Cálculo (Volume 1)/Aplicações das derivadas

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Aplicações das derivadas

Vamos começar a colocar em prática esses conceitos que aprendemos até então, a derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, algumas delas vamos explorar neste capítulo, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada mente a se manifestar.

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos também lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.

Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações, elas trazem um novo meio, capaz de nos trazer novas formas de analisar dados numéricos, vejamos o que podemos aproveitar de imediato...

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Taxas

A maneira genérica de representar uma quantidade fracionada, o que nos leva a uma quantidade dentro de diversos conteúdos é a taxa ou relação; de maneira efetiva temos um total "x" de porções "T" em "n" recipientes, esta simples representação mostra como uma taxa é estabelecida:

$T={\frac {x}{n}}$

A taxa é uma relação linear, que pressupõe o comportamento de dependência direta entre os termos; se tivéssemos que representar esta taxa em um gráfico, onde variássemos a quantidade de recipientes "n" e calculássemos o valor de "x", mantendo "T" constante, teríamos uma reta. É plausível pensar que a taxa "T" é constante, porém na natureza e no nosso cotidiano encontramos situações que raramente mostram a constância que observamos nesta equação, o mais comum é que tenhamos uma taxa diferente para cada situação em que nos deparamos.

Um caso típico, é a medida de velocidade de um corpo em movimento, se imaginarmos um carro andando pelas ruas de uma cidade, é impossível visualizar uma situação em que o carro tenha que se manter em velocidade constante por todo tempo que se mova a fim de chegar a seu destino. Uma vez que temos um ponto inicial $S_{i}$ e um final $S_{f}$, além de um instante inicial $t_{i}$e um final $t_{f}$, também podemos calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo neste trajeto, que é:

$V_{m}={\frac {S_{f}-S_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

ou

$V_{m}={\frac {\Delta S}{\Delta t}}$

Agora imagine que tenhamos que medir tempos e distâncias cada vez menores, o que nos levaria a medir quase que instantaneamente os valores, então teríamos uma medida instantânea da velocidade, isto é equivalente a fazer com que o valor de $\Delta t$ se aproxime de zero:

$v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta S}{\Delta t}}$

Isto não nos lembra algo conhecido? Exatamente, uma derivada; a velocidade medida a cada instante é uma taxa tomada quando os tempos de medição se aproximam do limite entre um e outro, então teremos o valor da velocidade para cada instante, tal qual teríamos se estivéssemos observando o velocímetro do carro...

A constatação acima nos fornece um meio de calcular, a partir de valores sugeridos, o valor da velocidade instantânea, precisamos apenas da função "s" em função do tempo, depois podemos obter a derivada de "s" com relação a "t" e teremos:

 $v=s\ '(t)={\frac {{\mbox{d}}s}{{\mbox{d}}t}}$

Que é a velocidade instantânea de qualquer corpo que tenha seu deslocamento expresso pela função $s(t)$, todos os movimentos que um corpo físico pode desenvolver podem ser expressos sob este método de cálculo, uma vez que qualquer curva de deslocamento pode ser lançada na fórmula da derivada, podendo ser calculada em seguida.

Podemos ainda fazer o cálculo da aceleração do mesmo corpo:

$a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

O que nos dá a aceleração instantãnea:

$a={\frac {{\mbox{d}}v}{{\mbox{d}}t}}$

ou

$a={\frac {{\mbox{d}}^{2}s}{{\mbox{d}}t^{2}}}$

Note que ao derivarmos a função $s(t)$ duas vezes estamos criando uma derivação dupla, que podemos simbolizar desta forma:

$a=s\ ''(t)={\frac {{\mbox{d}}^{2}s}{{\mbox{d}}t^{2}}}$

Esta expressão também é conhecida como "derivada segunda da função", o termo "segunda" designa o que chamamos de ordem da derivada, que indica quantas vezes a primeira função foi derivada, portanto temos o termo ordinal sempre indicando quantas vezes foi calculada a derivada.

