Um cilindro contém 356 dm3 de ar a 49 °C a uma pressão absoluta de 2.8 kg/cm2 . O ar é comprimido até seu volume ser de 70 dm3 .
Supondo que a compressão foi isotérmica, encontrar a pressão final e o módulo de elasticidade volumétrico. Supondo que a compressão foi adiabática, encontrar a pressão final, a temperatura final e o módulo de elasticidade volumétrico (considere que o valor do coeficiente de dilatação adiabática do ar é 1.40). Dados do problema
editar
Vi
356 dm3
Vf
70 dm3
Ti
49 °C
Tf1
49 °C
Tf2
a calcular
pi
2.8 kg/cm2
pf1
a calcular
pf2
a calcular
ε1
a calcular
ε2
a calcular
k = 1.40
Compressão isotérmica: Neste caso, podemos escrever
p
i
V
i
=
p
f
1
V
f
⇒
p
f
1
=
p
i
V
i
V
f
{\displaystyle p_{i}V_{i}\;=\;p_{f1}V_{f}\Rightarrow \;\;\;p_{f1}\;=\;{\frac {p_{i}V_{i}}{V_{f}}}}
p
f
1
=
p
i
V
i
V
f
{\displaystyle p_{f1}\;=\;{\frac {p_{i}V_{i}}{V_{f}}}}
ϵ
1
=
−
Δ
p
1
Δ
V
V
=
p
i
−
p
f
1
V
f
−
V
i
V
i
=
p
i
−
p
i
V
i
V
f
V
f
V
i
−
1
=
p
i
1
−
V
i
V
f
V
f
V
i
−
1
=
p
f
1
{\displaystyle \epsilon _{1}\;=\;-\;{\frac {\Delta p_{1}}{\frac {\Delta V}{V}}}\;=\;{\frac {p_{i}\;-\;p_{f1}}{\frac {V_{f}\;-\;V_{i}}{V_{i}}}}\;=\;{\frac {p_{i}\;-\;{\frac {p_{i}V_{i}}{V_{f}}}}{{\frac {V_{f}}{V_{i}}}\;-\;1}}\;=\;p_{i}\;{\frac {1\;-\;{\frac {V_{i}}{V_{f}}}}{{\frac {V_{f}}{V_{i}}}\;-\;1}}\;=\;{p_{f1}}}
ϵ
1
=
p
f
1
=
p
i
V
i
V
f
=
2.8
k
g
/
c
m
2
⋅
356
d
m
3
70
d
m
3
=
28000
k
g
/
m
2
⋅
0.356
m
3
0.07
m
3
{\displaystyle \epsilon _{1}\;=\;p_{f1}\;=\;{\frac {p_{i}V_{i}}{V_{f}}}\;=\;{\frac {2.8\;kg/cm^{2}\cdot 356\;dm^{3}}{70\;dm^{3}}}\;=\;{\frac {28000\;kg/m^{2}\cdot 0.356\;m^{3}}{0.07\;m^{3}}}}
=
142400
k
g
/
m
2
=
14.24
k
g
/
c
m
2
{\displaystyle \;=\;142400\;kg/m^{2}\;=\;14.24\;kg/cm^{2}}
Compressão adiabática: Neste caso, podemos escrever
p
i
V
i
k
=
p
f
2
V
f
k
⇒
p
f
2
=
p
i
(
V
i
V
f
)
k
{\displaystyle p_{i}V_{i}^{k}\;=\;p_{f2}V_{f}^{k}\Rightarrow \;\;\;p_{f2}\;=\;p_{i}({\frac {V_{i}}{V_{f}}})^{k}}
ϵ
2
=
p
f
2
=
p
i
(
V
i
V
f
)
k
=
28000
k
g
/
m
2
(
0.356
m
3
0.07
m
3
)
1.4
{\displaystyle \epsilon _{2}\;=\;p_{f2}\;=\;p_{i}({\frac {V_{i}}{V_{f}}})^{k}\;=\;28000\;kg/m^{2}\;\left({\frac {0.356\;m^{3}}{0.07\;m^{3}}}\right)^{1.4}}
=
273000
k
g
/
m
2
=
27.3
k
g
/
c
m
2
{\displaystyle \;=\;273000\;kg/m^{2}\;=\;27.3\;kg/cm^{2}}
T
f
2
=
T
i
(
p
f
2
p
i
)
k
−
1
k
=
49
o
C
⋅
(
273000
k
g
/
m
2
2.8
k
g
/
c
m
2
)
1.4
−
1
1.4
=
(
49
+
273
)
K
⋅
(
273000
k
g
/
m
2
28000
k
g
/
m
2
)
1.4
−
1
1.4
{\displaystyle T_{f2}\;=\;T_{i}\left({\frac {p_{f2}}{p_{i}}}\right)^{\frac {k\;-\;1}{k}}\;=\;49\;^{o}C\;\cdot \;\left({\frac {273000\;kg/m^{2}}{2.8\;kg/cm^{2}}}\right)^{\frac {1.4\;-\;1}{1.4}}\;=\;(49\;+\;273)K\;\cdot \;\left({\frac {273000\;kg/m^{2}}{28000\;kg/m^{2}}}\right)^{\frac {1.4\;-\;1}{1.4}}}
=
617
K
=
344
o
C
{\displaystyle \;=\;617\;K\;=\;344\;^{o}C}
