Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas

Foi proposta a fusão deste módulo com: Cálculo (Volume 3)/Sequências numéricas infinitas (discuta).

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é $\mathbb {Z} _{+}^{*}\,\!$ e cuja imagem é $\mathbb {R} \,\!$ ou $\mathbb {Z} \,\!$. $f:\mathbb {Z} _{+}^{*}\rightarrow \mathbb {R}$

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {a_n}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a₁ é 1, a₃₁₇ é 317, e a_n é n.

A seqüência também é indicada por: a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de $\mathbb {N}$ (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n-1}}}$

Notações:

  1 $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )$
  2 ${a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$
  3 ${f(n)}=f(1),f(2),f(3),\ldots ,f(n),\ldots$
  4 $f(n)=a_{n}\qquad {a_{n}}=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots$

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação

Representação

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

$\,\!P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)$

$\,\!P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)$

Fórmula do termo geral

Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

$a_{n}=a_{1}+(n-1).r\,\!$

Limite de uma seqüência

Definição: Dada uma seqüência ${a_{n}}\,\!$, dizemos que o número $L\in \mathbb {R} \,\!$ é o limite de ${a_{n}}\,\!$ para $n\rightarrow +\infty \,\!$ se, $\forall \quad \varepsilon \,\!$ > 0, $\exists N\,\!$ tal que $n\geq N\Rightarrow |a_{n}-L|\,\!$ < $\epsilon \,\!$.

Definição: Se a seqüência ${a_{n}}\,\!$ tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

Propriedades de seqüências

Sejam $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ duas seqüências convergentes, isto é, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ e $\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$. Então:

• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=A+B$
• $\lim _{n\to \infty }k\cdot (a_{n})=k\!\cdot \!A$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}},\quad B\neq 0$

Subseqüências

Definição: Dada uma seqüência $f:\mathbb {Z} _{+}^{*}\rightarrow \mathbb {R}$, as restrições de $f$ a subconjuntos de $\mathbb {Z} _{+}^{*}$ serão denominadas subseqüências de $f$.

Teorema: Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$, então toda subseqüência de $\{a_{n}\}$ converge para o mesmo limite L.

Teorema: Dada a seqüência $\{a_{n}\}$, se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então $\{a_{n}\}$ converge também para L.

Definição: Dada uma seqüência ${a_{n}}$, temos que:

• l é chamada de cota inferior se $l\leq a_{n},\forall n$
• L é chamada de cota superior se $L\geq a_{n},\forall n$
• ${a_{n}}$ é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

Observações:

• Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência crescente ($a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots$), então $a_{1}$ é uma cota inferior
• Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência decrescente ($a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \ldots$), então $a_{1}$ é uma cota superior
• Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ($a_{n}$ > $0$), então $a_{n}$ é limitada, $0\leq a_{n}\leq a_{1}$

Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

Seqüências monótonas e limitadas

Definição: Seja $\{a_{n}\}$ uma seqüência monótona:

• crescente, se $a_{n}\leq a_{n+1}$
• decrescentes, se $a_{n}\geq a_{n+1}$