Uma sequência de números reais é uma função
s
:
N
→
R
{\displaystyle s:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }
que associa cada número natural a um número real. A notação usual para representar uma sequência é
(
s
n
)
n
∈
N
,
{\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} },}
quando não houver ambiguidade também pode-se escrever apenas
(
s
n
)
.
{\displaystyle (s_{n}).}
Para se referir a um termo específico da sequência, a notação é
s
n
,
{\displaystyle s_{n},}
ao invés de s(n). Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia.
Vamos observar que em todo livro estaremos considerando que o conjunto dos naturais
N
=
{
1
,
2
,
3
,
…
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}
.
Exemplos :
A sequência dos números naturais
s
:
N
→
R
{\displaystyle s:\mathbb {N} \rightarrow R}
dada por
s
n
=
n
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle s_{n}=n,\forall n\in \mathbb {N} }
ou mais simplesmente
(
n
)
n
∈
N
.
{\displaystyle (n)_{n\in \mathbb {N} }.}
A sequência de fibonacci
s
1
=
1
,
s
2
=
1
,
s
n
=
s
n
−
1
+
s
n
−
2
,
∀
n
∈
N
,
{\displaystyle s_{1}=1,s_{2}=1,s_{n}=s_{n-1}+s_{n-2},\forall \;n\in \mathbb {N} ,}
com
n
≥
2.
{\displaystyle n\geq 2.}
s
n
=
1
n
,
∀
n
∈
N
,
{\displaystyle s_{n}={1 \over n},\forall n\in \mathbb {N} ,}
com
n
≥
1
,
{\displaystyle n\geq 1,}
ou mais simplesmente
(
1
n
)
n
∈
N
.
{\displaystyle ({1 \over n})_{n\in \mathbb {N} }.}
A sequência
{
1
,
1
4
,
1
9
,
1
16
,
.
.
.
}
{\displaystyle \{1,{1 \over 4},{1 \over 9},{1 \over 16},...\}}
é uma forma de representar
s
1
=
1
1
2
,
s
2
=
1
2
2
,
s
3
=
1
3
2
,
s
4
=
1
4
2
,
…
{\displaystyle s_{1}={1 \over 1^{2}},s_{2}={1 \over 2^{2}},s_{3}={1 \over 3^{2}},s_{4}={1 \over 4^{2}},\ldots \,}
ou seja,
s
n
=
1
n
2
{\displaystyle s_{n}={1 \over n^{2}}}
Faremos o uso da equivalência de ponto em um intervalo.
Classificação das sequências
editar
Propriedades de uma sequência
editar
Convergência de uma sequência
editar
Dizemos que uma sequência
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
converge para o número real
a
{\displaystyle a\;}
quando, qualquer que seja
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0\;}
dado,
∃
n
0
∈
N
{\displaystyle \exists n_{0}\in \mathbb {N} }
tal que, se
n
>
n
0
,
{\displaystyle n>n_{0}\;,}
então
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
.
{\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon \;.}
Para dizer que
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
converge para
a
,
{\displaystyle a\;,}
normalmente escrevemos
(
a
n
)
→
a
,
{\displaystyle (a_{n})\rightarrow a,}
ou
lim
n
→
∞
x
n
=
a
{\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a}
ou apenas
lim
a
n
=
a
,
{\displaystyle \lim a_{n}=a,}
quando não houver dúvida que o limite trata de
n
{\displaystyle n}
tendendo ao infinito. Em outras palavras, a sequência
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
fica arbitrariamente próxima de
a
{\displaystyle a\;}
desde que se tome um
n
{\displaystyle n\;}
suficientemente grande.
Exemplos
A sequência
(
1
/
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (1/n)_{n\in \mathbb {N} }}
converge para
0.
{\displaystyle 0.}
De fato, dado
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \epsilon >0,}
pela propriedade arquimediana da reta real, existe
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
tal que
n
0
>
1
ϵ
,
{\displaystyle n_{0}>{\frac {1}{\epsilon }}\;,}
portanto
−
ϵ
<
0
<
1
/
n
0
<
ϵ
.
{\displaystyle -\epsilon <0<1/n_{0}<\epsilon \;.}
Logo
|
1
/
n
0
−
0
|
<
ϵ
{\displaystyle |1/n_{0}-0|<\epsilon \;}
e concluimos que
(
1
/
n
)
→
0
.
{\displaystyle (1/n)\rightarrow 0\;.}
Divergência de uma sequência
editar
Uma sequência que não é convergente é dita divergente. A divergência geralmente ocorre por dois motivos: A sequência não é limitada ou possui duas subsequências convergindo para valores diferentes.
Proposição (unicidade do limite)
editar
Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa? Intuitivamente sabemos o que significa uma sequência convergir para um número, mas agora precisamos saber se a definição formal não permite que exista mais de um limite. Ou seja, queremos provar que, se uma sequência converge, então o limite é único .
Seja
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})}
uma sequência de números reais convergente com
x
=
lim
x
n
.
{\displaystyle x=\lim x_{n}.}
Suponha que
y
∈
R
{\displaystyle y\in R}
seja tal que
y
=
lim
x
n
,
{\displaystyle y=\lim x_{n},}
queremos mostrar que
x
=
y
{\displaystyle x=y}
.
