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Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões

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Linha 1:
{{Navegação|[[../|Índice]]
|[[../IsomorfismosFuncionais lineares/]]
|[[../OperadoresEspaços especiaisbiduais/]]
}}
 
==Operadores especiais==
{{Rdc}}
 
* Auto-adjunto (<math>T^* = T</math>)
===Funcionais Lineares===
:* Unitário (<math>(S + T)^* = S^* + T^*{-1}</math>)▼
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>)
 
==Operador auto-adjunto==
'''Definição''':▼
{{Definição|livro=Álgebra linear|texto=▼
Uma função <math>f: V \rightarrow K </math>, onde V é um espaço vetorial sobre '''K''', é chamada de funcional linear se, <math>\forall u, v \in V</math> e <math> \forall \lambda \in K</math>:
 
▲'''Definição''':
:<math>f(u + v) = f(u) + f(v)</math>
▲{{Definição|livro=Álgebra linear|texto=
:<math>f( \lambda v) = \lambda f(v)</math>
<math>fT: V \rightarrow KV</math> umé funcionalchamado linear.de Entãoauto-adjunto existe um único vetorse <math>v_oT^* \in= VT</math>, tal.▼
}}
Uma matriz '''A''' é auto-adjunta se <math>\overline{A}^t = A</math>.
 
* Se <math>K = R</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada simétrica.
* Se <math>K = C</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada hermitiana.
 
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
;Teorema da existência e unicidade
 
: Se '''V'''<math>\langle éT(u), umv espaço\rangle vetorial= de0, dimensão\forall ''n''u, ev \in V</math>\alpha = \{v_1, v_2,então \ldots,<math>T v_n= \}0</math> é.
uma: base deSe '''V''', então existe um único funcional ''f'',é talcomplexo quee <math>f\langle T(v_iu), =u \lambda_i, irangle = 10, 2,\forall u \ldots,in nV</math>, \lambda_ientão \in<math>T = K0</math>.
}}▼
 
'''Prove''':
 
* Se <math>T^* = T</math> e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V</math>, então <math>T = 0</math>.
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
* Seja <math>T: V \rightarrow V</math>, com '''V''' complexo. Então <math>T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R</math>.
;Teorema da base dual
 
==Operador unitário==
Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math>
é uma base de V, então existe uma única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math>
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math>
}}
 
'''DefiniçõesDefinição''':
{{Definição|livro=Álgebra linear|texto=
:<math>T: V \beta^{*}rightarrow V</math> é chamadachamado de baseunitário dual dese <math>\betaT^* = T^{-1}</math>.
:<math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V
}}
 
Uma matriz '''A''' é unitária se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math>
'''Corolários''':
 
:<math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
:<math>v = \sum f_i(v)v_i</math>
 
'''Prove''':
==Teoremas==
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
;Teorema de representação dos funcionais lineares
 
Sejam* '''VT''' umé espaço vetorial sobre '''K''',unitário <math>\mathrm{dim}iff V\langle T(u), T(v) \rangle = n\langle u, v \rangle</math>, com('''T''' preserva o produto interno, e)
* '''T''' é unitário <math>\iff |T(u)| = |u|</math> ('''T''' preserva a norma)
▲<math>f: V \rightarrow K</math> um funcional linear. Então existe um único vetor <math>v_o \in V</math>, tal
que* <math>f(v)'''T''' =é \langleunitário v, v_o \rangle</math>,\iff T^{-1}</math>\forall vé \in V</math>.unitário
}}
 
==Operador normal==
Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
 
==Adjunto de um operador linear==
 
'''Definição''':
{{Definição|livro=Álgebra linear|texto=
<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de normal se <math>TT^* = T^*T</math>.
Seja '''V''' um espaço vetorial.
▲}}
Uma matriz '''A''' é normal se <math>AA^* = A^*A</math>
 
'''Prove''':
O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V </math>, de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade:
 
* Todo operador auto-adjunto é normal
:<math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
* Todo operador unitário é normal
}}
 
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
 
==Subespaço invariante==
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
 
'''Definição''':
▲:<math>(S + T)^* = S^* + T^*</math>
{{Definição|texto=
:<math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
'''W''', subespaço vetorial de '''V''', é dito invariante sob o operador <math>T: V \rightarrow V</math>, se <math>T(W) \subset W</math>.
:<math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>
 
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
;Proposição
Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno.
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então
<math>[T]_\alpha = (a_{ij})</math>, onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
}}
Dizemos também que '''W''' é '''T'''-invariante.
 
'''Prove''':
 
* Se '''W''' é '''T'''-invariante, então <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é auto-adjunto, então '''W''' é <math>T^*</math>-invariante.
;Corolário
Seja* Se '''VW''' umé espaço'''T'''-invariante vetorial sobree '''KT''' é inversível, então <math>\mathrm{dim} VT(W) = nW</math>, com produto interno.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W</math>.
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante).
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t</math>.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante.
}}
 
{{stubmatematica}}
 
{{Navegação|[[../|Índice]]
|[[../IsomorfismosFuncionais lineares/]]
|[[../OperadoresEspaços especiaisbiduais/]]
}}
 
[[Categoria:Álgebra linear|{{SUBPAGENAME}}Operadores especiais]]
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