Análise real/Série

Definição de série

Série de uma sequência é a soma de todos os elementos de uma sequência infinita. Como uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, têm infinitos termos, assim podemos dizer mais formalmente que:

• Série de uma sequência é a soma infinita de uma sequência

Dada uma sequência $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, como somaremos todos os seus termos? vamos tomar $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ como uma sequência de soma dos termos de $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$. Assim:

• $s_{1}=a_{1}\;$, $s_{2}=\sum _{n=1}^{2}a_{n}\;$, $s_{m}=\sum _{n=1}^{m}a_{n}\;$
• $s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;$

Convergência de uma série

Teste do termo geral

Proposição: é condição necessária para convergência de uma série que seu termo geral tenda para 0.

Se $s=\lim s_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\;$ é uma série convergente então $\lim \;a_{n}=0$

Demonstração

$a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}-\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\,$

tomando limites, temos:

$\lim a_{n}=s-s=0\,$

Observação

A recíproca é, no entanto, falsa. Um contraexemplo simples é dado pela série harmônica $\sum _{1}^{\infty }1/n\,$ que não é convergente, apesar de seu termo geral convergir para zero .

Propriedades de séries

Seja $\sum a_{n}=\;a,\sum b_{n}=b$ convergentes. Pelas propriedades de soma e produto

• $\sum a_{n}+\sum b_{n}=\sum (a_{n}+b_{n})\;$ converge para a + b
• $t\sum a_{n}=\sum ta_{n}\;$ converge para ta
• $(\sum a_{n})(\sum b_{n})=\;$ converge para ab
• $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\Rightarrow \sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}$ converge para p.
  • $p=a-\sum _{n=1}^{n_{0}-1}a_{n}\,$
  • Se $a_{n}\geq 0,\forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow p<a$

Exemplos

Série geométrica

A série geométrica é a é formada por termos em progressão geométrica:

$\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots$

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

$\sum _{n=0}^{N}r^{n}={\frac {1-r^{N+1}}{1-r}}={\frac {1}{1-r}}-{\frac {r^{N+1}}{1-r}}$

É facil ver que se $|r|<1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

$\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}$

Por outro lado, se $|r|\geq 1$, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral, demonstrado logo acima.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

$\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}$

Onde "a" é o termo inicial da série.