Suponha, por absurdo, que
x
≠
y
,
{\displaystyle x\not =y,}
então
|
x
−
y
|
>
0
{\displaystyle |x-y|>0}
. Tomemos então
ϵ
=
|
x
−
y
|
2
{\displaystyle \epsilon ={|x-y| \over 2}}
.(3)
Por um lado,
(
x
n
)
→
x
,
{\displaystyle (x_{n})\rightarrow x,}
assim
∀
ϵ
>
0
,
∃
n
1
∈
N
{\displaystyle \forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{1}\in \mathbb {N} }
tal que
n
>
n
1
⇒
|
x
n
−
x
|
<
ϵ
{\displaystyle n>n_{1}\Rightarrow |x_{n}-x|<\epsilon }
.(4)
Por outro lado
(
x
n
)
→
y
,
{\displaystyle (x_{n})\rightarrow y,}
logo
∀
ϵ
>
0
,
∃
n
2
∈
N
{\displaystyle \forall \;\epsilon >0,\exists \;n_{2}\in \mathbb {N} }
tal que
n
>
n
2
⇒
|
x
n
−
y
|
<
ϵ
{\displaystyle n>n_{2}\Rightarrow |x_{n}-y|<\epsilon }
.(5)
Tome
n
0
=
m
a
x
{
n
1
,
n
2
}
{\displaystyle n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}}
para garantir que os termos da sequência satisfaçam a convergência tanto para x, como para y. Assim
n
>
n
0
⇒
∀
n
∈
N
,
n
>
n
1
e
n
>
n
2
⇒
(
4
)
,
(
5
)
|
x
n
−
x
|
,
|
x
n
−
y
|
<
ϵ
{\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow \forall \;n\in \mathbb {N} ,n>n_{1}\;e\;n>n_{2}\Rightarrow _{(4),(5)}|x_{n}-x|,|x_{n}-y|<\epsilon }
(2)
Contudo
|
x
−
y
|
=
|
x
−
x
n
+
x
n
−
y
|
≤
(
1
)
|
x
−
x
n
|
+
|
x
n
−
y
|
<
(
2
)
ϵ
+
ϵ
=
2
ϵ
=
(
3
)
|
x
−
y
|
{\displaystyle |x-y|=|x-x_{n}+x_{n}-y|\leq _{(1)}|x-x_{n}|+|x_{n}-y|<_{(2)}\epsilon +\epsilon =2\epsilon =_{(3)}|x-y|}
.
(1) pela desigualdade triangular
Mas é um absurdo concluir que
|
x
−
y
|
<
|
x
−
y
|
{\displaystyle |x-y|<|x-y|}
. Portanto foi um absurdo ter suposto que
x
≠
y
{\displaystyle x\neq y}
. Então podemos concluir que x=y.
Essa proposição nos diz que se uma sequência converge para um limite a, então dados b e c reais, tais que b<a<c então a partir de um certo termo da sequência
n
0
{\displaystyle n_{0}}
todos os termos estarão no intervalo (b,c).
Seja
a
=
lim
a
n
,
b
∈
R
{\displaystyle a=\lim a_{n},b\in \mathbb {R} }
, logo:
Se
a
<
b
{\displaystyle a<b}
( resp.
a
>
b
{\displaystyle a>b}
), então existe
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
tal que
n
>
n
0
⇒
a
n
<
b
(
r
e
s
p
.
a
n
>
b
)
{\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow a_{n}<b\;(resp.a_{n}>b)}
.
Se
a
n
≥
b
(
r
e
s
p
.
a
n
≤
b
)
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle a_{n}\geq b\;(resp.a_{n}\leq b),\forall \;n\in \mathbb {N} }
, então
a
≥
b
(
r
e
s
p
.
a
≤
b
)
{\displaystyle a\geq b\;(resp.a\leq b)}
.
Tome
a
<
b
(
⇒
b
−
a
>
0
)
e
ϵ
=
b
−
a
{\displaystyle a<b(\Rightarrow b-a>0)\;e\;\epsilon =b-a}
(1), logo
∃
n
0
∈
N
{\displaystyle \exists \;n_{0}\in \mathbb {N} }
tal que
n
>
n
0
⇒
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
⇒
(
1
)
−
(
b
−
a
)
<
a
n
−
a
<
b
−
a
⇒
a
n
<
b
,
∀
n
∈
N
{\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon \Rightarrow _{(1)}-(b-a)<a_{n}-a<b-a\Rightarrow a_{n}<b,\forall \;n\in \mathbb {N} }
.
O segundo resultado resulta da contraposição do primeiro.
Toda sequência convergente é limitada.
Seja
lim
a
n
=
a
{\displaystyle \lim \;a_{n}=a}
, assim para
ϵ
=
1
,
∃
n
0
∈
N
{\displaystyle \epsilon =1,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N} }
tal que
n
>
n
0
⇒
|
a
n
−
a
|
<
1.
{\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<1.}
Além disso, o conjunto
X
=
{
a
0
,
a
1
,
.
.
.
