Métodos numéricos/Sistemas de equações lineares: diferenças entre revisões
| [edição não verificada] | [edição não verificada] |
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m correção de afluentes (usando AWB) |
|||
Linha 4:
=== Condensação de Gauss ===
Método de Gauss
Consiste essencialmente em transformar por etapas sucessivas a matriz original do sistema numa matriz triangular superior. Após obtenção da matriz transformada (matriz triangular superior) o sistema pode ser resolvido por substituição ascendente.
Algoritmo de eliminação de Gauss
Este é um método geral de resolver sistemas de equações lineares e consiste numa sequência de passos “elementares” que transformam o sistema dado num sistema muito fácil de resolver.
Um passo elementar do método de eliminação de Gauss consiste na “adição membro a membro a uma equação de um múltiplo de outra”, de forma que na equação obtida, seja nulo o coeficiente de certa incógnita. Diz-se que se eliminou essa incógnita da equação.
Os passos elementares são conduzidos de maneira a eliminar a incógnita x1 de todas as equações a partir da 2ª, depois eliminar a incógnita x2 de todas as equações a partir da 3ª, etc ...
Deste processo resulta um novo sistema, digamos Ux = c equivalente ao sistema original, e cuja matriz U é uma matriz em escada.
Com a obtenção de uma matriz em escada U termina a parte descendente do método de eliminação de Gauss. Neste momento verifica-se se o sistema obtido, Ux = c é possível, isto é , se não há equações com o primeiro membro nulo e o segundo não nulo.
Se o sistema for possível resolve-se de “baixo para cima” (parte “ascendente” do algoritmo) obtendo se necessário algumas incógnitas em função das outras.
Factorização LU
O processo de condensação de Gauss (que consiste numa sequência de operações elementares sobre as linhas das matrizes A(k), as quais podem ser expressas sob a forma de pré-multiplicações desta matriz por matrizes triangulares elementares) conduz a uma expressão em que a matriz A surge sob a forma do produto de uma matriz L triangular inferior de diagonal unitária e de uma matriz U triangular superior – factorização triangular ou factorização LU da matriz A.
A determinação da solução x, tendo determinado LU consiste na solução em solução de dois sistemas triangulares, sendo um inferior e outro superior..
A factorização envolve apenas a matriz A e não o segundo membro b, intervindo este exclusivamente na fase de solução dos sistemas triangulares.
Assim sendo, uma vez factorizada a matriz A, podemos resolver com esta matriz tantos sistemas de equações quantos quisermos, apenas à custa de substituições (ascendentes e descendentes). Isto revela uma vantagem sobre o método de eliminação de Gauss.
==== Pesquisa de Pivot ====
| |||