Otimização/Existência de soluções globais: diferenças entre revisões

Seja <math> f : D \mapstorightarrow \mathbb{R} </math> [[Análise_real/Continuidade | contínua]] em D compacto.

Suponha que f é ilimitada inferiormente, então <math> \forall \; k \in \mathbb{N}, \exist \; x^k \in D; f(x^k)<-k \Rightarrow \lim_{k \mapstorightarrow \infty}f(x^k)=-\infty </math>. Por outro lado, D é compacto e <math> \{ x^k\} \subset D </math>. Como D é limitado, logo a <math> \{ x^k\} \; </math> é limitada. [[Análise_real/Sequências#Toda_sequência_limitada_possui_uma_subsequência_convergente | Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente]]. Assim <math> \{ x^k\} \;</math> possui uma subsequência convergênte <math> \{ x^{k_j}\} \;</math>, tal que <math> \; \lim_{j \mapstorightarrow \infty}x^{k_j} = \bar{x} </math>. Assim <math> f(\bar{x}) = f(\lim_{j \mapstorightarrow \infty}x^{k_j}) = - \infty </math>. Absurdo.

<math> \bar{v} = \inf_{x\in D}f(x) > - \infty </math>, pela definição de ínfimo, dado <math> k \in \mathbb{N}, \; \exists \; x^k \in D </math> tal que <math> \bar{v} \le f(x^k) < \bar{v}+ {1 \over k} \Rightarrow \bar{v} \le \lim_{k \mapstorightarrow \infty}f(x^k) \le \bar{v} \Rightarrow \lim_{k \mapstorightarrow \infty}f(x^k) = \bar{v} </math>.

| Seja <math> f:D \mapstorightarrow \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}, L_{f,D}(c) = \{ x\in D; f(x) \le c \} </math>

Sejam <math> D \in \mathbb{R}^n, f:D \mapstorightarrow \mathbb{R} </math> [[Análise_real/Continuidade | contínua]] em D. Se <math> \exists \; c \in \mathbb{R}, \empty \not = </math> [[Otimização/Existência_de_soluções_globais#Curva_de nível_Lf.2CD.28c.29 | <math> L_{f,D}(c)\; </math>]] é compacto.

f_y:D \mapstorightarrow \mathbb{R}