,
a
n
0
,
a
−
1
,
a
+
1
}
{\displaystyle X=\{a_{0},a_{1},...,a_{n_{0}},a-1,a+1\}}
é finito, não-vazio e limitado, então existe
A
=
min
X
{\displaystyle A=\min X\;}
e
B
=
max
X
,
{\displaystyle B=\max X\;,}
. Tome
L
=
max
{
|
A
|
,
|
B
|
,
}
⇒
−
L
<
A
<
B
<
L
{\displaystyle L=\max\{|A|,|B|,\}\Rightarrow -L<A<B<L}
. Como temos que
A
≤
x
n
≤
B
⇒
−
L
≤
x
n
≤
L
⇒
|
x
n
|
≤
L
{\displaystyle A\leq x_{n}\leq B\Rightarrow -L\leq x_{n}\leq L\Rightarrow |x_{n}|\leq L}
para todo
n
∈
N
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
Proposição (operações com sequências)
editar
Dadas duas sequências
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
e
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})\;}
convergentes, com
a
=
lim
a
n
{\displaystyle a=\lim a_{n}}
e
b
=
lim
b
n
{\displaystyle b=\lim b_{n}}
e um número real
λ
,
{\displaystyle \lambda \;,}
então valem as seguintes propriedades:
(
a
n
+
b
n
)
→
a
+
b
;
{\displaystyle (a_{n}+b_{n})\rightarrow a+b;}
(
a
n
b
n
)
→
a
b
;
{\displaystyle (a_{n}b_{n})\rightarrow ab;}
(
λ
a
n
)
→
λ
a
;
{\displaystyle (\lambda a_{n})\rightarrow \lambda a;}
Se
b
n
≠
0
,
∀
n
∈
N
,
{\displaystyle b_{n}\not =0,\forall n\in \mathbb {N} ,}
e
b
≠
0
,
{\displaystyle b\not =0,}
então:
(
a
n
b
n
)
→
a
b
.
{\displaystyle \left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)\rightarrow {\frac {a}{b}}.}
Vamos demonstrar a primeira das propriedades. Dado
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \epsilon >0\;,}
existem
n
a
,
n
b
{\displaystyle n_{a},n_{b}\;}
naturais tais que, se
n
>
n
a
,
n
b
{\displaystyle n>n_{a},n_{b}\;}
então
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
2
{\displaystyle |a_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}}
e
|
b
n
−
b
|
<
ϵ
2
.
{\displaystyle |b_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}.}
Portanto, se
n
0
=
m
a
x
{
n
a
,
n
b
}
{\displaystyle n_{0}=max\{n_{a},n_{b}\}\;}
e
n
>
n
0
,
{\displaystyle n>n_{0}\;,}
então
|
(
a
n
+
b
n
)
−
(
a
+
b
)
|
=
|
(
a
n
−
a
)
+
(
b
n
−
b
)
|
≤
|
a
n
−
a
|
+
|
b
n
−
b
|
<
ϵ
2
+
ϵ
2
=
ϵ
.
{\displaystyle |(a_{n}+b_{n})-(a+b)|=|(a_{n}-a)+(b_{n}-b)|\leq |a_{n}-a|+|b_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon .}
Logo
(
a
n
+
b
n
)
→
a
+
b
.
{\displaystyle (a_{n}+b_{n})\rightarrow a+b.}
As outras propriedades ficam de exercício para o leitor.
Se
a
n
→
0
,
b
n
é limitada
,
{\displaystyle a_{n}\rightarrow 0,b_{n}\;{\text{é limitada}},}
então
a
n
⋅
b
n
→
0
;
{\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\rightarrow 0;}
Como bn é uma sequência limitada, temos que existe B > 0 tal que |bn | < B para todo n .
Então, dado ε > 0 , temos que
ϵ
B
>
0
.
{\displaystyle {\frac {\epsilon }{B}}>0\,.}
Como an é uma sequência que converge para 0 , existe n 0 tal que, para todo n > n0 , | an - 0| < ε / B .
Finalmente, fazendo as contas, temos que |an bn - 0| < |an | |bn | < (ε / B ) . B = ε .
Ou seja, para todo ε > 0 , encontramos n0 tal que para todo n > n0 , |an bn - 0| < ε - precisamente a definição de limite.
Proposição (convergência de sequências monótonas limitadas)
editar
Toda sequência de números reais monótona limitada converge.
Vamos demonstrar que toda sequência não-decrescente, limitada superiormente, é convergente. Fica como exercício para o leitor adaptar a demonstração para outros tipos de sequências monótonas.
Seja
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
uma sequência não-decrescente limitada superiormente. Isto é,
a
n
≤
a
m
{\displaystyle a_{n}\leq a_{m}}
se
n
<
m
{\displaystyle n<m\;}
e existe
M
∈
R
{\displaystyle M\in \mathbb {R} }
tal que
a
n
<
M
,
{\displaystyle a_{n}<M\;,}
para todo
n
∈
N
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} .}
Desta forma, o conjunto
A
=
{
a
n
:
n
∈
N
}
{\displaystyle A=\{a_{n}:n\in \mathbb {N} \}}
é um conjunto de número reais, não vazio e limitado superiormente, então
A
{\displaystyle A\;}
tem supremo.
