Análise real/tório

Notação de Somatório e ProdutórioEditar

Muitas vezes precisamos usar a soma ou produto de vários números reais de cada vez. Como "..." é dado sem significado pelos nossos axiomas, não podemos apenas escrever " ". Logo usamos símbolos   e   para denotar a soma e produto, respectivamente, sobre um arbitrário número finito de números reais. Faremos isto indutivamente, como se segue:

  •   e  
  •   e  

Agora podemos provar algumas propridades de soma e produto:

PropriedadesEditar

  • A ordem da somatória pode ser mudada arbitrariamente. Ao qual, se   então   e  
    • Prova: Isto segue por comutatividade e um pouco de indução.
  •   e  
    • Prova: Procederemos por indução. Primeiro, note que  

Agora vamos supor que   Logo      

A prova para o produto segue-se similarmente.

  •  
    • Prova: Outra indução. Para     Vamos supor que seja verdade para n-1. logo  
  •  
    • Prova: Faremos indução sobre n. A propriedade anterior toma conta do caso em que n=1. Assuremos que seja verdade para n-1. Logo      

Propridades mais familiares de soma e produto podem ser deduzidas por métodos similares.

Princípio dos Intervalos encaixadosEditar

Esse conceito será muito útil para nós. E será muito usado nas próximas secções e em muitos exercícios.

  • Seja uma   sequência decrescentes de intervalos limitados e fechados  
    •  
    • De fato temos que  

Ver tambémEditar