Matemática elementar/Funções: diferenças entre revisões
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Uma '''função''' é uma [[Matemática elementar/Relações|relação]] especial, que é definida da seguinte maneira: sejam dois [[Matemática elementar/Conjuntos|conjuntos]] ''A'' e ''B'', tais que para todo elemento ''x'' pertencente a ''A'', haja uma '''correspondência''' de um elemento ''y'' pertencente a ''B''. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.
A função que associa um elemento ''x'' a outro valor pode ser indicada por ''f(x)''. O aparecimento de ''x'' na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor ''f(x)'' depende de ''x''. Por isso mesmo, ''x'' é chamada '''variável independente''' e ''f(x)'' (ou ''y'') é chamada de '''variável dependente'''.
Matematicamente a função é definida:
::<math>f : A \rightarrow B : x \mapsto f(x)</math>, ou mais simplificadamente, <math>f : A \rightarrow B</math>
Um exemplo de função: dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.
Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; podem haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:
::<math>f(x,y) = x + y</math>
No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:
* há '''correspondência unívoca''' entre um elemento e o valor associado a ele pela função: isso significa que para cada valor assumido pela variável independente (''x''), há um único valor da variável dependente (''y'') associado pela função. Consequentemente, se ''t = f(x)'' e ''w = f(x)'', então ''t'' = ''w''.
* a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.
A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:
<div style="text-align: center">
{| width="90%" style="border: solid 1px #808080"
| style="text-align: center" width="50%" | [[Imagem:naofuncao2.png|180px]]
|-
| style="vertical-align: top" | Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio ''X'' aparece associado a dois elementos do contradomínio ''Y'' (c,d).
| style="vertical-align: top" | Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.
|}
</div>
Já o diagrama a seguir representa uma função:
<div style="text-align:center">
[[Imagem:funcao_venn.png|180px]]
</div>
Duas funções ''f(x)'' e ''g(x)'' são ditas '''iguais''' (''f'' = ''g'') se e somente se para cada valor de ''x'' no domínio ''D'', ''f(x)'' e ''g(x)'' assumam o mesmo valor:
::<math>\forall x \in D, f(x) = g(x) \to g = f </math>
==Introdução==
Relações que estabeleçam dependência entre os elementos de dois conjuntos são denominadas '''funções'''.
Um exemplo clássico de função é a do salário de vendedores que ganham por comissão:
Existe um valor fixo que o vendedor ganha mesmo se não conseguir vender nada naquele mês e uma comissão, que depende da quantidade de vendas que o vendedor realizou. Por exemplo:
[[Imagem:Salario_vendas.png|thumb|right|Gráfico salário X vendas]]
{| cellspacing="0" align="center" width="50%" border="0" style="border:solid 1px #000000;"
|-
|'''Vendas'''
|'''Comissão por venda'''
|'''Valor Fixo'''
|'''Salário'''
|-
|0
|55
|300
|300
|-
|1
|55
|300
|355
|-
|2
|55
|300
|410
|-
|...
|...
|...
|...
|}
Da tabela acima podemos construir uma relação entre as vendas e o salário do vendedor:
<math>S=55\cdot V+300\,\!</math>
E com isso, construímos um gráfico que relaciona vendas a salário, onde verifica-se que:
*O '''salário''' depende das '''vendas'''.
*O '''salário''' é uma '''''função''''' das '''vendas'''.
==Definição==
Ao aplicar uma função <math>f\,\!</math> em um dado conjunto <math>D\,\!</math>, cada elemento deste deverá ter como correspondente um elemento em um dado conjunto <math>C\,\!</math>.
Ao conjunto <math>D\,\!</math> denomina-se '''domínio''' da função, sendo seus elementos denominados '''abscissas''', e ao conjunto <math>C\,\!</math> denomina-se '''contra-domínio''', sendo seus elementos denominados '''ordenadas''' ou '''imagens''', quando estas se correlacionarem a um elemento de <math>D\,\!</math>.
'''Ou seja:'''
Dados dois conjuntos <math>D\,\!</math> e <math>C\,\!</math> '''não vazios''', dizemos que a relação ''f'' de <math>D\,\!</math> em <math>C\,\!</math> será função se, e somente se,
:<math>\forall x \in D \; \exists \; y \in C \; | \; \left( x,y \right) \in f</math>.
<small>(Para qualquer x pertencente a A existe um y pertencente a B tal que o par ordenado (x,y) pertence à função f)</small>
:'''Obs:''' Para cada <math>x\,\!</math>, deve haver apenas um <math>y\,\!</math>
==Representações==
Existem várias maneiras de se representar funções.
Abaixo você pode ver as três mais comumente utilizadas, sendo a primeira a predominante.