Seja
a
=
s
u
p
A
,
{\displaystyle a=supA\;,}
vou mostrar que
(
a
n
)
→
a
.
{\displaystyle (a_{n})\rightarrow a.}
Como
a
=
s
u
p
A
,
{\displaystyle a=supA\;,}
qualquer que seja
ϵ
>
0
,
a
−
ϵ
{\displaystyle \epsilon >0,a-\epsilon \;}
não é o supremo de
A
,
{\displaystyle A\;,}
então existe
a
n
0
∈
A
{\displaystyle a_{n_{0}}\in A}
com
a
−
ϵ
≤
a
n
0
≤
a
.
{\displaystyle a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a.}
Como a sequência
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
é não-decrescente, se
n
≥
n
0
,
{\displaystyle n\geq n_{0},}
temos
a
−
ϵ
≤
a
n
0
≤
a
n
≤
a
,
{\displaystyle a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a_{n}\leq a,}
sendo a o supremo de
A
,
{\displaystyle A\;,}
podemos ainda acrescentar uma relação à desigualdade, temos então
a
−
ϵ
≤
a
n
0
≤
a
n
≤
a
≤
a
+
ϵ
,
{\displaystyle a-\epsilon \leq a_{n_{0}}\leq a_{n}\leq a\leq a+\epsilon ,}
que significa que, se
n
≥
n
0
{\displaystyle n\geq n_{0}}
então
|
a
−
a
n
|
<
ϵ
.
{\displaystyle |a-a_{n}|<\epsilon \;.}
Que é exatamente a definição de convergência de sequências, então
(
a
n
)
→
a
.
{\displaystyle (a_{n})\rightarrow a.}
Toda sequência monótona converge se possui uma subsequência convergente
Sejam
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
uma sequência em
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
convergente para
a
.
{\displaystyle a\;.}
Se
a
>
0
,
{\displaystyle a>0\;,}
então
∃
n
0
∈
N
;
n
>
n
0
⇒
a
n
>
0
{\displaystyle \exists \;n_{0}\in \mathbb {N} ;n>n_{0}\Rightarrow a_{n}>0}
Se
a
n
>
0
,
∀
n
∈
N
,
{\displaystyle a_{n}>0,\forall \;n\in \mathbb {N} ,}
então
a
≥
0.
{\displaystyle a\geq 0.}
(1)Seja
ϵ
=
a
{\displaystyle \epsilon =a}
, então existe
n
0
∈
N
{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }
tal que
∀
n
≥
n
0
⟹
|
a
n
−
a
|
<
a
⟹
−
a
<
a
n
−
a
<
a
{\displaystyle \forall n\geq n_{0}\implies |a_{n}-a|<a\implies -a<a_{n}-a<a}
. Somando
a
{\displaystyle a}
a todos os lados da desigualdade temos que
0
<
a
n
<
2
a
⟹
a
n
>
0
∀
n
≥
n
0
{\displaystyle 0<a_{n}<2a\implies a_{n}>0\quad \forall n\geq n_{0}}
(2)Dado
ϵ
>
0
,
∃
n
0
{\displaystyle \epsilon >0,\exists n_{0}}
tal que
n
>
n
0
⇒
a
−
ϵ
<
a
n
<
a
+
ϵ
.
{\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow a-\epsilon <a_{n}<a+\epsilon .}
Como
a
n
>
0
,
{\displaystyle a_{n}>0\;,}
temos
0
<
a
n
<
a
+
ϵ
{\displaystyle 0<a_{n}<a+\epsilon \;}
e portanto
0
<
a
+
ϵ
{\displaystyle 0<a+\epsilon \;}
e consequentemente
0
≤
a
.
{\displaystyle 0\leq a.}
Sejam
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
e
(
b
n
)
{\displaystyle (b_{n})\;}
duas sequências em
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
convergentes, com
a
=
lim
a
n
{\displaystyle a=\lim a_{n}}
e
b
=
lim
b
n
.
{\displaystyle b=\lim b_{n}.}
Se
a
n
<
b
n
,
{\displaystyle a_{n}<b_{n}\;,}
para todo
n
{\displaystyle n}
natural, então
a
≤
b
.
{\displaystyle a\leq b.}
Se
a
≤
b
n
,
∀
n
,
{\displaystyle a\leq b_{n},\forall \;n,}
então
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
(1)Se
a
n
<
b
n
,
{\displaystyle a_{n}<b_{n}\;,}
para todo
n
{\displaystyle n\;}
natural, então
0
<
b
n
−
a
n
,
{\displaystyle 0<b_{n}-a_{n}\;,}
para todo
n
{\displaystyle n\;}
e, pelo lema anterior,
0
≤
lim
(
b
n
−
a
n
)
=
lim
b
n
−
lim
a
n
{\displaystyle 0\leq \lim(b_{n}-a_{n})=\lim b_{n}-\lim a_{n}}
e portanto
lim
a
n
≤
lim
b
n
.
