Cálculo (Volume 3)/Sequências numéricas infinitas

Foi proposta a fusão deste módulo com: Cálculo (Volume 3)/Seqüências numéricas infinitas (discuta).

Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV

Conceitos Iniciais

Uma sequência pode ser entendida como um conjunto de valores enumerados em uma ordem, de forma a estabelecer uma lista. Esta lista é, usualmente, denotada como $a_{n}$, genericamente devido ao fato de que cada elemento pode ser identificado pela posição na lista. Temos, por exemplo, $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\cdots a_{n}$, como uma representação de uma sequência.

Representação

Para se representar uma sequência, colocam-se os membros entre parênteses, seraparados por vírgulas (quando há números decimais na sequência, usa-se o ponto-e-vírgula). Exemplos:

$\,\!P.a.(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)$

$\,\!P.g.(1;0,5;0,25;0,125;0,0625;0,03125;0,015625;...)$

Vejamos alguns exemplos de sequências, notando que, a princípio, não há uma regra clara para estabelecimento de cada valor que os termos da mesma assumem:

$\{0,1,0,3,0,5,1,7\cdots \}$

$\left\{{\frac {1}{3}},{\frac {2}{9}},{\frac {3}{27}}\cdots \right\}$

$\left\{{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}},{\frac {5\pi }{2}}\cdots \right\}$

Fórmula do termo geral

Uma progressão aritmética.

Por vezes, uma sequência possui um padrão que permite criar uma fórmula do termo geral. É uma equação fundamental que determina os termos da sequência.

Em uma progressão aritmética, por exemplo, a fórmula do termo geral é:

$a_{n}=a_{1}+(n-1).r\,\!$

Apesar de não haver uma exigência de que haja uma equação que descreva o comportamento dos elementos de uma sequência, as sequências que mantem uma relação como regra para definição de seus termos são muito úteis para o estudo do comportamento numérico. De modo genérico, podemos dizer que o mais comum é estabelecer uma relação do numero que designa o ítem da sequência e o elemento. Por exemplo, podemos ter:

$a_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$

Esta sequência nos fornece para cada termo a somatória dos números inteiros até o nésimo elemento da sequência. A função sequência tem um gráfico onde os valores são apresentados como pontos cuja magnitude é expressa em $y$ e o número do indice da sequência é expresso em $x$, vejamos o exemplo abaixo:

Podemos observar que os pontos representantes das amplitudes fazem com que o aspecto do gráfico de uma sequência seja diferente do conjunto contínuo que nos abituamos a observar em gráficos de funções. Enquanto a função se mantém definida para $\mathbb {R}$, a sequência define valores em $\mathbb {N} ^{*}$.

Observando o gráfico da sequência, vemos que a medida que os números índice crescem as amplitudes se aproximam de um valor fixo em "y". Esta característica torna-se bastante útil para análise de tendências. Por este motivo vamos analisar estas sequências com maior atenção.

Formalmente

Definição: Uma seqüência (em Portugal diz-se sucessão) é uma função onde o domínio é $\mathbb {Z} _{+}^{*}\,\!$ e cuja imagem é $\mathbb {R} \,\!$ ou $\mathbb {Z} \,\!$. $f:\mathbb {Z} _{+}^{*}\rightarrow \mathbb {R}$

É uma lista de elementos, ou seja, um conjunto ordenado de maneira que cada elemento fica naturalmente seqüenciado. Uma seqüência é uma função com domínio igual ao conjunto dos números inteiros positivos (ou, o que é o mesmo, o conjunto dos números naturais não-nulos).

A seqüência dos inteiros positivos é: 1, 2, 3, ..., n - 1, n, n + 1, ... Cada número é um termo, com n sendo o enésimo termo. Denota-se a seqüência por: {a_n}; assim sendo, na lista de inteiros positivos acima, a₁ é 1, a₃₁₇ é 317, e a_n é n.

A seqüência também é indicada por: a₀, a₁, a₂, ..., a_n, ... Os termos da seqüência fazem parte de um conjunto comumente indicado por S; Eles são uma seqüência em S.

