^{*},\delta )=B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},\delta )\subseteq B(y_{k},r(y_{k}))\bigcap B(x^{*},r(y_{k}))=\emptyset ,\forall k=1,\ldots ,n}
Tomando a união, temos:
K
⋂
(
B
(
x
∗
,
δ
)
)
⊆
(
⋃
k
=
1
n
O
y
k
)
⋂
B
(
x
∗
,
δ
)
=
∅
{\displaystyle K\bigcap \left(B(x^{*},\delta )\right)\subseteq \left(\bigcup _{k=1}^{n}O_{y_{k}}\right)\bigcap B(x^{*},\delta )=\emptyset }
O que completa a demonstração.
Todo conjunto de Heine-Borel é fechado Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel e seja
x
∉
K
,
{\displaystyle x\notin K\,,}
dist
K
,
x
>
0
{\displaystyle {\hbox{dist}}{K,x}>0\,}
x
∉
K
¯
,
{\displaystyle x\notin {\overline {K}}\,,}
K
c
⊆
K
¯
c
⟹
K
¯
⊆
K
{\displaystyle K^{c}\subseteq {\overline {K}}^{c}\Longrightarrow {\overline {K}}\subseteq K\,}
e portanto K é fechado.
Todo conjunto de Heine-Borel é limitado Seja K um conjunto com a propriedade de Heine-Borel. Considere a seguinte cobertura de K :
K
⊆
R
=
⋃
n
=
1
∞
(
−
n
,
n
)
{\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }(-n,n)\,}
Da propriedade de Heine-Borel, podemos extrair uma subcobertura finita tal que:
K
⊆
⋃
n
=
1
N
(
−
n
,
n
)
=
(
−
N
,
N
)
{\displaystyle K\subseteq \bigcup _{n=1}^{N}(-n,n)=(-N,N)\,}
Logo K é limitado.
![{\displaystyle \mathbb {Z} \,,[a,b],[a,\infty ),(-\infty ,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/880db884f29d9273ec180b08e9c94a44a9445a00)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} -\mathbb {Q} ,(a,b),(a,b],[a,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aba3a86f923d45776d3c00ea0679378c6e2e524)
![{\displaystyle [a,b]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cb97ebba2cd3175f9a77446963c1849fc353ee)
![{\displaystyle X\subset [a,b]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92bc763ee8a279350ddbb56cb06b61e355afd8b1)
![{\displaystyle X=\left(X\cap [a,M_{1}]\right)\cup \left(X\cap [M_{1},b]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a95e97369cda4674af4e44176e7d54666c9bf3)
![{\displaystyle \left(X\cap [a,M_{1}]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d77308d72a9aafc84002e03bfa770bab14fcc3)
![{\displaystyle \left(X\cap [M_{1},b]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afd3c7e4b0fefea03fe438f23df136fa0384ae0)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}a_{1}=M_{1},&b_{1}=b,&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{1},b]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{1}=a,&b_{1}=M_{1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085d459f18efa15109c7a403a0e13e39bc156e89)
![{\displaystyle X_{1}:=X\cap [a_{1},b_{1}]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ac9510ceb9e186c6ddce7d8eeda8ac5b0d2cee5)
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}a_{n+1}=M_{n+1},&b_{n+1}=b_{n},&{\hbox{se }}\left(X\cap [M_{n+1},b_{n}]\right){\hbox{for infinito;}}\\a_{n+1}=a_{n},&b_{n+1}=M_{n+1},&{\hbox{c.c.}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3667b48e466cc348c138ad2582d8461ea119a7)
![{\displaystyle X_{n+1}:=X_{n}\cap [a_{n+1},b_{n+1}]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f4071a07a009aee25b2bd4345fa9863ef8b2ec)
![{\displaystyle x\in [a_{n},b_{n}]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d059f2a7b9badf268904f8cb66500d417a890e)
![{\displaystyle [a_{n},b_{n}]\subseteq B(x^{*},\varepsilon )\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5abf636ba02603f83958093e2d2a30b82e0fa197)
![{\displaystyle B(x^{*},\epsilon )\cap X\supseteq [a_{b},b_{n}]\cap X=X_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954053a18d3c779e94453fb4141b93dd1ae0874d)