{\displaystyle \lim a_{n}\leq \lim b_{n}.}
(
1
)
⇒
(
2
)
{\displaystyle (1)\Rightarrow (2)}
Seja
a
n
=
a
(
c
o
n
s
t
a
n
t
e
)
,
∀
n
.
{\displaystyle a_{n}=a(constante),\forall \;n.}
Sejam
(
a
n
)
,
(
b
n
)
e
(
c
n
)
{\displaystyle (a_{n}),(b_{n}){\mbox{ e }}(c_{n})\;}
sequências em
R
.
{\displaystyle \mathbb {R} .}
Se
lim
a
n
=
lim
b
n
{\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}}
e
a
n
≤
c
n
≤
b
n
,
{\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n},}
para todo
n
{\displaystyle n\;}
então
∃
lim
c
n
{\displaystyle \exists \lim c_{n}}
e
lim
c
n
=
lim
a
n
=
lim
b
n
.
{\displaystyle \lim c_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}.}
Seja
c
=
lim
a
n
{\displaystyle c=\lim a_{n}}
e
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0\;}
dado.
Por um lado, como
c
=
lim
a
n
,
{\displaystyle c=\lim a_{n},}
existe
n
a
∈
N
{\displaystyle n_{a}\in \mathbb {N} }
tal que, se
n
>
n
a
{\displaystyle n>n_{a}\;}
então
c
−
ϵ
<
a
n
<
c
+
ϵ
.
{\displaystyle c-\epsilon <a_{n}<c+\epsilon \;.}
Por outro lado, como também temos que, como
c
=
lim
b
n
{\displaystyle c=\lim b_{n}}
existe
n
b
∈
N
{\displaystyle n_{b}\in \mathbb {N} }
tal que, se
n
>
n
b
{\displaystyle n>n_{b}\;}
então
c
−
ϵ
<
b
n
<
c
+
ϵ
.
{\displaystyle c-\epsilon <b_{n}<c+\epsilon \;.}
Pela desigualdade
a
n
≤
c
n
≤
b
n
,
{\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n},}
se
n
>
max
{
n
a
,
n
b
}
{\displaystyle n>\max\{n_{a},n_{b}\}\;}
então
c
−
ϵ
<
a
n
≤
c
n
≤
b
n
<
c
+
ϵ
.
{\displaystyle c-\epsilon <a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}<c+\epsilon .}
Logo
c
=
lim
c
n
.
{\displaystyle c=\lim c_{n}.}
Uma subsequência de uma sequência
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
é uma função
s
:
N
′
→
R
,
{\displaystyle s:\mathbb {N} '\rightarrow \mathbb {R} ,}
onde
N
′
⊂
N
{\displaystyle \mathbb {N} '\subset \mathbb {N} }
e
N
′
{\displaystyle \mathbb {N} '}
é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é
(
a
n
)
n
∈
N
′
.
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} '}.}
Como
N
′
{\displaystyle \mathbb {N} '}
é enumerável, seus elementos podem ser escritos como
{
n
1
,
n
2
,
.
.
.
,
n
k
,
.
.
}
,
{\displaystyle \{n_{1},n_{2},...,n_{k},..\}\;,}
e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que
n
i
<
n
j
,
{\displaystyle n_{i}<n_{j}\;,}
se
i
<
j
.
{\displaystyle i<j\;.}
Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo
(
a
n
k
)
k
∈
N
.
{\displaystyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }.}
Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.
Proposição (convergência de subsequências)
editar
Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.
Seja
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
uma sequência convergente para
a
{\displaystyle a\;}
e
(
a
n
k
)
{\displaystyle (a_{n_{k}})}
uma subsequência de
(
a
n
)
.
{\displaystyle (a_{n})\;.}
Como
(
a
n
)
→
a
,
{\displaystyle (a_{n})\rightarrow a,}
dado
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \epsilon >0\;,}
existe
n
0
{\displaystyle n_{0}\;}
tal que, se
n
>
n
0
,
{\displaystyle n>n_{0}\;,}
então
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
.
{\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon \;.}
Em especial, se
n
k
>
n
0
,
{\displaystyle n_{k}>n_{0}\;,}
temos
|
a
n
k
−
a
|
<
ϵ
.
{\displaystyle |a_{n_{k}}-a|<\epsilon .}
Logo
(
a
n
k
)
→
a
.
{\displaystyle (a_{n_{k}})\rightarrow a.}
Proposição (divergência de subsequências)
editar
Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para valores distintos então a sequência é divergente.
Toda sequência limitada, possui uma subsequência convergente
{\displaystyle \;}
Definição(Valor de aderência):
a
{\displaystyle a\;}
é "valor de aderência" de uma sequência
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
se, e somente se,
a
{\displaystyle a\;}
é limite de alguma das subsequências de
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
se, e somente se,
∀
ϵ
>
0
,
∃
n
0
∈
N
;
n
>
n
0
⇒
a
n
∈
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
.
{\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \;n_{0}\in \mathbb {N} ;\;n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon ).}
Fatos(Menor e Maior(Valor de aderência))
editar
Seja
a
n
{\displaystyle a_{n}\;}
uma sequência limitada.