Note que a derivação consecutiva de funções puramente algébricas sempre leva a zero, isto ocorre porque o grau do polinômio decresce até que reste apenas uma constante, a qual resulta em zero no último cálculo diferencial subseqüente.

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Máximo, mínimo e médio

Considerando que uma função não constante deve ter um valor máximo e outro mínimo em um segmento de seu domínio, quais são as possibilidades de análise que teríamos com as suas derivadas, visto que estas expressam tendências da declividade da função?

Vejamos o que podemos extrair das derivadas de uma função, que são expressões da declividade da curva que a representa e nos intui a possibilidade de antever o curso dos valores da função ao longo do domínio.

Extremos de um intervalo

Seja a função $f(x)$ cujo domínio limitamos em $[a,b]$, a menos que $f(x)$ seja constante,

 (1) Há um número ${n_{1}}$  do intervalo $[a,b]$ cujo seu correspondente na imagem $f(n_{1})$ é menor que todos os outros no domínio.

 (2) Há um número ${n_{2}}$ do intervalo $[a,b]$ cujo seu correspondente na imagem $f(n_{2})$ é maior que todos os outros no domínio.

Números críticos:

Definimos por número crítico, o valor assumido pela variável independente, de forma que seu resultante na imagem da função derivada seja nulo ou inexistente, o que na maioria das vezes se apresenta como um limite infinito.

Ou seja:

$f(x)$ tem derivada $f\ '(x)$ e c é um número crítico da função se:

$f\ '(c)=0$ ou
$f\ '(c)\not \exists$

T15 - Valor extremo

O valor extremo de uma função num intervalo
Considere agora que existe um número c, de forma que ${c}\in [a,b]$, que é domínio da função $f(x)$, podemos provar que: Se $f(c)\geq f(x)$ ou Se $f(c)\leq f(x)$ então:
$f\ '(c)=0$

Quando temos um número, dentro do intervalo, que obedece as condições acima, dizemos que é um "número crítico"; todas as vezes que uma função contínua tem um número cujo valor correspondente na imagem é maior ou menor que os valores dos outros, temos um máximo ou um mínimo no intervalo, intuitivamente, se a função é contínua e há um valor maior ou menor que os outros no mesmo intervalo é fácil concluir que a função terá que variar sua curva, variando a declividade de um valor positivo para outro negativo, o que nos leva a conclusão que, no limite entre os dois, ela terá que ser zero, fica claro então que quando há um extremo no intervalo, o valor numérico de sua derivada é nulo.

Vejamos a demonstração algébrica do teorema:

Seja os números $\alpha \ <\ {c}\ <\ \beta$, onde c é um número crítico do intervalo considerado, inicialmente, observando a derivada de $f(c)$, quando este valor é o maior no intervalo:

$f\ '(c)=\lim _{\alpha \to c^{-}}{\frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c}}>0$

e da mesma forma:

$f\ '(c)=\lim _{\beta \to c^{+}}{\frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c}}<0$

O que nos leva a concluir que:

$0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha )\ <\ f(c)\quad \land \quad f(\beta )\ <\ f(c)$  

Por outro lado se $f(c)$ é o menor valor do intervalo:

$f\ '(c)=\lim _{\alpha \to c^{-}}{\frac {f(\alpha )-f(c)}{\alpha -c}}<0$

e da mesma forma:

$f\ '(c)=\lim _{\beta \to c^{+}}{\frac {f(\beta )-f(c)}{\beta -c}}>0$

O que nos leva a concluir que:

$0<f\ '(c)<0\quad |\quad f(\alpha )\ >\ f(c)\quad \land \quad f(\beta )\ >\ f(c)$

Logo em ambos os casos o limite que nos dá a derivada da função em c tem valor nulo.

Portanto sempre que temos um valor de uma função que é extremo em um intervalo, seja maior ou menor, este terá sua derivada nula.

T16 - Teorema de Rolle

Este teorema serve de base para outras demonstrações e observações, também sendo importante para conclusões ao longo do estudo.