As representações abaixo são de uma função em relação a seu '''domínio''' e '''contra-domínio'''.
<math>f:A \rightarrow B \,\!</math>
<math>x \rightarrow y = f(x) \,\!</math>
<math>\begin{matrix} & f& \\A&\rightarrow&B \end{matrix}\,\!</math>
Há também as representações por sua fórmula algébrica em relação a sua imagem, como a seguir:
<math>f(x) = ax + b ,\!</math>
<math>g(x) = ax^2 + bx + c \,\!</math>
==Nomenclaturas==
Abaixo você confere o que significa cada nome utilizado ao se falar sobre funções:
===Domínio, Contradomínio e Imagem===
; Domínio : Conjunto ao qual será aplicada a função.
; Contra-Domínio : Conjunto que contém os elementos que farão o papel de '''imagem''' dos elementos do '''domínio'''.
; Imagem : Subconjunto do '''contra-domínio'''. Contém apenas os elementos que são realmente '''imagens''' das '''abscissas'''.
[[Image:Funcoes x2.png]]
===Gráfico Cartesiano===
; Abscissa : Todo e qualquer elemento do '''domínio'''.
; Ordenada : Todo e qualquer elemento do conjunto '''imagem'''.
; Gráfico em Plano Cartesiano da função : Representação de todos os pontos que compõem uma função através de dois eixos perpendiculares.
===Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras===
Tomemos dois conjuntos <math>X\!\,</math> e <math>Y\!\,</math>. Digamos que o primeiro seja um conjunto de mulheres e o segundo é de homens. Então estabelecemos a relação "é casada com" de <math>X\!\,</math> para <math>Y\!\,</math>.
* Se houver ao menos uma mulher no conjunto <math>X\!\,</math> que não seja casada com um homem do conjunto <math>Y\!\,</math>, então esta relação nem consiste em uma função.
* Se houver ao menos uma mulher no conjunto <math>X\!\,</math> casada com mais de um homem do conjunto <math>Y\!\,</math>, então esta relação também não consiste em uma função.
*Se toda mulher de <math>X\!\,</math> for casada com apenas um homem de <math>Y\!\,</math>, então a função é '''injetora''', independentemente de haver ou não algum homem em <math>Y\!\,</math> que não seja casado com alguma mulher de <math>X\!\,</math>.
*Se não há um homem de <math>Y\!\,</math> que não é casado com uma mulher de <math>X\!\,</math> (ou seja, a imagem é igual ao contra-domínio), então a função é '''sobrejetora''', independentemente de duas mulheres de <math>X\!\,</math> serem casadas com o mesmo homem de <math>Y\!\,</math>.
*No caso em que a função é tanto injetora quanto sobrejetora, ou seja, cada mulher de <math>X\!\,</math> é casada com um único homem de <math>Y\!\,</math>, e cada homem de <math>Y\!\,</math> é casado com uma única mulher de <math>X\!\,</math>, então a função é '''bijetora'''.
<gallery>
Image:Injection.png|Função Injetora e não sobrejetora
Image:Surjection.png|Função Sobrejetora e não injetora
Image:Bijection.svg|Função Bijetora
</gallery>
*Resumindo:
**'''Função Injetora''' é aquela na qual cada elemento do domínio corresponde a um único do contra-domínio.
**'''Função sobrejetora''' é aquela na qual o contra-domínio é igual à imagem, ou seja, cada elemento do contradomínio é correspondido por ao menos um do domínio.
**'''Função bijetora''' é aquela na qual para cada elemento no domínio corresponde a um único elemento no contradomínio, e cada elemento no contradomínio corresponde a um único do domínio.
====Exemplos====
*'''Funções bijetoras'''
**Funções do primeiro grau são bijetoras.
*'''Funções estritamente sobrejetoras'''
*'''Funções estritamente injetoras'''
**
===Funções Pares e Ímpares===
* Uma função <math>f</math> é denominada par quando <math>f(x) = f(-x)</math>, para todo <math>x \in \operatorname{Dom}(f)</math> (domínio de ''f'').
* Uma função <math>f</math> é denominada ímpar quando <math>f(x) = -f(-x)</math>, para todo <math>x \in \operatorname{Dom}(f)</math>.
== Domínio, contradomínio e imagem ==
[[Imagem:funcoes_x2.png|thumb|right|200px|Função x<sup>2</sup>, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contra-domínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).]]
São três conjuntos especiais associados à função. O '''domínio''' é o conjunto ''A'' do exemplo dado no início deste capítulo: contém todos os elementos ''x'' para os quais a função deve ser definida. Já o conjunto ''B'' do exemplo é o '''contradomínio''': o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.
Também define-se o conjunto '''imagem''' como o conjunto de valores que efetivamente ''f(x)'' assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.
