Eletromagnetismo/Campo elétrico

Campo elétrico

Introduziremos agora o conceito de Campo Elétrico. Este conceito é análogo ao de Campo Gravitacional estudado em Mecânica Newtoniana.

Partindo da análise feita no capítulo anterior sobre o Princípio da Sobreposição, vimos que uma carga de prova (Q₅) "sente" as demais cargas (Q₁...Q₄) através da força ${\vec {F}}_{5}\,\!$ conforme a equação (1.2). Ou seja, a carga Q₅ está sob influência de um campo elétrico gerado pelas cargas Q₁...Q₄.

No caso da gravitação um corpo C₁ qualquer distorce o espaço-tempo a sua volta que resulta numa aceleração num corpo C₂ qualquer que passe nas proximidades. Porém este corpo C₂ também distorce o espaço-tempo que é percebido por C₁. Para estudar o campo gerado por C₁ com a menor influência possível de C₂ este tem que ter uma massa muito menor que C₁.

Um raciocínio análogo é feito em campos elétricos. Com a diferença que não é a massa que está em jogo, mas sim a carga elétrica.

Campo Elétrico

Ao contrário do que se pensava até fins do século XIX, as cargas elétricas são quantizadas. Não assumem valores discretos, mas sim são múltiplos inteiros de uma carga elementar. A primeira prova experimental de tal carga foi feita por Helmholtz em 1881 utilizando as leis da eletrólise de Faraday, que diz que a passagem de uma certa quantidade de eletricidade através de um eletrólito sempre causa o depósito, no eletrodo, de uma quantidade estritamente definida de um dado elemento. É portanto proporcional a seu equivalente eletroquímico, dado pelo seu peso atômico dividido pela valência. Mais tarde, Millikan (1910-16) fez o famoso experimento da gota de óleo num campo elétrico (veja mais em Millikan Oil-Drop Experiment. Em 1912 Ioffe, na Rússia, fez um experimento semelhante ao de Millikan, porém utilizando a irradiação de partículas de metal em pó (suspensas no ar) por luz ultravioleta. Todos os experimentos chegaram a mesma conclusão, de que a carga é um múltiplo inteiro de uma carga elementar, e seu valor foi determinado com maior ou menor precisão em cada um deles. O valor aceito atualmente desta carga elementar é $e=1,602177.10^{-19}C\,\!$. Este é o valor da carga do elétron (negativo) e da carga do próton (positivo).

Existem cargas menores como a dos quarks, porém os quarks não "sobrevivem" isoladamente por muito tempo. Logo eles se combinam com outros quarks formando prótons e nêutrons, ou formam pares de quark-antiquark que são chamados mésons. Prótons e neutrons são formados de 3 quarks cada. O próton é formado por 2 quarks tipo <font="timesnewroman">u e um quark tipo <font="timesnewroman">d <font="timesnewroman">( u<font="timesnewroman">u<font="timesnewroman">d ) . E o neutron por 2 quarks tipo <font="timesnewroman">d e um quark tipo <font="timesnewroman">u <font="timesnewroman">( u<font="timesnewroman">d<font="timesnewroman">d ) . A carga do quark tipo <font="timesnewroman">u vale 2/3 $e\,\!$ e a do quark tipo <font="timesnewroman">d - 1/3 $e\,\!$.

Para estudarmos portanto o campo elétrico gerado por uma carga $Q_{j}$ qualquer utilizaremos uma segunda carga $q_{i}$ muito menor que a primeira. Uma carga elementar. Assim estudaremos os efeitos causados em $q_{i}$ pela carga $Q_{j}$. Desta forma, dizemos que o Campo Elétrico é dado pela força sentida pela carga $q_{i}$ por unidade de carga. Ou seja:

${\vec {E}}_{i}={\frac {{\vec {F}}_{i}}{q_{i}}}\qquad (2.1)\,\!$

A unidade de campo elétrico é o N/C. Então teremos mais precisamente:

${\vec {E}}_{i}=\lim _{q_{i}\rightarrow 0}{\frac {{\vec {F}}_{i}}{q_{i}}}\left[{\begin{matrix}{\frac {N}{C}}\end{matrix}}\right]\,\!$

Juntando as equações (1.2) e (2.1) teremos que:

${\vec {E}}_{i}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j\neq i}{\frac {Q_{j}}{(r_{ji})^{2}}}\mathbf {\hat {r}} _{ji}\qquad (2.2)\,\!$

Como discutimos anteriormente a Força Elétrica é um vetor. Da mesma maneira o Campo Elétrico também é um vetor que tem a mesma direção e sentido da força no ponto onde a carga $q_{i}$ se encontra.

Cálculo do campo elétrico

O cálculo do campo elétrico num ponto p qualquer devido a uma carga $Q$ é dado pela equação:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q}{(r)^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ={\frac {\vec {F}}{q}}\,\!$

onde r é a distância da carga $Q$ ao ponto p.