Se a sequência
a
n
{\displaystyle a_{n}\;}
é convergente, então o valor de aderência é único
Se a sequência
a
n
{\displaystyle a_{n}\;}
possui duas subsequências convergente, convergindo para a e b, com a<b então para índices suficientemente grandes
a
n
∈
(
a
−
ϵ
,
b
+
ϵ
)
{\displaystyle a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon )}
Se a sequência
a
n
{\displaystyle a_{n}\;}
possui n+2 subsequências convergindo para
a
,
c
1
,
.
.
.
,
c
n
,
b
c
o
m
a
<
c
i
<
b
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
.
{\displaystyle a,c_{1},...,c_{n},b\;com\;a<c_{i}<b,i=1,2,...,n.}
Então a e b são o menor e maior valor de aderência e
c
i
∈
(
a
+
ϵ
,
b
−
ϵ
)
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle c_{i}\in (a+\epsilon ,b-\epsilon ),i=1,2,...,n}
Se
b
n
→
a
,
c
n
→
b
{\displaystyle b_{n}\rightarrow a,c_{n}\rightarrow b}
subsequências de
a
n
{\displaystyle a_{n}\;}
que possuem menor e o maior valor de aderência respectivamente, então
b
n
,
c
n
{\displaystyle b_{n},c_{n}\;}
são monótonas e
b
n
{\displaystyle b_{n}\;}
é crescente ou não-decrescente e
c
n
{\displaystyle c_{n}\;}
é decrescente ou não-crescente
Demonstração (VERIFICAR SE ESTÁ CORRETO)
editar
(1)
a
n
→
a
⇒
a
n
{\displaystyle a_{n}\rightarrow a\Rightarrow a_{n}}
possui uma subsequência convergindo para a. Por definição a é valor de aderência. Como
a
n
{\displaystyle a_{n}\;}
é convergente, não existe outra subsequência convergindo para outro valor diferente de a. Logo a é o único valor de aderência.
(2) Temos
n
>
n
1
⇒
a
n
∈
(
a
−
ϵ
,
a
+
ϵ
)
e
n
>
n
2
⇒
a
n
∈
(
b
−
ϵ
,
b
+
ϵ
)
.
{\displaystyle n>n_{1}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,a+\epsilon )\;e\;n>n_{2}\Rightarrow a_{n}\in (b-\epsilon ,b+\epsilon ).}
Também
a
−
ϵ
<
a
<
b
<
b
+
ϵ
⇒
n
>
n
0
=
m
a
x
{
n
1
,
n
2
}
,
c
o
m
a
n
∈
(
a
−
ϵ
,
b
+
ϵ
)
{\displaystyle a-\epsilon <a<b<b+\epsilon \Rightarrow n>n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\},com\;a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon )}
(3)Seja
c
j
≤
c
i
≤
c
k
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
.
{\displaystyle c_{j}\leq c_{i}\leq c_{k},i=1,2,...,n.}
Temos
n
>
n
j
⇒
a
n
∈
(
c
j
−
ϵ
,
c
j
+
ϵ
)
{\displaystyle n>n_{j}\Rightarrow a_{n}\in (c_{j}-\epsilon ,c_{j}+\epsilon )}
. Tome
n
>
n
k
⇒
a
n
∈
(
c
k
−
ϵ
,
c
k
+
ϵ
)
⇒
n
>
n
0
∗
=
max
{
n
j
,
n
k
}
,
c
o
m
a
n
∈
(
c
j
−
ϵ
,
c
k
+
ϵ
)
.
{\displaystyle n>n_{k}\Rightarrow a_{n}\in (c_{k}-\epsilon ,c_{k}+\epsilon )\Rightarrow n>n_{0}^{*}=\max\{n_{j},n_{k}\},\;com\;a_{n}\in (c_{j}-\epsilon ,c_{k}+\epsilon ).}
a
+
ϵ
<
c
j
<
c
k
<
b
−
ϵ
⇒
a
<
c
j
−
ϵ
<
c
k
+
ϵ
<
b
{\displaystyle a+\epsilon <c_{j}<c_{k}<b-\epsilon \Rightarrow a<c_{j}-\epsilon <c_{k}+\epsilon <b\;}
c
i
∈
[
c
j
,
c
k
]
⊂
(
c
j
−
ϵ
<
c
k
+
ϵ
)
⊂
(
a
,
b
)
{\displaystyle c_{i}\in [c_{j},c_{k}]\subset (c_{j}-\epsilon <c_{k}+\epsilon )\subset (a,b)}
e
c
i
∈
[
c
j
,
c
k
]
⊂
(
a
+
ϵ
,
b
−
ϵ
)
⊂
(
a
,
b
)
{\displaystyle c_{i}\in [c_{j},c_{k}]\subset (a+\epsilon ,b-\epsilon )\subset (a,b)}
(4) por (2) é verdade que
n
>
n
0
=
m
a
x
{
n
1
,
n
2
}
⇒
a
n
∈
(
a
−
ϵ
,
b
+
ϵ
)
.