Por exemplo, suponha a função que associa um elemento do domínio ''D'' = { 1,2,3,4,5 } a uma vogal ordenada no alfabeto.
:: O domínio, já especificado, é <math>D = \{ 1,2,3,4,5 \}</math>
:: O contradomínio é <math>CD = \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z \}</math>
:: A imagem é <math>Im = \{ a,e,i,o,u \}</math>
== Propriedades das funções ==
=== Continuidade ===
Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, <math>[a,b]</math>, se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:
::<math>y = \sqrt{x}</math>, definida para o contradomínio <math>y \in \mathbb{R}</math>, não é contínua no intervalo <math>]-\infty,+\infty[</math>, uma vez que não está definida para x < 0.
=== Crescimento e decrescimento ===
Uma função é dita crescente, sobre um intervalo ''[A,B]'', se para cada valor de ''x + ε'' (ε sendo qualquer valor positivo), <math>f(x) < f(x + \epsilon)</math>.
=== Paridade ===
A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja [[Matemática elementar/Conjuntos#Simetria|a definição de conjunto simétrico]]). Sendo <math>x\!\,</math> um elemento pertencente a um conjunto simétrico <math>A\!\,</math>, uma função é dita:
* '''par''', se para todo <math>x\!\,</math>, <math>f(x) = f(-x)\!\,</math>; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
* '''ímpar''', se para todo <math>x\!\,</math>, <math>f(x) = -f(-x)\!\,</math>;
* '''sem paridade''', se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.
<div style="text-align: center">
{| width="90%" style="border: solid 1px black"
| style="text-align:center;width:50%" | [[Imagem:funcao_5x2120.png|195px|Função 5x<sup>2</sup> + 120]]
| style="text-align:center;width:50%" | [[Imagem:funcao_x3.png|195px|Função x<sup>3</sup>]]
|-
| style="background-color:#F7F7F7" | Exemplo de função par: -5x<sup>2</sup> + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo:
::f(2) = -5*(2<sup>2</sup>) + 120 = -5*4 + 120 = 100,
::f(-2) = -5*(-2<sup>2</sup>) + 120 = -5*4 + 120 = 100
::::f(2) = f(-2)
| style="background-color:#F7F7F7" | Exemplo de função ímpar: x<sup>3</sup>. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo:
::f(2) = 2<sup>3</sup> = 8
::f(-2) = -2<sup>3</sup> = -8
::::f(2) = -f(-2)
|}
</div>
==Funções de primeiro e segundo grau==
Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita do '''primeiro grau''' quando pode ser expressa na forma:
:: <math>y = ax + b,\, a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}</math>
[[Imagem:funcao_y6xm5.png|thumb|right|Função de primeiro grau, definida por <math>y = 6x + 5</math>.]]
A função do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto '''R''', tem-se uma reta.
O valor da constante <math>a</math>, na função <math>y = ax + b</math> e que tem domínio igual a <math>R</math>, é chamado '''coeficiente angular da reta''' que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:
::<math>a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>
Para o caso específico da constante <math>b</math> ser igual a zero, a função <math>y = ax</math> é chamada '''função linear'''.
[[Imagem:qfunction.png|thumb|right|Função do segundo grau:<br> <math>y = x^2</math>.]]
Já a função do segundo grau toma a forma:
::<math>y = ax^2 + bx + c</math>
::<math>a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}</math>
Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante ''a''. Se ''a'' for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se ''a'' for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)
==Operações sobre funções==
===Soma, produto e quociente===
===Composição de funções===
O conceito de uma '''função''' é uma generalização da noção comum de "[[fórmula matemática]]". Funções descrevem relações matemáticas entre dois objetos, <math>x</math> e <math>y = f (x)</math>. O objeto <math>x</math> é chamado o [[argumento]] da função <math>f</math>, e o objeto <math>y</math>, que depende de <math>x</math>, é chamado imagem de <math>x</math> pela <math>f</math>.
Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento <math>x</math> um único valor da função <math>f(x)</math>. Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula ou regra de associação, um gráfico, ou uma simples tabela de correspondência.
# [[Gráficos]], [[Função par]] e [[função ímpar]], [[Funções crescentes]] e [[funções decrescentes]], [[Máximos]] e [[mínimos]]
# [[Função módulo]], [[funções lineares]], [[funções afins]] e [[funções quadráticas]], [[Equações]] e [[inequações]] envolvendo estas funções -
# [[Composição e inversão de funções]] -
# [[Funções exponenciais]] e [[funções logarítmicas]] - propriedades fundamentais, gráficos, equações e inequações envolvendo estas funções.
# [[Polinômios]] -
== Ligações ==
* [[w:Função|Função]] na Wikipédia.
[[en:Algebra/Functions]]
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