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Muitas vezes precisamos usar a soma ou produto de vários números reais de cada vez. Como "..." é dado sem significado pelos nossos axiomas, não podemos apenas escrever "
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
{\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}}
∑
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}}
∏
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}}
∑
k
=
1
1
a
k
=
a
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1}}
∏
k
=
1
1
=
a
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}=a_{1}}
∑
k
=
1
n
a
k
=
a
n
+
∑
k
=
1
n
−
1
a
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}=a_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}}
∏
k
=
1
n
a
k
=
a
n
∏
k
=
1
n
−
1
a
k
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{n}\prod _{k=1}^{n-1}a_{k}}
Agora podemos provar algumas propridades de soma e produto:
A ordem da somatória pode ser mudada arbitrariamente. Ao qual, se
{
a
k
:
1
≤
k
≤
n
}
=
{
b
k
:
1
≤
k
≤
n
}
,
{\displaystyle \{a_{k}:1\leq k\leq n\}=\{b_{k}:1\leq k\leq n\},}
∑
k
=
1
n
a
k
=
∑
k
=
1
n
b
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}
∏
k
=
1
n
a
k
=
∏
k
=
1
n
b
k
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=\prod _{k=1}^{n}b_{k}}
Prova: Isto segue por comutatividade e um pouco de indução.
∑
k
=
1
n
a
k
+
∑
k
=
1
n
b
k
=
∑
k
=
1
n
(
a
k
+
b
k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}=\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})}
∏
k
=
1
n
a
k
∏
k
=
1
n
b
k
=
∏
k
=
1
n
(
a
k
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}\prod _{k=1}^{n}b_{k}=\prod _{k=1}^{n}(a_{k}b_{k})}
Prova: Procederemos por indução. Primeiro, note que
∑
k
=
1
1
a
k
+
∑
k
=
1
1
b
k
=
a
k
+
b
k
=
∑
k
=
1
1
(
a
k
+
b
k
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{1}a_{k}+\sum _{k=1}^{1}b_{k}=a_{k}+b_{k}=\sum _{k=1}^{1}(a_{k}+b_{k}).}
Agora vamos supor que
∑
k
=
1
n
−
1
a
k
+
∑
k
=
1
n
−
1
b
k
=
∑
k
=
1
n
−
1
(
a
k
+
b
k
)
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}=\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}+b_{k}).}
∑
k
=
1
n
a
k
+
∑
k
=
1
n
b
k
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}}
=
∑
k
=
1
n
−
1
a
k
+
a
n
+
∑
k
=
1
n
−
1
b
k
+
b
n
{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}+b_{n}}
=
∑
k
=
1
n
−
1
a
k
+
∑
k
=
1
n
−
1
b
k
+
a
n
+
b
n
{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}+a_{n}+b_{n}}
=
∑
k
=
1
n
−
1
(
a
k
+
b
k
)
+
(
a
n
+
b
n
)
{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k}+b_{k})+(a_{n}+b_{n})}
=
∑
k
=
1
n
(
a
k
+
b
k
)
.
{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k}).}
A prova para o produto segue-se similarmente.
c
∑
k
=
1
n
a
k
=
∑
k
=
1
n
c
a
k
{\displaystyle c\sum _{k=1}^{n}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}ca_{k}}
Prova: Outra indução. Para
n
=
1
,
{\displaystyle n=1,}
c
∑
k
=
1
1
a
k
=
c
a
1
=
∑
k
=
1
1
c
a
k
.
{\displaystyle c\sum _{k=1}^{1}a_{k}=ca_{1}=\sum _{k=1}^{1}ca_{k}.}
c
∑
k
=
1
n
a
k
=
c
(
∑
k
=
1
n
−
1
a
k
+
a
n
)
=
∑
k
=
1
n
−
1
c
a
k
+
c
a
n
=
∑
k
=
1
n
c
a
k
.
{\displaystyle c\sum _{k=1}^{n}a_{k}=c(\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}+a_{n})=\sum _{k=1}^{n-1}ca_{k}+ca_{n}=\sum _{k=1}^{n}ca_{k}.}
∑
k
=
1
n
(
a
k
)
∑
l
=
1
m
(
b
l
)
=
∑
k
=
1
n
∑
l
=
1
m
a
k
b
l
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{l})=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{m}a_{k}b_{l}}
Prova: Faremos indução sobre n. A propriedade anterior toma conta do caso em que n=1. Assuremos que seja verdade para n-1. Logo
∑
k
=
1
n
(
a
k
)
∑
l
=
1
m
(
b
k
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})}
=
(
∑
k
=
1
n
−
1
(
a
k
)
+
a
n
)
∑
l
=
1
m
(
b
k
)
{\displaystyle =(\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k})+a_{n})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})}
=
∑
k
=
1
n
−
1
(
a
k
)
∑
l
=
1
m
(
b
k
)
+
a
n
∑
l
=
1
m
(
b
k
)
{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}(a_{k})\sum _{l=1}^{m}(b_{k})+a_{n}\sum _{l=1}^{m}(b_{k})}
=
∑
k
=
1
n
−
1
∑
l
=
1
m
(
a
k
b
l
)
+
∑
l
=
1
m
(
a
n
b
k
)
{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n-1}\sum _{l=1}^{m}(a_{k}b_{l})+\sum _{l=1}^{m}(a_{n}b_{k})}
=
∑
k
=
1
n
∑
l
=
1
m
(
a
k
b
l
)
{\displaystyle =\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{m}(a_{k}b_{l})}
Propridades mais familiares de soma e produto podem ser deduzidas por métodos similares.
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Esse conceito será muito útil para nós. E será muito usado nas próximas secções e em muitos exercícios.
Seja uma
X
1
⊂
X
2
⊂
.
.
.
⊂
X
n
⊂
.
.
.
{\displaystyle X_{1}\subset X_{2}\subset ...\subset X_{n}\subset ...}
X
n
=
[
x
n
,
y
n
]
.
{\displaystyle X_{n}=[x_{n},y_{n}]\;.}
X
=
⋂
i
=
1
∞
X
i
≠
∅
⇔
∃
a
∈
R
;
a
∈
X
n
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle X=\bigcap _{i=1}^{\infty }X_{i}\neq \varnothing \Leftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} ;\;a\in X_{n},\;\forall \;n\in \mathbb {N} }
De fato temos que
X
=
[
x
,
y
]
,
o
n
d
e
x
=
s
u
p
x
n
,
y
=
i
n
f
y
n
{\displaystyle X\;=[x,y],onde\;x=sup\;x_{n},y=inf\;y_{n}}
![{\displaystyle X_{n}=[x_{n},y_{n}]\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37fbce9461ce702850125ff0624c82efbdbd8f39)
![{\displaystyle X\;=[x,y],onde\;x=sup\;x_{n},y=inf\;y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06c7b8bae8070733bdfc7de3e7c68138e87d025f)