{\displaystyle n>n_{0}=max\{n_{1},n_{2}\}\Rightarrow a_{n}\in (a-\epsilon ,b+\epsilon ).}
Mas não pode existir
b
n
,
c
n
∈
(
a
+
ϵ
,
b
−
ϵ
)
c
o
m
n
>
n
0
(
S
e
n
d
o
ϵ
<
a
+
b
2
)
{\displaystyle b_{n},c_{n}\in (a+\epsilon ,b-\epsilon )\;com\;n>n_{0}(Sendo\;\epsilon <{a+b \over 2})}
∄
b
j
≥
c
i
,
∀
i
,
j
∈
N
⇒
b
i
<
c
j
,
∀
i
,
j
∈
N
{\displaystyle \not \exists b_{j}\geq c_{i},\forall \;i,j\in \mathbb {N} \Rightarrow b_{i}<c_{j},\forall \;i,j\in \mathbb {N} }
Se
b
n
{\displaystyle b_{n}\;}
fosse decrescente ou não-crescente, teríamos
b
n
∈
[
a
,
a
+
ϵ
)
.
{\displaystyle b_{n}\in [a,a+\epsilon ).}
Como
n
>
n
0
⇒
b
n
∈
(
a
,
b
+
ϵ
)
,
a
s
s
i
m
b
<
b
i
{\displaystyle n>n_{0}\Rightarrow b_{n}\in (a,b+\epsilon ),\;assim\;b<b_{i}}
para algum
b
i
.
{\displaystyle b_{i}\;.}
(contradição). Da mesma forma fazemos com
c
n
{\displaystyle c_{n}\;}
Uma classe muito importante de sequências são as sequências de Cauchy, que são muito importantes não só para a Análise Real, mas também para a Análise Matemática e Topologia.
Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy
editar
Seja
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
uma sequência convergente para um ponto
a
.
{\displaystyle a\;.}
Como
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
converge para
a
,
{\displaystyle a\;,}
qualquer que seja
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \epsilon >0\;,}
existe
n
0
{\displaystyle n_{0}\;}
tal que, se
n
>
n
0
,
{\displaystyle n>n_{0}\;,}
então
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
/
2
.
{\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon /2\;.}
Portanto, se
n
,
m
>
n
0
,
{\displaystyle n,m>n_{0}\;,}
então
|
a
n
−
a
m
|
≤
|
a
n
−
a
|
+
|
a
m
−
a
|
<
ϵ
/
2
+
ϵ
/
2
=
ϵ
.
{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .}
Portanto
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
é de Cauchy.
Proposição: toda sequência de Cauchy é limitada
editar
Se
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})\;}
é uma sequência de números reais de Cauchy, então existem
m
,
M
{\displaystyle m,M\;}
reais tais que
m
≤
x
n
≤
M
,
{\displaystyle m\leq x_{n}\leq M,}
para todo n natural.
Como
(
x
n
)
{\displaystyle (x_{n})\;}
é uma sequência de Cauchy, dado
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \epsilon >0\;,}
existe
n
0
{\displaystyle n_{0}\;}
natural tal que, se
n
,
m
>
n
0
,
{\displaystyle n,m>n_{0}\;,}
então
|
x
n
−
x
m
|
<
ϵ
,
{\displaystyle |x_{n}-x_{m}|<\epsilon \;,}
portanto
|
x
n
−
x
n
0
+
1
)
|
<
ϵ
,
{\displaystyle |x_{n}-x_{{n_{0}}+1})|<\epsilon ,}
de onde concluimos que
x
n
∈
(
x
n
0
+
1
−
ϵ
,
x
n
0
+
1
+
ϵ
)
.
{\displaystyle x_{n}\in (x_{{n_{0}}+1}-\epsilon ,x_{{n_{0}}+1}+\epsilon ).}
Como
{
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
n
0
}
{\displaystyle \{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\}}
é um conjunto finito, sabemos que ele tem maior e menor elemento, então podemos definir
s
=
m
i
n
{
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
n
0
}
,
S
=
m
a
x
{
x
0
,
x
1
,
.
.
.
,
x
n
0
}
,
{\displaystyle s=min\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\},S=max\{x_{0},x_{1},...,x_{n_{0}}\},}
Desta forma definindo
m
=
m
i
n
{
s
,
x
n
0
+
1
−
ϵ
}
{\displaystyle m=min\{s,x_{{n_{0}}+1}-\epsilon \}}
e
M
=
m
a
x
{
S
,
x
n
0
+
1
+
ϵ
}
,
{\displaystyle M=max\{S,x_{{n_{0}}+1}+\epsilon \},}
temos que
m
≤
x
n
≤
M
,
{\displaystyle m\leq x_{n}\leq M,}
para todo
n
{\displaystyle n\;}
natural. Como queríamos.
Proposição: se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente, então converge
editar
Se
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
em
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
é uma sequência de Cauchy com subsequência
(
a
n
k
)
{\displaystyle (a_{n_{k}})}
convergente para
a
,
{\displaystyle a\;,}
então
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
converge para
a
.
{\displaystyle a\;.}
Dado
ϵ
>
0
,
{\displaystyle \epsilon >0\;,}
como
(
a
n
k
)
{\displaystyle (a_{n_{k}})}
converge para
a
,
{\displaystyle a\;,}
existe
n
k
0
{\displaystyle n_{k_{0}}}
tal que se
n
k
≥
n
k
0
,
{\displaystyle n_{k}\geq n_{k_{0}},}
então
|
a
−
a
n
k
|
<
ϵ
/
2.