Observe o gráfico:

Figura 3

Teorema de Rolle
Considerando uma função $f(x)$ e um intervalo fechado $[a,b]$, obedecendo as seguintes condições: I - $f(x)$ é contínua em $[a,b]$; II - $f(x)$ é derivável em $(a,b)$; III - $f(x)$ é diferenciavel e subentendida em $(a,b)$; IV - $f(a)=f(b)=0$ Então é possível provar que existe pelo menos um número c no intervalo tal que:
$f\ '(c)=0$

Em decorrência do fato que a função gera dois valores iguais para a e para b, além de ser derivável, isto implica na existência de um número crítico c, entre estes dois pontos, visto que o teorema T15 demonstra este fato, além de afirmar que este extremo tem derivada nula, provamos que o teorema é valido para $f(x)\neq 0$. Por outro lado se $f(x)=0$ a derivada de $f(c)$ também é nula, visto que $f(x)-f(c)=0$ quando o limite $\lim _{x\to c}(x-c)$ é alcançado, portanto:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}=0$

T17 - Teorema do valor médio para derivadas

Tomemos dois números em um intervalo fechado $[a,b]$, quando uma função $f(x)$ é contínua neste intervalo temos pelo menos um número c, o qual projeta sobre a imagem da função um valor $f(c)$ de forma que a sua derivada é igual ao valor da declividade da reta entre os pontos $\{[a,f(a)];[b,f(b)]\}$.

A explicação deste fato é facilmente observada no gráfico de qualquer função contínua em um dado intervalo, uma vez que a curva não apresenta rupturas ao longo de seu traçado e entre os pontos há pelo menos uma sinuosidade simples ou uma reta, haverá uma progressão continuada da declividade de um ponto em direção à declividade do outro, neste caso a curva terá sempre que reproduzir valores de declividade de um extremo a outro, de forma que teremos inevitavelmente um ponto cuja reta tangente será paralela a reta definida pelos dois pontos citados.

Algebricamente:

O valor médio para derivadas
Se $f\ '(c)=m$ onde m é o coeficiente angular da reta determinada pelos valores ${a},{b}$ e seus conseqüentes na imagem da função: $f(a),f(b)$. teremos:
$f\ '(c)=m={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

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Análises de declive e concavidade

Uma interessante aplicação da derivada é a análise de tendências da função, o resultado desta derivada está ligado a declividade da reta "tangente ao ponto", uma vez que a tangente, nos dois primeiros quadrantes do plano cartesiano, apresenta uma distinção clara devido à mudança de sinal, isso possibilita uma boa gama de informações para a análise de seu comportamento e por conseqüência, da função que a originou.

T18 - Teste da derivada primeira

O coeficiente angular da reta que passa por um ponto da curva em uma função, nos revela uma tendência que varia conforme a tangente desta reta, tomando como referência o eixo x, quando a função é crescente os valores das derivadas para os mesmos, de x são sempre positivos, enquanto que quando a função é decrescente estes são sempre negativos. O que nos sugere o seguinte teste:

Teste da derivada primeira
Seja a função $f(x)$ em um intervalo $[a,b]$, dizemos que a função é crescente quando:
$f\ '(x)>0$ Ainda podemos afirmar que, quando a função é decrescente: $f\ '(x)<0$ E finalmente, se a função não apresenta tendências, permanecendo inalterada até o limite do ponto: $f\ '(x)=0$

É possível provar o teorema, pela análise da definição da função derivada, da seguinte forma:

Se $f(x)$ é contínua, existe $f\ '(x)$ tal que:

$f\ '(x)=\lim _{x_{b}\to x_{a}}{\frac {f(x_{b})-f(x_{a})}{x_{b}-x_{a}}}$ onde $x_{b}>x_{a}$.