No caso de mais de uma carga agindo no ponto p o cálculo é feito utilizando-se a equação $(2.2)$. Um caso de particular importância é quando temos 2 cargas de mesmo valor mas de sinais contrários separados por uma distância 2a (vide figura abaixo). Estudamos o campo elétrico num ponto p a uma distância d qualquer muito maior que 2a situado sobre a mediatriz do segmento que une $Q^{+}eQ^{-}$. A este sistema chamamos de Dipolo Elétrico.

Chamaremos as carga $Q^{+}eQ^{-}$ de $Q_{1}eQ_{2}$ respectivamente. Logo o campo elétrico ${\vec {E}}$ no ponto p é a soma vetorial dos campos ${\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}$. Os campos devido as cargas $Q_{1}eQ_{2}$ separadamente são:

${\vec {E}}_{1}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{(r_{1})^{2}}}\quad \,\!$

$\quad {\vec {E}}_{2}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{(r_{2})^{2}}}\quad \,\!$

O campo total ${\vec {E}}$ será então:

${\vec {E}}={\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}\,\!$

Analisando a decomposição dos vetores campo em x e em y, conforme figura abaixo, vemos que as componentes em x se anulam, sendo o campo no ponto p composto somente pelas componentes em y dos campos ${\vec {E}}_{1}$ e ${\vec {E}}_{2}$.

Teremos então:

$E_{1{\mathit {y}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q_{1}}{(r_{1})^{2}}}\quad \sin \alpha \,\!$

$\quad E_{2{\mathit {y}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q_{2}}{(r_{2})^{2}}}\quad \sin \alpha \,\!$

sendo que $r_{1}=r_{2}={\sqrt {d^{2}+a^{2}}}$ e $\sin \alpha ={\frac {a}{\sqrt {d^{2}+a^{2}}}}$. Sabemos também que os valores das cargas $Q_{1}$ e $Q_{2}$, conforme haviamos dito anteriormente, são iguais. Podemos então reescrever a equação para:

$E=E_{1{\mathit {y}}}+E_{2{\mathit {y}}}=2.{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}.{\frac {Q}{\left({\sqrt {d^{2}+a^{2}}}\right)^{2}}}.{\frac {a}{\sqrt {d^{2}+a^{2}}}}\rightarrow \,\!$ $E={\frac {2Qa}{4\pi \epsilon _{0}}}.{\frac {1}{\left({\sqrt {d^{2}+a^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,\!$

como $d\gg 2a$ poderemos desprezar a na equação. Teremos então:

$E\cong {\frac {2Qa}{4\pi \epsilon _{0}}}.{\frac {1}{d^{3}}}\,\!$

Chamamos ao produto $2Qa={\mathit {p}}\,\!$ de momento do dipolo elétrico. Então:

$E\cong {\frac {\mathit {p}}{4\pi \epsilon _{0}}}.{\frac {1}{d^{3}}}\qquad (2.3)\,\!$

Observem que num dipolo o campo decresce com o cubo da distância e não com o quadrado como no caso de uma carga isolada.

PARA PENSAR (2.1)

Esta é uma nova área em nosso livro, o "Para Pensar". Uma pausa no texto onde iremos propor alguns problemas ou situações para que o leitor possa por em prática o conhecimento apresentado até o momento. O "Para Pensar" tem a finalidade de fixar os conceitos e estimular o raciocínio dos leitores. Ao final do livro colocaremos a solução do problema ( ou uma das soluções, caso exista mais de uma ). Vamos ao problema: Acabamos de ver um dipolo elétrico. Imagine o dipolo da figura acima, tendo as cargas negativa e positiva presas uma à outra. Agora colocaremos este dipolo num campo elétrico uniforme com linhas paralelas (vide item Linhas de força abaixo) e perpendiculares ao eixo que une as cargas. O que acontecerá ao dipolo?

Uma outra situação interessante é a de um anel carregado. Tendo um anel uniformemente carregado (digamos positivamente), calcularemos o campo elétrico num ponto p situado a uma distância x do centro do anel. Vide a figura abaixo:

Para esta análise utilizaremos os conceitos de diferencial e integral. Sobre estes assuntos recomendamos a leitura do livro Cálculo I.

Tomemos um elemento do anel $dS\,\!$ que contém uma carga elementar $dq\,\!$ dada por:

$dq=q{\frac {dS}{2\pi a}}\,\!$

onde a é o ráio do anel e $2\pi a\,\!$ é a circunferência.