{\displaystyle |a-a_{n_{k}}|<\epsilon /2.}
Como
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
é Cauchy, existe
n
0
>
0
t
a
l
q
u
e
n
,
m
≥
n
0
,
{\displaystyle n_{0}>0\;tal\;que\;n,m\geq n_{0},}
então
|
a
m
−
a
n
|
<
ϵ
/
2
.
{\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\epsilon /2\;.}
Tome agora
n
k
1
=
max
(
n
k
0
,
n
0
)
{\displaystyle n_{k_{1}}=\max(n_{k_{0}},n_{0})}
. Assim, pela desigualdade triangular, se
n
>
n
k
1
,
{\displaystyle n>n_{k_{1}}\;,}
então
|
a
−
a
n
|
≤
|
a
−
a
n
k
1
|
+
|
a
n
k
1
+
a
n
|
≤
ϵ
/
2
+
ϵ
/
2
=
ϵ
.
{\displaystyle |a-a_{n}|\leq |a-a_{n_{k_{1}}}|+|a_{n_{k_{1}}}+a_{n}|\leq \epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon .}
Lema: toda sequência tem subsequência monótona
editar
Seja
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
uma sequência qualquer e considere o conjunto
B
=
{
a
n
:
a
n
≤
a
k
,
∀
k
∈
N
,
k
>
n
}
.
{\displaystyle B=\{a_{n}:a_{n}\leq a_{k},\forall k\in \mathbb {N} ,k>n\}.}
Se
B
{\displaystyle B\;}
for infinito, então
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
tem subsequência não decrescente, caso contrário
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
tem subsequência decrescente.
Teorema: toda sequência real de Cauchy converge
editar
Se
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
é uma sequência de Cauchy, pelo lema anterior, existe uma subsequência
(
a
n
k
)
{\displaystyle (a_{n_{k}})}
monótona. Como
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
é Cauchy,
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
é limitada e portanto a subsequência
(
a
n
k
)
{\displaystyle (a_{n_{k}})}
também é limitada. Como toda sequência real monótona limitada converge, temos que
(
a
n
k
)
{\displaystyle (a_{n_{k}})}
converge, logo
(
a
n
)
{\displaystyle (a_{n})\;}
converge também, pois tem subsequência convergente. Concluímos que toda sequência real de Cauchy converge.
Os números reais não são enumeráveis
editar
Vimos, em um capítulo anterior (Enumerabilidade ) que existem conjuntos enumeráveis e conjuntos que não são enumeráveis. A prova será feita agora; mais especificamente, mostraremos que o intervalo fechado [0, 1] não é enumerável (o resultado para
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
é imediato, pois
[
0
,
1
]
⊆
R
{\displaystyle [0,1]\subseteq \mathbb {R} \,}
).
Seja portanto
s
:
N
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle s:\mathbb {N} \to [0,1]\,}
uma sequência qualquer de números reais entre zero e um.
Vamos construir uma sequência de intervalos, por indução finita, definindo:
I
0
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle I_{0}=[0,1]\,}
Seja
I
n
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle I_{n}=[a,b]\,}
e sejam
m
=
a
+
b
2
{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}}
,
a
1
=
2
a
+
b
3
{\displaystyle a_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,}
e
b
1
=
a
+
2
b
3
{\displaystyle b_{1}={\frac {a+2b}{3}}}
. Então definimos
I
n
+
1
=
[
a
,
a
1
]
{\displaystyle I_{n+1}=[a,a_{1}]\,}
se
x
n
>
m
{\displaystyle x_{n}>m\,}
, e
I
n
+
1
=
[
b
1
,
b
]
{\displaystyle I_{n+1}=[b_{1},b]\,}
caso contrário.
Por construção, é fácil ver que
…
I
2
⊂
I
1
⊂
I
0
{\displaystyle \ldots I_{2}\subset I_{1}\subset I_{0}\,}
. Além disso, temos que
∀
n
,
x
n
∉
I
n
+
1
{\displaystyle \forall n,x_{n}\not \in I_{n+1}\,}
.
Consideremos, então, a interseção de todos os intervalos
A
=
I
0
∩
I
1
∩
I
2
…
{\displaystyle A=I_{0}\cap I_{1}\cap I_{2}\ldots \,}
. Pela propriedade dos intervalos encaixados , este conjunto não é vazio (este conjunto é unitário, mas este detalhe não é importante neste prova).
Assim, temos que existe a ,
a
∈
A
{\displaystyle a\in A\,}
. Mas, pela propriedade de que
∀
n
,
x
n
∉
I
n
+
1
{\displaystyle \forall n,x_{n}\not \in I_{n+1}\,}
, temos que
x
n
∉
A
{\displaystyle x_{n}\not \in A\,}
, ou seja, a é diferente de cada um dos xn .
Em outras palavras, dada uma sequência de números entre 0 e 1, é possível construir um número real que não está nesta sequência.
Ou seja, o intervalo [0, 1] (portanto, os números reais) não é um conjunto enumerável.