Análise real/Série

Definição de sérieEditar

Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência  , têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:

  • Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência

Dada uma sequência  , como somaremos todos os seus termos? vamos tomar   como uma sequência de soma dos termos de  . Assim:

  •  ,  ,  
  •  

Convergência de uma sérieEditar

Teste do termo geralEditar

Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.

Se   é uma série convergente então  

Demonstração
 

tomando limites, temos:

 
Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica   que não é convergente[1], apesar de seu termo geral convergir para zero [2].

Propriedades de sériesEditar

Seja   convergentes. Pelas propriedades de soma e produto

  •   converge para a + b
  •   converge para ta
  •   converge para ab
  •   converge para p.
    •  
    • Se  

ExemplosEditar

Série geométricaEditar

A série geométrica é a é formada por termos em progressão geométrica:

 

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

 

É facil ver que se   então esta série é convergente e sua soma é dada por:

 

Por outro lado, se  , esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

 

Onde "a" é o termo inicial da série.

NotasEditar

  1. Veja, por exemplo, esta página
  2. Conforme se vê nesta página