Este elemento produz um campo elétrico diferencial $d{\vec {E}}\,\!$ no ponto p, conforme mostra a figura acima. Para obtermos o campo elétrico resultante em p deveremos integrar os efeitos de todos os elementos do anel. Como o campo é um vetor teremos a seguinte integral vetorial:

${\vec {E}}=\int d{\vec {E}}\,\!$

Como vimos no exemplo do dipolo, aqui também teremos a anulação de uma componente dos vetores. Neste caso será a componente em y que será anulada. Poderemos, então, reescrever a equação acima como uma integral escalar, levando-se em conta somente as componentes do eixo x.

$E=\int dE\cos \alpha \,\!$

$como\quad dE={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {dq}{r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {qdS}{2\pi a}}\right){\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\qquad onde\quad a^{2}+x^{2}=r^{2}\,\!$

$e\qquad \cos \alpha ={\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}\,\!$

teremos:

$E=\int dE\cos \alpha =\int {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qdS}{(2\pi a)(a^{2}+x^{2})}}{\frac {x}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}=\,\!$ $={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qx}{(2\pi a)(a^{2}+x^{2})^{\frac {3}{2}}}}\int dS\,\!$

O valor da integral $\int dS\,\!$ é a própria circunferência do anel $(2\pi a)\,\!$.

$E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {qx}{(a^{2}+x^{2})^{\frac {3}{2}}}}.\,\!$

fazendo-se $x\gg a\,\!$ temos:

$E\cong {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}.{\frac {q}{x^{2}}}\qquad (2.4)\,\!$

Compare a equação (2.4) com a (2.2). Concluimos que a distâncias muito maiores que o raio do anel, ele se comporta como uma carga puntiforme.

PARA PENSAR (2.2)

Tente agora equacionar o campo elétrico num ponto p qualquer devido a uma barra reta suposta infinita (cujo comprimento é muito maior que a distância do ponto p à barra) carregada uniformemente.

Linhas de força

Vimos que a toda carga elétrica está associado um campo elétrico que a envolve. Sabemos disto pois ao analizar-se um ponto qualquer desta região, colocando-se uma carga de prova, detectamos a presença de uma força (Força Elétrica) neste ponto. Mas como "visualizar" este campo?

Quando espalhamos limalha de ferro sobre um campo magnético de um imã permanente (que estudaremos mais tarde) verificamos um alinhamento da limalha na direção do campo, concentrando-se nas áreas de maior intensidade do campo (ver em Linhas de Força). Foi inspirado na limalha de ferro que Faraday introduziu o conceito de Linhas de força do campo.

Linha de força é definida como uma curva tangente em cada ponto à direção do campo neste ponto. Assim, dada uma linha de força, fica fácil determinarmos a direção do campo elétrico em cada ponto, pois será a tangente à curva. Além da direção, as linhas de força nos fornecem também o sentido do campo no ponto, indicado por sua orientação. Somente a intensidade não é possível de se determinar. Mas analizando a densidade de linhas num determinado ponto teremos uma idéia de regiões cujos campos são mais ou menos intensos.

Como vimos anteriormente (Cargas elétricas) existem cargas positivas e negativas. Convencionaremos que as linhas de força de uma carga puntiforme terão direção radial apontando para "fora" se for positiva ou para "dentro" se for negativa (veja a figura abaixo).

Visto isto, como ficariam as linhas de força do nosso Dipolo Elétrico estudado no item anterior? Como as cargas positivas e negativas se atraem, as linhas de força que "saem" da carga positiva encontram-se com as linhas que "entram" na carga negativa. Esquematicamente seria como a figura abaixo:

Devemos nos lembrar que existe ainda a simetria axial em torno do eixo z. As figuras estão representadas somente no plano ( x y. A figura acima, por exemplo, deverá ser repensada fazendo-se a rotação em torno do eixo que une as duas cargas. Como ilustração, as linhas de força de uma carga positiva, por exemplo, seria representada como a figura abaixo:

É importante reconhecer os eixos de simetria de um problema, pois nos permite prever a simetria das linhas de força. O que nos será muito útil no estudo a seguir de Fluxo Elétrico e a Lei de Gauss. No caso da figura acima, de uma esfera carregada, as linhas de força são radiais, sendo portanto de simetria esférica. Agora imagine um plano carregado positivamente, por exemplo. Teremos uma simetria plana com as linhas de força paralelas entre si e perpendiculares ao plano. Repare que o sentido das linhas acima e abaixo do plano são opostos.

Em um fio cilindrico carregado teremos a simetria radial, com as linhas de força radiais em planos perpendiculares ao fio. Tem a direção do vetor unitário ${\hat {\rho }}$ em coordenadas cilindricas $(\rho ,\phi ,z)\,\!$.

Lei de Gauss

Fluxo

A palavra Fluxo vem do latin e pode ser definida como "ato ou modo de fluir". O fluxo representa o produto de uma área pelo campo que existe no interior desta área.

Circuitação, rotacional de um campo vetorial e teorema de Stokes

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