Uma seqüência pode ter um número finito ou infinito de termos; portanto, pode ser uma seqüência finita ou uma seqüência infinita. Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos de uma seqüência infinita. seqüências infinitas são dadas listando-se seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde, com costumeira sorte, se depreende a regra formadora do restante da seqüência.

Formalmente, uma seqüência pode ser definida como uma função de $\mathbb {N}$ (o conjunto dos números naturais) em S.

Se S for o conjunto dos inteiros, então trata-se de uma seqüência inteira. Se for um conjunto de polinômios, então é uma seqüência polinomial.

Uma subseqüência de uma seqüência S é formada removendo-se alguns elementos de S sem mudar a posição relativa dos elementos restantes.

Alternativamente, pode-se definir uma seqüência de modo recursivo. Consiste em se definir alguns termos iniciais e, a partir daí, atribui-se uma regra que a cada novo termo depende de um ou mais termos antecedentes. Talvez o exemplo mais famoso seja o da seqüência de Fibonacci.

A soma de uma seqüência é chamada de série matemática. Por exemplo:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n-1}}}$

Notações:

  1 $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )$
  2 ${a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$
  3 ${f(n)}=f(1),f(2),f(3),\ldots ,f(n),\ldots$
  4 $f(n)=a_{n}\qquad {a_{n}}=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots$

OBS.: Utilizaremos mais a notação 4

OBS.: Estudaremos apenas seqüências que obedecem a uma lei de formação

Evolução

As sequências evoluem, dependendo do seu número sequencial $n$, de diversas formas. Esta evolução pode ser classificada quando a equação da sequência é conhecida. Podemos, nestes casos, verificar se a evolução da fórmula leva a números em ordem crescente ou decrescente em um intervalo ou durante sua evolução completa, do primeiro elemento ao infinito.

Uma sequência é classificada como crescente quando, para cada $n$, temos $a_{n}<a_{n+1}$ e decrescente quando $a_{n}>a_{n+1}$. Este comportamento pode ser encontrado em um trecho em particular da evolução, delimitado por dois valores de $n$, ou em toda a evolução. Sob este contexto, uma sequência crescente ou decrescente pode ser chamada de monotônica quando apresenta apenas um dos comportamentos.

Vamos analisar a evolução da sequência: $a_{n}={\frac {n+1}{5n-2}}$

$a_{1}={\frac {1+1}{5(1)-2}}={\frac {2}{3}}$

$a_{2}={\frac {2+1}{5(2)-2}}={\frac {3}{8}}$

$a_{3}={\frac {3+1}{5(3)-2}}={\frac {4}{12}}={\frac {1}{3}}$

$a_{4}={\frac {4+1}{5(4)-2}}={\frac {5}{18}}$

$a_{5}={\frac {5+1}{5(5)-2}}={\frac {6}{23}}$

ou seja, temos:

$a_{n}=\left\{{\frac {2}{3}},{\frac {3}{8}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{18}},{\frac {6}{23}},\cdots \right\}$

Portanto, a sequência aparentemente indefinível algebricamente por uma expressão em função do índice, se mostra redutível a uma equação. Estas séries redutíveis a equações nos fornecem informações muito úteis, nos permitindo encontrar relações e regras que podemos usar na síntese de equações.

Limites no infinito

Temos sequências que se aproximam de valores quando $n$ tende a aumentar indefinidamente, ou seja, quando o valor desta variável tende a infinito. Este comportamento é similar ao encontrado quando analisamos funções que tendem a valores quando levadas ao infinito. A única diferença entre funções e sequências, quando analisadas sob este aspecto, é o fato das sequências exigirem valores inteiros das variáveis, enquanto que funções admitem valores reais para as mesmas.

