Cálculo (Volume 1)/Conceitos básicos (funções)

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Conceitos básicosEditar

Definições iniciais:Editar

Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: Funções, no livro: Matemática elementar, pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro.

Função, domínio e imagemEditar

Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em  , então tomamos   e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em   e portanto dizemos que:

A é o domínio da variável  .

Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas  , quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a  , dizemos que:

B é função de A.

Sendo B obtido através das regras de   :

A é domínio da função  .

Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por  , os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:

B é imagem da função  .

Extensões de domíniosEditar

Observemos a expressão:   Note que assim que atribuirmos valores a   , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raízes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de   , então teremos:

 

Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado.

Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer:   , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:

 

Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuídos à variável, chamamos este de extremo aberto.

NotaçõesEditar

O conjunto de números B   dos quais   dependem do conjunto A   de onde temos  , estabelecemos o par de números  , ou simplesmente:

  

Este é chamado de par ordenado.

Sendo também   a representação dos valores de  , então podemos dizer que:

 

Sendo   o valor de   quando definido pelas operações em  .

Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:

 

Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:

 

Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos:

 

Operações com funçõesEditar

Consideremos duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:

 
 
 
 

Sendo D(f) o domínio da função f e D(g) o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre: