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== Enunciado ==
Um cilindro contém 356 dm<sup>3</sup> de ar a 49 °C a uma pressão absoluta de 2.8 kg/cm<sup>2</sup>. O ar é comprimido até seu volume ser de 70 dm<sup>3</sup>.
Um cilindro de 12 cm de raio gira no interior de outro, que está fixo, e cujo raio mede 12.6 cm. Os eixos dos cilindros são concêntricos e ambos têm 30 cm de comprimento. É necessário aplicar um torque de 9.0 kg.cm para manter a velocidade de rotação em 60 rpm. Determinar a viscosidade do fluido que preenche o espaço entre os cilindros.
* Supondo que a compressão foi isotérmica, encontrar a pressão final e o módulo de elasticidade volumétrico.
* Supondo que a compressão foi adiabática, encontrar a pressão final, a temperatura final e o módulo de elasticidade volumétrico (considere que o valor do coeficiente de dilatação adiabática do ar é 1.40).
== Dados do problema ==
{|table border="1"
|rV<sub>1i</sub>
|356 dm<sup>3</sup>
|12 cm
|-
|rV<sub>2f</sub>
|70 dm<sup>3</sup>
|12.6 cm
|-
|T<sub>i</sub>
|3049 cm°C
|-
|T<sub>f1</sub>
|ω_1
|6049 rpm°C
|-
|T<sub>f2</sub>
|ω_2
|a calcular
|0 rpm
|-
|p<sub>f1</sub>
|Ω
|a calcular
|9.0 kg.cm
|-
|p<sub>f2</sub>
|μ
|a calcular
|ε<sub>1</sub>
|a calcular
|-
|ε<sub>2</sub>
|a calcular
|}
k = 1.40
== Solução 1 ==
Como o espaço entre os cilindros é pequeno perante as demais dimensões do problema, vamos considerar valores médios para todas as variáveis. Além disso, aproximaremos dv/dy nesse espaço por Δv/Δy.
O torque aplicado gera uma tensão na superfície do fluido que está em contato com o cilindro móvel. O torque é dado pelo produto da força aplicada aos cilindros pelo raio vetor; a força, por sua vez, é o produto da tensão pela área de aplicação:
<center><math>\Omega \;=\; \tau \cdot \bar A \cdot \bar r \Rightarrow \;\;\; \tau \;=\; \frac{\Omega}{\bar A \cdot \bar r} \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi \bar r l \cdot \bar r}</math></center>
A velocidade tangencial do cilindro móvel é
<center><math>v_1 \;=\; \omega_1 r_1</math></center>
Essa é a velocidade do fluido que está em contato com a superfície do cilindro, onde a tensão τ é aplicada. A velocidade na outra superfície é nula. Essas superfícies distam Δr = r<sub>2</sub> - r<sub>1</sub> uma da outra. A viscosidade do fluido será então dada por
<center><math>\mu \;=\; \frac{\tau}{\frac{v_1}{\Delta r}} \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi \bar r l \cdot \bar r \cdot \frac{\omega_1 r_1}{r_2 \;-\; r_1}} \;=\; \frac{\Omega (r_2 \;-\; r_1)}{2 \pi r_1 l \omega_1 \bar r ^2} \;=\; \frac{\Omega (r_2 \;-\; r_1)}{2 \pi r_1 l \omega_1 (\frac{r_2 \;+\; r_1}{2})^2}</math></center>
<center><math>\mu \;=\; \frac{2 \Omega (r_2 \;-\; r_1)}{\pi r_1 l \omega_1 (r_1 \;+\; r_2)^2}</math></center>
<center><math>\;=\; \frac{2 \cdot 9.0 \; kg \cdot cm \cdot (12.6 \; cm \;-\; 12 \; cm)}{\pi \cdot 12 \; cm \cdot 30 \; cm \cdot 60 \; rpm \cdot (12 \; cm \;+\; 12.6 \; cm)^2}</math></center>
<center><math>\;=\; \frac{2 \cdot 0.09 \; kg \cdot m \cdot (0.126 \; m \;-\; 0.12 \; m)}{\pi \cdot 0.12 \; m \cdot 0.3 \; m \cdot \frac{60 \cdot 2 \pi \; rad}{60 \; s} \cdot (0.12 \; m \;+\; 0.126 \; m)^2}</math></center>
<center><math>\;=\; 0.025 \; kg \cdot s/m^2</math></center>
== Solução 2 ==
Para um valor mais preciso, vamos considerar a tensão τ e a velocidade v como funções da posição r:
<center><math>\Omega \;=\; \tau \cdot A \cdot r \Rightarrow \;\;\; \tau \;=\; \frac{\Omega}{A \cdot r} \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi r^2 l}</math></center> ▼
Mas
<center><math>\tau \;=\; \mu \frac{dv}{dr} \Rightarrow \;\;\; dv \;=\; \frac{1}{\mu} \tau dr \;=\; \frac{1}{\mu} \cdot \frac{\Omega}{2 \pi r^2 l} \; dr</math></center>
Logo
<center><math>v_1 \;-\; v_2 \;=\; \int_{v_2}^{v_1} dv \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi l \mu} \int_{r_2}^{r_1} \frac{1}{r^2} dr</math></center>
<center><math>v_1 \;-\; 0 \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi l \mu} \left. \cdot \frac{1}{r} \right|_{r_2}^{r_1} \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi l \mu} \left( \frac{1}{r_1} \;-\; \frac{1}{r_2} \right)</math></center>
Assim
* Compressão isotérmica: Neste caso, podemos escrever
<center><math>\mu \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi l v_1} \left( \frac{1}{r_1} \;-\; \frac{1}{r_2} \right) \;=\; \frac{\Omega}{2 \pi l \omega_1 r_1} \left( \frac{1}{r_1} \;-\; \frac{1}{r_2} \right)</math></center>
<center><math>p_i V_i \;=\; \fracp_{0.09 \; kg \cdot mf1}{2 \piV_f \cdot 0.3Rightarrow \; m \cdot 2 \pi \; rad \cdot s^{-1} \cdot 0.12 \; m} \left( \fracp_{1f1}{0.12 \; m} \;-=\; \frac{1p_i V_i}{0.126 \; mV_f} \right)</math></center>
* Compressão adiabática: Neste caso, podemos escrever
<center><math>\;=\; 0.025 \; kg \cdot s/m^2</math></center>
▲<center><math> \Omegap_i V_i ^ k \;=\; \taup_{f2} \cdotV_f A \cdot r^k \Rightarrow \;\;\; \tau \;=\; \fracp_{ \Omega}{A \cdot rf2} \;=\; p_i (\frac{ \OmegaV_i}{ 2 \pi rV_f})^ 2 l}k</math></center>
O valor indica que a simplificação considerada na Solução 1 era razoável.
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