Admitindo que o denominador é positivo, ou seja, que $x_{b}>x_{a}$ , nos resta analisar o sinal do resultado no numerador, se $f(x_{b})>f(x_{a})$ e portanto, quando a função é crescente no intervalo, teremos $f\ '(x)>0$, por outro lado se $f(x_{b})<f(x_{a})$ teremos uma função decrescente no intervalo e $f\ '(x)<0$.

No último caso, se $f\ '(x)=0$ então a reta que passa pelo ponto $[x;f(x)]$ é paralela ao eixo x, o que indica um extremo ou um ponto de transição na tendência de crescimento da curva; explicando melhor: Se os valores da função estão crescendo e o ponto em questão tem derivada nula, ou a função atinge o maior valor no intervalo, ou atinge um ponto de transição na tendência de crescimento, passando de crescente para decrescente; quando a função está decrescendo passa de decrescente para crescente.

T19 - Teste da derivada segunda

Teste da derivada segunda
Seja a função $f(x)$, dizemos que $f\ ''(x)$ é a derivada segunda, com a qual podemos provar que: Dado o intervalo $[a,b]$, onde existe um número ${c}\quad |\quad f\ '(c)=0$:
Se $f\ ''(x)<0$ então $f(c)$ fornece o valor máximo no referido intervalo. Ainda poderemos afirmar que: Se $f\ ''(x)>0$ então $f(c)$ fornece o valor mínimo no referido intervalo.

Análise:

Consideremos a derivada segunda $f\ ''(x)=\lim _{x_{2}\to x_{1}}{\frac {f\ '(x_{2})-f\ '(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$.

Tomando o valor de ${[(x_{2}-x_{1})>0]}$ podemos verificar o que ocorre com o numerador:

Se $f\ '(x_{2})<f\ '(x_{1})$ sabemos que a declividade da curva em $f(x_{2})$ é menor que a declividade de $f(x_{1})$, como em c temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um máximo, visto que os valores estão diminuindo quando são diferentes de c, ou seja, todos os valores decrescem a medida nos deslocamos no eixo x, portanto $f(c)$ apenas pode assumir o valor máximo no intervalo.

Se $f\ '(x_{2})>f\ '(x_{1})$ sabemos que a declividade da curva em $f(x_{2})$ é maior que a declividade de $f(x_{1})$, como em c temos um valor crítico, temos que concluir que este representa um mínimo, visto que os valores estão aumentando quando são diferentes de c, ou seja, todos os valores crescem a medida nos deslocamos no eixo x, portanto $f(c)$ apenas pode assumir o valor mínimo no intervalo.

Concavidades

Temos formas côncavas em todo gráfico que apresenta variações, a derivada segunda também pode nos revelar outra característica interessante quando fazemos seu cálculo e a relacionamos à concavidade em um intervalo da curva... Como a derivada segunda reflete a tendência de crescimento ou decréscimo da declividade, temos como verificar que o seu sinal indica se a concavidade do gráfico é para cima ou para baixo, ou seja:

Se $f\ ''(x)>0$  a concavidade da curva está voltada para cima. 

Devido ao fato de que há uma tendência de crescimento da declividade naquele intervalo.

Se $f\ ''(x)<0$ a concavidade da curva está voltada para baixo.

Devido ao fato de que há uma tendência de decréscimo da declividade naquele intervalo.

Pontos de inflexão

A inflexão é uma indefinição transitória das tendências da função em um determinado ponto, dizemos que o ponto onde a função passa da condição de tendência ao crescimento para tendência ao decaimento, ou vice versa, é chamado de ponto de inflexão. De forma geral, quando a função passa de uma taxa de variação positiva: $f\ '(x)>0$ ou negativa: $f\ '(x)<0$ ou vice versa, ela passa por um ponto de inflexão.

Considerando o número crítico c, para uma função $f(x)$, o ponto de inflexão é definido como aquele onde ocorre a inversão na tendência da declividade, ou seja, quando:

$f\ ''(x)>0\to x>c\quad \land \quad f\ ''(x)<0\to x<c$

ou 

$f\ ''(x)<0\to x>c\quad \land \quad f\ ''(x)>0\to x<c$

Também é possível demonstrar que:

$f\ ''(c)=0$

O que torna possível identificar o número crítico do ponto de inflexão a partir da derivada segunda da função.