Uma vez que temos a evolução de valores de sequências similares a valores de funções, é plausível concluir que limites em valores estritamente limitados a números inteiros possam levar a análise de limites de forma semelhante. Então vejamos como esta análise pode ser conduzida:

Conforme fizemos o estudo de limites no infinito no Volume 1, temos $N$ como um número tomado sob a abscissa inteira, ou seja, um número inteiro. Uma vez que tomamos este número, façamos a sequência $a_{n}$ evoluir a números maiores e observamos que estes se aproximam de um valor $M$, quanto mais alto seja $N$ mais proximo de $M$ a sequência $a_{n}$ se estabelece:

$a_{n}>M$ sempre que $n>N$

Desta forma, os valores tomados para a sequência são inteiros e o número $M$ tem a única obrigação de estar definido para um valor $N$. Portanto, podemos arbitrar valores cada vez maiores para $M$ dentro do limite estabelecido. Neste intervalo, qualquer valor de $N$ inteiro leva a valores que se aproximam de $M$ por parte de $a_{n}$.

O fato de ser possível encontrar este limite nos reporta a informação de convergência, ou seja dizemos que uma sequência converge quando é possível encontar um limite no infinito, caso contrário dizemos que a sequência diverge. Portanto, podemos classificar as sequências como convergentes ou divergentes de acordo com a existência do limite no infinito ou sua inexistência.

Limite de uma sequência

Definição: Dada uma seqüência ${a_{n}}\,\!$, dizemos que o número $L\in \mathbb {R} \,\!$ é o limite de ${a_{n}}\,\!$ para $n\rightarrow +\infty \,\!$ se, $\forall \quad \varepsilon \,\!$ > 0, $\exists N\,\!$ tal que $n\geq N\Rightarrow |a_{n}-L|\,\!$ < $\epsilon \,\!$.

Definição: Se a seqüência ${a_{n}}\,\!$ tem limite L, dizemos que ela é convergente e que converge a L. Caso contrário, dizemos que ela diverge.

Encontremos o limite quanto $n$ tende a infinito, para a sequênca do exemplo acima:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{5n-2}}$:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1+{\frac {1}{n}}}{5-{\frac {2}{n}}}}$

$\lim _{n\to \infty }a_{n}={\frac {1}{5}}$

Desta forma o resultado acima nos fornece a certeza de que podemos arbitrar valores para a variável de forma a conseguir a precisão que queiramos para a sequência e que sempre teremos valores mais próximos deste limite a medida que o valor da variável aumenta.

Propriedades de sequências

Sejam $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ duas seqüências convergentes, isto é, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$ e $\lim _{n\to \infty }b_{n}=B$. Então:

• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=A+B$
• $\lim _{n\to \infty }k\cdot (a_{n})=k\!\cdot \!A$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=A\cdot B$
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {A}{B}},\quad B\neq 0$

Subsequências

Definição: Dada uma seqüência $f:\mathbb {Z} _{+}^{*}\rightarrow \mathbb {R}$, as restrições de $f$ a subconjuntos de $\mathbb {Z} _{+}^{*}$ serão denominadas subseqüências de $f$.

Teorema: Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$, então toda subseqüência de $\{a_{n}\}$ converge para o mesmo limite L.

Teorema: Dada a seqüência $\{a_{n}\}$, se as subseqüências de ordem par e as subseqüências de ordem ímpar convergem para o mesmo valor L, então $\{a_{n}\}$ converge também para L.

Definição: Dada uma seqüência ${a_{n}}$, temos que:

• l é chamada de cota inferior se $l\leq a_{n},\forall n$
• L é chamada de cota superior se $L\geq a_{n},\forall n$
• ${a_{n}}$ é dita limitada se possui cota inferior e cota superior

Observações:

• Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência crescente ($a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots$), então $a_{1}$ é uma cota inferior
• Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência decrescente ($a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \ldots$), então $a_{1}$ é uma cota superior
• Se $\{a_{n}\}$ é uma seqüência decrescente e seus termos são positivos ($a_{n}$ > $0$), então $a_{n}$ é limitada, $0\leq a_{n}\leq a_{1}$

Teorema: Toda seqüência monótona e limitada é convergente.

Sequências monótonas e limitadas

Definição: Seja $\{a_{n}\}$ uma seqüência monótona:

• crescente, se $a_{n}\leq a_{n+1}$
• decrescentes, se $a_{n}\geq a_{n+1}$