Teoria de números/Divisibilidade: diferenças entre revisões
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m +<references/> |
m atualizando |
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Linha 126:
|13. <math>a|b\,\!</math> e <math>a\not = 0\,\!</math> implica <math>(b/a)|b\,\!</math> ||
|}
{{Demonstração|A demonstração dessas propriedades é deixada a cargo do leitor. Deste modo, sinta-se convidado a melhorar este texto
|acrescentando qualquer dessas demonstrações na versão ''online'' deste material.
▲{{Demonstração|A demonstração dessas propriedades é deixada a cargo do leitor. Deste modo, sinta-se convidado a melhorar este texto acrescentando qualquer dessas demonstrações.}}
|[{{fullurl:{{FULLPAGENAME}}|action=edit}} acrescentando] qualquer dessas demonstrações neste módulo.
}}}}
;Observações:
Linha 248 ⟶ 250:
''Dados os números inteiros <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math>, ou <math>a\,\!</math> é múltiplo de <math>b\,\!</math> ou está entre dois múltiplos consecutivos de <math>b\,\!</math>.''
{{Wikipedia|Princípio da boa ordenação}}
{{Demonstração
|Considere inicialmente que <math>a>0\,\!</math>.
Se <math>X = \{ a-bt: t\in \mathbb{Z}\} \subseteq \mathbb{Z}\,\!</math>, então <math>X' = X \cap \mathbb{N} \not=\emptyset\,\!</math> (pois para <math>t=0\,\!</math> tem-se <math>a-bt = a >0\,\!</math>).
Linha 295 ⟶ 297:
de modo que cada inteiro <math>a_i\,\!</math> verifique <math>a_i \in [0, b)\,\!</math>, <math>a_n \not = 0\,\!</math> e <math>n\ge 0\,\!</math>.
}}
{{Demonstração/Início}}
Utilizando o algoritmo da divisão é possível obter cada dígito de uma tal representação, um após o outro, começando pelo dígito das unidades. De fato, ao dividir o número em questão pelo valor da base, consegue-se:
Linha 347 ⟶ 348:
|Um inteiro não negativo é par, e somente se, o dígito das unidades é par.
}}
|Considere um número inteiro positivo cuja representação decimal é <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0\,\!</math>. Para mostrar que <math>2|m\,\!</math> se, e somente se, <math>2|a_0\,\!</math>, note que:▼
▲{{Demonstração|
▲Considere um número inteiro positivo cuja representação decimal é <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0\,\!</math>. Para mostrar que <math>2|m\,\!</math> se, e somente se, <math>2|a_0\,\!</math>, note que:
:<math>10 = 2 \times 5\,\!</math>
:<math>100 = 2 \times 50\,\!</math>
Linha 378:
|Um inteiro não negativo é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus dígitos é múltiplo de 3.
}}
|Seja <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_n 10^k\,\!</math> um número inteiro positivo. Como no exemplo anterior, o principal é considerar as potências de 10 e os restos de suas divisões por 3.▼
▲{{Demonstração|
▲Seja <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_n 10^k\,\!</math> um número inteiro positivo. Como no exemplo anterior, o principal é considerar as potências de 10 e os restos de suas divisões por 3.
Primeiramente, note que:
Linha 403 ⟶ 402:
|Um inteiro não negativo é divisível por 11 se, e somente se, a soma alternada dos seus dígitos é divisível por 11.
}}
|Como antes, considere <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_n 10^k\,\!</math> um número inteiro positivo. Pode-se proceder como antes para obter o resultado. Primeiramente, observe a relação entre as primeiras potências de 10 e o número 11:▼
▲{{Demonstração|
▲Como antes, considere <math>m = a_n \ldots a_2 a_1 a_0 = \sum_{k=0}^{n} a_n 10^k\,\!</math> um número inteiro positivo. Pode-se proceder como antes para obter o resultado. Primeiramente, observe a relação entre as primeiras potências de 10 e o número 11:
:<math>10^0 = 11\times 0 + 1 \,\!</math>
:<math>10^1 = 11\times 1 - 1 \,\!</math>
Linha 416 ⟶ 414:
No entanto, como a intuição as vezes falha (o próprio Fermat foi vítima de sua intuição, se enganando ao afirmar que todo [[w:Número de Fermat|número da forma <math>F_{n} = 2^{2^{n}} + 1</math>]] é [[../Números primos#Definição de número primo|primo]]), é necessário provar que o padrão se repete, qualquer que seja o expoente. Em símbolos, é preciso mostrar que:
:<math>10^k = 11\times B_k + (-1)^k \,\!</math>, para algum inteiro <math>B_k\,\!</math>.
{{
Uma vez que o padrão foi justificado, o raciocínio é o mesmo do caso anterior:
:<math>m = \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k = \sum_{k=0}^{n} a_k (11\times B_k + (-1)^k) = \sum_{k=0}^{n} 11 a_k B_k + a_k(-1)^k = 11 \sum_{k=0}^{n} a_k B_k + \sum_{k=0}^{n} a_k(-1)^k\,\!</math>
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