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Esboço de gráficos

Podemos aplicar os conceitos aprendidos neste capítulo para fazer esboços de gráficos, a prática deste artifício se mostra muito útil na análise de evoluções de grandezas, especialmente nas áreas de física, química e engenharia.

Para obter o gráfico de uma função qualquer pode-se usar de várias estratégias, entre elas: tabela de valores, uso de Cálculo, uso de ferramentas computacionais ou calculadoras gráficas.

Para usar o método da tabela, basta que num plano cartesiano sejam plotados pontos do gráfico da função em pequenos intervalos, unindo-os depois com uma linha "suave". Esboçar um gráfico assim não é muito recomendado se não se sabe com antecedência qual é o comportamento da função, visto que grandes flutuações podem ficar ocultas entre um ponto e outro. Por exemplo, se uma função for periódica (como $f(x)=cos(2\pi x)$, na figura ao lado) e o intervalo entre os valores for próximo ao do período dessa função (no caso, o período da função e o intervalo entre os pontos do domínio é 1), o esboço indicará uma função não periódica ($g(x)=1$), mas constante, claramente um erro. Por isso quando se utilizar desse método se deve ter cuidado para não se equivocar.

Para utilizar o computador ou uma calculadora, além da necessidade de saber como lidar com esse instrumento é necessário que se tenha certeza de que a função a ser esboçada não gerará nenhum bug no instrumento. Valores muito pequenos ou muito altos podem, dependendo do software, criar erros apreciáveis, os quais serão transmitidos para o gráfico a ser construído. Algumas funções podem acabar sem partes do gráfico, já que o programa não calcula a fórmula inserida em uma parte do domínio, mesmo que exista, devido a falhas ou mesmo omissões no código do aplicativo. Sendo assim, antes de usar o método é bom ter conhecimento a respeito do formato do gráfico, até mesmo para evitar erros decorrentes de digitação.

Para se utilizar o cálculo é necessário lembrar dos teoremas já estudados e também de suas implicações. É importante lembrar que os números críticos verificados com o teste da derivada primeira são diferentes dos conseguidos com a derivada segunda, podemos adotar uma notação indexada para identificá-los, assim temos: $c_{1}$ para o primeiro caso e $c_{2}$ para o segundo.

Para esboçar o gráfico de uma função desconhecida podemos extrair as raízes e o valor da função quando x é nula, além disso podemos verificar os pontos em que a função apresenta números críticos, extraindo a derivada primeira, a derivada segunda e resolvendo as equações: $f\ '(x)=0$ e $f\ ''(x)=0$, verificando os pontos onde as derivadas não existem; a partir de então podemos verificar as tendências de crescimento ou decaimento nos intervalos entre os números críticos, as raízes, pontos de inflexão e concavidades.

Obviamente, os resultados numéricos em pontos onde não existem números críticos não fornecem precisão para uma avaliação de valores, porém para a análise do comportamento da função e, em alguns casos, na visualização de formas geométricas, este método é bastante útil.

De um modo simplificado, pode-se estabelecer etapas para o esboço de gráficos com o uso de cálculo. 1. Expressar explicitamente a função a ser esboçada. 2. Calcular (algebricamente ou numericamente) as raízes da função, se existirem. 3. Procurar assíntotas horizontais, tomando o limite da função no infinito (tanto positivo quanto negativo) 4. Derivar a primeira vez e encontrar os pontos críticos da função (igualando a derivada a zero) 5. Derivar a segunda vez e testar os pontos críticos a fim de saber se são máximos ou mínimos locais (eventualmente globais) ou então se são pontos de inflexão. 6. Estudar o sinal da segunda derivada a fim de conhecer as concavidades da função original. 7. Representar as informações obtidas em um gráfico.