Cálculo (Volume 1)/Conceitos básicos (funções)

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I

Conceitos básicos

Definições iniciais:

Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: Funções, no livro: Matemática elementar, pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro.

Função, domínio e imagem

Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em $\mathbb {R} \Rightarrow \{-\infty ,\dots ,x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,+\infty \}\,\!$, então tomamos $x\,\!$ e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em $\mathbb {R} \,\!$ e portanto dizemos que:

A é o domínio da variável $x\,\!$.

Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas $f\,\!$, quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a $f\,\!$, dizemos que:

B é função de A.

Sendo B obtido através das regras de $f\,\!$ :

A é domínio da função $f\,\!$.

Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por $f\,\!$, os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:

B é imagem da função $f\,\!$.

Extensões de domínios

Observemos a expressão: ${\sqrt {12-x}}$ Note que assim que atribuirmos valores a $x$ , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raízes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de $x$ , então teremos:

${\sqrt {12-x}},x\leq 12$

Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado.

Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: $\log {x}$ , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:

$\log {x},x>0\,\!$

Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuídos à variável, chamamos este de extremo aberto.

Notações

O conjunto de números B $\{-\infty ,\dots ,y_{1},y_{2},y_{3},\dots ,+\infty \}\,\!$ dos quais $y_{n}\,\!$ dependem do conjunto A $\{-\infty ,\dots ,x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,\infty \}\,\!$ de onde temos $x_{n}\,\!$, estabelecemos o par de números $\{x_{n},y_{n}\}\,\!$, ou simplesmente:

$(x,y)\,\!$ 

Este é chamado de par ordenado.

Sendo também $f\,\!$ a representação dos valores de $(x,y)\,\!$, então podemos dizer que:

$y=f(x)\,\!$

Sendo $f(x)\,\!$ o valor de $y\,\!$ quando definido pelas operações em $f\,\!$.

Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:

$-2<x<4;-12\leq x<8\,\!$

Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:

$(-2,4);[-12,8)\,\!$

Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos:

$]-2,4[;[-12,8[\,\!$

Operações com funções

Consideremos duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,\!$
$(f-g)(x)=f(x)-g(x)\,\!$
$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)\,\!$
$(f:g)(x)=f(x):g(x)\,\!$

Sendo D(f) o domínio da função f e D(g) o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre:

$D(f)\cap D(g)\,\!$