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Álgebra linear/Transformações lineares: diferenças entre revisões

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Linha 1:
{{Navegação/Simples|Funcionais linearesIsomorfismos|EspaçosOperadores biduaisespeciais}}
 
{{Rdc}}
==Operadores especiais==
 
===Funcionais Lineares===
* Auto-adjunto (<math>T^* = T</math>)
* Unitário (<math>T^* = T^{-1}</math>)▼
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>)
 
==Operador auto-adjunto==
 
'''Definição''':
{{Definição|livro=Álgebra linear|texto=
Uma função <math>Tf: V \rightarrow VK </math>, onde V é chamadoum espaço vetorial sobre '''K''', é chamada de auto-adjuntofuncional linear se, <math>T^*\forall =u, Tv \in V</math>. e <math> \forall \lambda \in K</math>:
 
:<math>f(u + v) = f(u) + f(v)</math>
:<math>f( \lambda v) = \lambda f(v)</math>
}}
Uma matriz '''A''' é auto-adjunta se <math>\overline{A}^t = A</math>.
 
* Se <math>K = R</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada simétrica.
* Se <math>K = C</math>, <math>[T]_\alpha</math> é chamada hermitiana.
 
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
Os seguintes enunciados são úteis na prova de teoremas do operador auto-adjunto:
;Teorema da existência e unicidade
 
: Se <math>\langle'''V''' T(u),é vum \rangleespaço =vetorial 0,de \foralldimensão u,''n'' ve \in V</math>\alpha = \{v_1, entãov_2, <math>T\ldots, =v_n 0\}</math>. é
:uma Sebase de '''V''', éentão existe um único funcional ''f'', complexotal eque <math>\langle Tf(uv_i), u= \ranglelambda_i, i = 01, \forall u2, \inldots, V</math>n, então\lambda_i <math>T =\in 0K</math>.
}}▼
 
'''Prove''':
 
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
* Se <math>T^* = T</math> e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V</math>, então <math>T = 0</math>.
;Teorema da base dual
* Seja <math>T: V \rightarrow V</math>, com '''V''' complexo. Então <math>T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R</math>.▼
 
Se '''V''' é um espaço vetorial, <math>\mathrm{dim} V = n</math> e <math>\beta = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} </math>
==Operador unitário==
é uma base de V, então existe uma única base <math>\beta^* = \{f_1, f_2, \ldots, f_n\}</math> de <math>V^*</math>
tal que <math>f_i(v_j) = \delta_{ij}</math>
}}
 
'''DefiniçãoDefinições''':
{{Definição|livro=Álgebra linear|texto=
:<math>T: V \rightarrow Vbeta^{*}</math> é chamadochamada de unitáriobase sedual de <math>T^* = T^{-1}\beta</math>.
:<math>V^*</math> é chamado de espaço dual de V
}}
 
'''Corolários''':
Uma matriz '''A''' é unitária se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math>
 
:<math>f = \sum f(v_i)f_i</math>
:<math>v = \sum f_i(v)v_i</math>
 
==Teoremas==
'''Prove''':
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
;Teorema de representação dos funcionais lineares
 
*Sejam '''TV''' éum unitárioespaço vetorial sobre '''K''', <math>\iffmathrm{dim} \langle T(u), T(v) \rangleV = \langle u, v \ranglen</math>, ('''T''' preserva ocom produto interno), e
▲* Seja <math>Tf: V \rightarrow VK</math>, comum '''V'''funcional complexolinear. Então <math>T^*existe =um Túnico \iffvetor \langle T(v), v \rangle<math>v_o \in RV</math>., tal
* '''T''' é unitário <math>\iff |T(u)| = |u|</math> ('''T''' preserva a norma)
*que '''T'''<math>f(v) é= unitário\langle v, v_o \rangle</math>\iff, T^{-1}</math>\forall év unitário\in V</math>.
}}
 
Demonstra-se ainda que <math>v_o = \sum \overline{f(e_i)}e_i</math>
 
==Adjunto de um operador linear==
==Operador normal==
 
'''Definição''':
{{Definição|livro=Álgebra linear|texto=
Seja '''V''' um espaço vetorial.
<math>T: V \rightarrow V</math> é chamado de normal se <math>TT^* = T^*T</math>.
▲}}
Uma matriz '''A''' é normal se <math>AA^* = A^*A</math>
 
O operador adjunto, <math>T^* : V \rightarrow V </math>, de um determinado operador linear <math>T : V \rightarrow V</math> é definido pela igualdade:
'''Prove''':
 
:<math> \langle T(u), v \rangle = \langle u, T^*(v) \rangle , \quad \forall u, v \in V</math>
* Todo operador auto-adjunto é normal
}}
* Todo operador unitário é normal
 
Demonstra-se que todo operador linear possui um e apenas um operador adjunto correspondente.
É importante ressaltar, ainda, que existem operadores normais que não são unitários nem auto-adjuntos.
 
A partir da definição, podemos obter as seguintes conseqüências (prove!):
==Subespaço invariante==
 
▲* Unitário (:<math>(S + T)^* = S^* + T^{-1}*</math>)
'''Definição''':
:<math>(\lambda T)^* = \bar{\lambda} T^*</math>
{{Definição|texto=
:<math>(S \circ T)^* = T^* \circ S^*</math>
'''W''', subespaço vetorial de '''V''', é dito invariante sob o operador <math>T: V \rightarrow V</math>, se <math>T(W) \subset W</math>.
 
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
;Proposição
Seja '''V''' um espaço vetorial sobre '''K''', <math>\mathrm{dim} V = n</math>, com produto interno.
Seja <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> uma base ortonormal de '''V'''. Então
<math>[T]_\alpha = (a_{ij})</math>, onde <math>a_{ij} = \langle T(e_j), e_i \rangle</math>
}}
Dizemos também que '''W''' é '''T'''-invariante.
 
'''Prove''':
 
{{Teorema|livro=Álgebra linear|texto=
* Se '''W''' é '''T'''-invariante, então <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
;Corolário
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é auto-adjunto, então '''W''' é <math>T^*</math>-invariante.
* SeSeja '''WV''' éum '''T'''-invarianteespaço evetorial sobre '''TK''' é inversível, então <math>T(W)\mathrm{dim} V = Wn</math>, com produto interno.
Então, para qualquer base <math>\alpha = \{e_1, e_2, \ldots, e_n\}</math> ortonormal de '''V''', temos que
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é inversível, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W</math>.
a matriz <math>[T^*]_\alpha = (\overline{[T]_\alpha})^t</math>.
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então '''W''' é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante).
}}
* Se '''W''' é '''T'''-invariante e '''T''' é unitário, então <math>W^\perp</math> é '''T'''-invariante.
 
{{Esboço|Matemática}}
{{AutoCat}}
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